状态空间描述法

关于状态空间描述法第1页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.1线性系统的状态空间描述法

1．控制系统的两种基本描述方法：

输入—输出描述法——经典控制理论状态空间描述法——现代控制理论

2．经典控制理论的特点：

(1)优点：对单入—单出系统的分析和综合特别有效。

(2)缺点：内部的信息无法描述，仅适于单入—单出系统。

3.现代控制理论

(1)适应控制工程的高性能发展需要，于60年代提出。

(2)可处理时变、非线性、多输入—多输出问题。

(3)应用方面的理论分支：最优控制、系统辩识，自适应控制……9.29.39.4一、问题的提出第2页，共130页，2023年，2月20日，星期五

1.先看一个例子：

例9.1

试建立图示电路的数学模型。RL

Ci(t)ur(t)

uc(t)二.状态和状态空间第3页，共130页，2023年，2月20日，星期五

2.

状态与状态变量的定义

在已知ur(t)的情况下，只要知道uc(t)和i(t)的变化特性，则其他变量的变化均可知道。故uc(t)和i(t)称为“状态变量”。记

控制系统的状态为完全描述系统的一个最小变量组，该组中的每个变量称为状态变量。

如上例中,为系统的状态，为状态变量。第4页，共130页，2023年，2月20日，星期五3.状态向量

4.状态空间:

定义:所有状态构成的一个实数域上的(线性)向量空间称为状态空间。

5.方程:

状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系表达式称为状态方程(见上例);

系统输出量y(t)与状态变量、输入量的关系的表达式称为输出方程。

第5页，共130页，2023年，2月20日，星期五三.状态变量的选取

1.状态变量的选取是非唯一的。

2.选取方法

（1）可选取初始条件对应的变量或与其相关的变量作为系统的状态变量。

（2）可选取独立储能（或储信息）元件的特征变量或与其相关的变量作为控制系统的状态变量。（如电感电流i、电容电压uc

、质量m

的速度v

等。第6页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.2

图示弹簧——质量——阻尼器系统，外作用力u(t)为该系统的输入量，质量的位移y(t)为输出量，试列写该系统的状态方程和输出方程。

k

mu(t)y(t)f第7页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.3

已知系统微分方程组为

其中，ur为输入，uc为输出，R1、C1、R2、C2为常数。试列写系统状态方程和输出方程。

第8页，共130页，2023年，2月20日，星期五解：选写成向量—矩阵形式：第9页，共130页，2023年，2月20日，星期五四.状态空间表达式1.单输入单输出线性定常连续系统第10页，共130页，2023年，2月20日，星期五

2.

一般线性系统状态空间表达式（p输入q输出）

3.

线性定常系统状态空间表达式第11页，共130页，2023年，2月20日，星期五∫

（t域）

（ω

域）uxy

B∫

C

D

Ab)结构图

系统

Aa)结构关系图DBC第12页，共130页，2023年，2月20日，星期五五.线性定常系统状态空间表达式的建立

1.方法:机理分析法、实验法

2.线性定常单变量系统(单输入—单输出系统)

(1)由微分方程建立

①在输入量中不含有导数项时：第13页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.4

已知系统微分方程为

列写系统的状态空间表达式。写成向量---矩阵形式(或系统动态结构图):解：选②输入量中含有导数项时：第14页，共130页，2023年，2月20日，星期五①可控规范型实现(2)由传递函数建立——即实现

第15页，共130页，2023年，2月20日，星期五B）bn≠0第16页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.5

已知系统的传递函数为

试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。解:由

bn=b3=0,对照标准型,可得实现为第17页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.6

已知系统的传递函数为试求其能控规范型实现，并画出系统状态图。

解:由

bn=b3≠0,对照标准型第18页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.7

已知系统的传递函数为

试求其能观测规范型实现，并画出系统状态图。

与能控规范型关系：

A*=AT，B*=CT，C*=BT

②能观测规范型实现第19页，共130页，2023年，2月20日，星期五③对角线规范实现

第20页，共130页，2023年，2月20日，星期五结构图的对角线规范型实现，并画出系统状态图

。

例9.8

求

+x1y(t)u(t)∫λ1c1x2∫λ2c2xn∫λncn++第21页，共130页，2023年，2月20日，星期五解：则对角线规范型实现为第22页，共130页，2023年，2月20日，星期五④约当规范型实现----特征方程有重根时

第23页，共130页，2023年，2月20日，星期五第24页，共130页，2023年，2月20日，星期五xnx4x11x12x13y(t)u(t)+++++∫λ1∫λ4∫λn∫λ1∫λ1

c11

c12c13c4cn第25页，共130页，2023年，2月20日，星期五当G(s)有重极点时，设-pi中有k重极点第26页，共130页，2023年，2月20日，星期五11111第27页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.9-1-21111-111第28页，共130页，2023年，2月20日，星期五(3)状态空间表达式的线性变换①思路：②变换前后系数矩阵关系：

代入原状态方程，有

第29页，共130页，2023年，2月20日，星期五变换为对角线规范型。

例9.10

试将状态方程解：Ⅰ.求特征值：

Ⅱ.求特征向量和变换矩阵P

λ=-1对应的p1

第30页，共130页，2023年，2月20日，星期五3．线性定常多输入—多输出系统

(1)传递函数矩阵与状态系数矩阵间的关系

第31页，共130页，2023年，2月20日，星期五(2)开环与闭环传递矩阵(3)传递矩阵的对角化单入—单出系统y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)-y(s)e(s)u(s)

G(s)

H(s)多入—多出系统-第32页，共130页，2023年，2月20日，星期五(4)传递矩阵的实现1)单输入—多输出时的实现第33页，共130页，2023年，2月20日，星期五可控规范型第34页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.11

试求下列单输入—双输出系统传递函数矩阵的可控标准形实现。

解：第35页，共130页，2023年，2月20日，星期五2)多输入—单输出时的实现解题思路：

①求对应的单入多出系统GT(s)的实现；

②利用对偶关系求G(s)的实现。

例9.12

线性定常系统传递函数矩阵如下，求系统的可控标准形实现。

解：1）先求对应的单输入—双输出系统的实现

第36页，共130页，2023年，2月20日，星期五第37页，共130页，2023年，2月20日，星期五2）再转换为双输入—单输出系统的实现故原系统的实现为:第38页，共130页，2023年，2月20日，星期五方法的验证第39页，共130页，2023年，2月20日，星期五对比原题所给传递函数，可见结果一致。第40页，共130页，2023年，2月20日，星期五本节作业

刘豹.

P481-41-5(1)1-7第41页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.2状态方程求解线性定常连续系统1.齐次状态方程的解（1）

幂级数法设解为：

9.39.49.1第42页，共130页，2023年，2月20日，星期五第43页，共130页，2023年，2月20日，星期五⑵拉氏变换法由两边取拉氏变换，得

SX(s)-X(0)=AX(s)(SI﹣A)X(s)=X(0)

X(s)=(SI﹣A)-1.X(0)两边取拉氏反变换

x(t)=L-1[X(s)]=L-1[(SI-A)-1

X(0)]=L-1[(SI-A)-1]X(0)比较前式，有eAt=L-1[(SI-A)-1]第44页，共130页，2023年，2月20日，星期五△状态转移矩阵的运算性质ф(t)=eAt=I+At+(1/2)A2t2+…+(1/k！)Aktk+…⑴ф(0)=I─初始状态

(2)⑶ф(t1±t2)=ф(t1)ф(±t2)=ф(±t2)ф(t1)-----线性关系

⑷

ф-1(t)=ф(-t)，ф-1(-t)=ф(t)-----可逆性

⑸

x(t)=ф(t-t0)x(t0)∵x(t0)=ф(t0)x(0),第45页，共130页，2023年，2月20日，星期五

则

x(t)=ф(t)x(0)=ф(t)[ф-1(t0)x(t0)]=ф(t)ф(-t0)x(t0)=ф(t-t0)x(t0)（6）ф(t2-t0)=ф(t2-t1)ф(t1-t0)=e(t2-t1)Ae(t1-t0)A

——可分阶段转移⑺[ф(t)]k=ф(kt)⑻

e(A+B)t==eAt.eBt=eBt.eAt(AB=BA)

e(A+B)t≠eAt.eBt≠eBt.eAt(AB≠BA)⑼

引入非奇异变换后，⑽

两种常见的状态转移矩阵

第46页，共130页，2023年，2月20日，星期五第47页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.13

设有一控制系统，其状态方程为

在t0=0时，状态变量的初值为[x1(0)x2(0)x3(0)],试求该方程的解。

第48页，共130页，2023年，2月20日，星期五第49页，共130页，2023年，2月20日，星期五第50页，共130页，2023年，2月20日，星期五试求A及ф(t)。

例9.14

设系统状态方程为第51页，共130页，2023年，2月20日，星期五解方程组得，

ф11(t)=2e-t–e-2t,ф12(t)=2e-t－2e-2tф21(t)=-e-t+e-2t,ф22(t)=-e-t+2e-2t

第52页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.15

设系统运动方程为式中a、b、c均为实数，试求：⑴求系统状态空间表达式。⑵求系统状态转移矩阵。

第53页，共130页，2023年，2月20日，星期五2.非齐次状态方程的解⑴直接法（积分法）

(2)拉氏变换法

sx(s)-x(0)=Ax(s)+Bu(s)(sI-A)x(s)=x(0)+Bu(s)

x(s)=(sI-A)-1x(0)+(sI-A)-1Bu(s)则x(t)=￡-1[(sI-A)-1x(0)]+￡-1[(sI-A)-1Bu(s)](由eAt=￡-1[(sI-A)-1]可得)第54页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.16

在上例中，当输入函数u(t)=1(t)时，求系统状态方程的解。第55页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.17

设有一电液位置伺服系统，已知系统方块图如下所示。试用状态空间法对系统进行分析。解：由图32/s1-

电动伺服阀放大器油缸位移传感器u(s)y(s)第56页，共130页，2023年，2月20日，星期五第57页，共130页，2023年，2月20日，星期五本节作业

刘豹.

P772-32-5(3)2-6第58页，共130页，2023年，2月20日，星期五

一、可控与可观测的概念、意义9.3可控性与可观测性9.29.49.1第59页，共130页，2023年，2月20日，星期五

设线性定常连续系统的状态空间表达式为：

如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔[to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf)，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。二、定义1.

可控性定义第60页，共130页，2023年，2月20日，星期五三、可控性与可观测性判据

系统在稳定输入u(t)作用下，对任意初始时刻to

，若能在有限时间间隔[to,tf]之内，根据从to到tf对系统输出y(t)的观测值和输入u(t)，唯一地确定系统在to时刻的状态x(to)，则称系统是状态完全可观测的，简称系统可（能）观测。（只要有一个状态变量不能（可）观测，则系统不可观测）。2.

可观测性定义可控规范型：

úúúúûùêêêêëé=

úúúúúúûùêêêêêêëé----=-1000B,aaaa1000001000010A1n210LLLMMMLL1.

可控性判据第61页，共130页，2023年，2月20日，星期五

线性定常连续系统状态完全可控的充要条件是可控性判别阵：必须满秩。即（n为系统维数）判据一：试判别其状态的可控性。解：

例9.18

设系统状态方程为：系统可控！第62页，共130页，2023年，2月20日，星期五

设线性定常系统具有互异的特征值，则系统可控的充要条件是，系统经非奇异变换后的对角线规范型方程：中，阵不包含元素全为零的行。判据二:

例9.19

已知三阶二输入系统状态方程,试判别其状态的可控性。解：

不可控！第63页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.20

试确定如下几个经非奇异变换后的对角线规范型系统的可控性。√×√×第64页，共130页，2023年，2月20日，星期五

例9.21

试判断下列已经非奇异变换成约当规范型的系统的可控性。

中，与每个约当小块的最后一行相对应的阵中的所有那些行，其元素不全为零。（若两个约当块有相同特征值，此结论不成立。）

约当规范型

判据三：√×第65页，共130页，2023年，2月20日，星期五

判据一:

线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件为可观测性矩阵:2.

可观测性判据必须满秩，即rankQo=n（n为系统维数）可观测规范型：第66页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.22

已知系统的A,C阵如下，试判断其可观性。例9.23

试判别如下系统的可观测性。解：解：√×第67页，共130页，2023年，2月20日，星期五的矩阵中不包含元素全为零的列。

设线性定常连续系统具有不相等的特征值,则其状态可观测的充要条件是系统经非奇异变换后的对角线规范型:例9.24

试判别以下系统的状态可观测性.判据二:√第68页，共130页，2023年，2月20日，星期五中,与每个约当块首行相对应的矩阵中的那些列,其元素不全为零。(如果两个约当块有相同的特征值,此结论不成立)。

约当规范型判据三:

第69页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.25

试判别下列系统的状态可观测性。

√×第70页，共130页，2023年，2月20日，星期五

1）可控可观测的充要条件：

由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数可约）。

2）可控的充要条件：

(SI-A)-1b不存在零极点对消。

3）可观测的充要条件：

c(SI-A)-1不存在零极点对消。

四、能控能观性与传递函数的关系例9.26

判断以下系统的状态可控性与可观测性。1.

单输入单输出系统第71页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.27

系统传递函数如下，判断其可控性与可观测性。解：，故不满足可控可观测的条件。第72页，共130页，2023年，2月20日，星期五2.

多输入多输出系统1）可控的充要条件：

(SI-A)-1B

的n行线性无关。2）可观测的充要条件：

C(SI-A)-1的n列线性无关。

例9.28

用两种方法验证：系统（1）的状态可控性；系统（2）的状态可观测性。第73页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.29第74页，共130页，2023年，2月20日，星期五第75页，共130页，2023年，2月20日，星期五五、对偶原理设系统S1(A1,B1,C1)与系统S2(A2,B2,C2)互为对偶系统，则:若系统S1(A1,B1,C1)可控，则系统S2(A2,B2,C2)可观测；若系统S1(A1,B1,C1)可观测，则系统S2(A2,B2,C2)可控；证明：第76页，共130页，2023年，2月20日，星期五六、线性系统的规范分解*例9.30

判断以下系统及其的状态可控性与可观测性。线性系统可分解为四种系统：

能控能观测1

√√2.√3.√4.

第77页，共130页，2023年，2月20日，星期五1.能控性规范分解定理

n阶系统(A,B,C)，rankQc=k<n，则通过非奇异变换可导出原系统按能控性规范分解的新系统(Ac,

Bc,

Cc)，有

xc是k维能控状态分量，为(n-k)维不能控分量，为能控子系统。

第78页，共130页，2023年，2月20日，星期五5-3

Tc的求法：

i)从QC中任选k

(rankQC=k)个线性无关的列向量，它为Tc的前k列：V1,V2,

···,Vk

；

ii)在Rn中再选n-k个列向量，记为Vk+1,···,Vn

,需使得：为非奇异。第79页，共130页，2023年，2月20日，星期五

设线性定常系统如下，判断其能控性；若不完全能控，试将该系统按能控性进行分解。例9.31

解系统能控性判别阵rankQc=2<n=3,所以系统是不完全能控的。第80页，共130页，2023年，2月20日，星期五其中Tc3是任意的，只要能保证Tc非奇异即可。变换后的系统的状态空间表达式即能控子系统为

第81页，共130页，2023年，2月20日，星期五

为能观测子系统。可将原系统变换为按能观测规范分解的新系统(Ao,

Bo,

Co)，有

5-4定理

n阶系统(A,B,C)，

rankQo=r<n，通过非奇异变换，xo为r维能观测状态分量；

是（n-r）维不能观测的状态分量。2.能观测性规范分解第82页，共130页，2023年，2月20日，星期五

To-1的求法:i)

从Qo中任选r(rankWo=r)个线性无关的行向量，作为To-1的前r个行向量。

ii)在Rn中再选（n-r）个行向量，构成To-1，并使To-1为非奇异。

例9.32

设线性定常系统如下，判断其能观测性；若不完全能观测，试将该系统按能观测性进行分解。解系统能观测性判别阵rankQo=2<n

所以系统是不完全能观测的。第83页，共130页，2023年，2月20日，星期五即其中是任意的，只要能保证非奇异即可。

变换后的系统的状态空间表达式能观测子系统为第84页，共130页，2023年，2月20日，星期五3.线性系统的规范分解引理系统(A,B,C)完全能控且完全能观测的充要条件是：证明能控的充要条件：rankQc=n

能观的充要条件：rankQo=n又由Sylvester不等式：其中，因此，系统完全能控且完全能观测，则必有定理不完全能控、不完全能观测的n阶系统(A,B,C)则可通过非奇异变换,将原系统(A,B,C)变换为按能控性和能观测性规范分解的系统（Aco,Bco,Cco）有：第85页，共130页，2023年，2月20日，星期五(1)能控

√ √

能观测

√√为能控且能观测子系统。

5-5第86页，共130页，2023年，2月20日，星期五按能控性和能观测性进行规范分解的步骤:是状态不完全能控和不完全能观测的，试将该系统按能控性和能观测性进行结构分解。

可只须经过一次变换对系统同时按能控性和能观测性进行结构分解，但变换阵的构造需要涉及较多的线性空间概念。下面介绍一种逐步分解的方法。

(1)先将系统按能控性分解；

(2)将不能控的子系统按能观测性分解；

(3)将能控的子系统按能观测性分解；

(4)综合以上三次变换，导出系统同时按能控性和能观测性进行结构分解的表达式。

例9.33

已知系统第87页，共130页，2023年，2月20日，星期五解前例已将该系统按能控性分解不能控子空间是能观测的，无需再进行分解。将能控子空间按能观测性进行分解。第88页，共130页，2023年，2月20日，星期五即

综合以上两次变换结果，系统按能控性和能观测性分解为

第89页，共130页，2023年，2月20日，星期五本节作业

刘豹.

P1383-1(1)3-23-3(1)第90页，共130页，2023年，2月20日，星期五一、用状态反馈配置系统的极点

定理：用状态反馈任意配置系统极点的充要条件是：受控系统可控。9.4状态反馈与状态观测器9.29.39.1uxy

b∫C

Av

状态反馈系统结构图k-第91页，共130页，2023年，2月20日，星期五结论：状态反馈不改变系统的能控性。第92页，共130页，2023年，2月20日，星期五例9.35

设受控系统的传递函数为

试用状态反馈使闭环极点配置在－2，－1±j。画出状态反馈系统结构图。设受控系统状态空间表达式

判断系统能否用状态反馈使闭环极点配置在-2±j。若能，求出状态反馈阵并画出状态反馈系统结构图。例9.34第93页，共130页，2023年，2月20日，星期五

解该单输入—单输出系统传递函数无零极点对消，故可控。其可控标准形实现为（1×3）状态反馈阵为

k=[k0

k1

k2]期望极点对应的特征方程为k=[k0

k1

k2]=[441]比较两特征方程，得状态反馈系统特征方程为第94页，共130页，2023年，2月20日，星期五第95页，共130页，2023年，2月20日，星期五第96页，共130页，2023年，2月20日，星期五第97页，共130页，2023年，2月20日，星期五yux

B∫

C

Ava)输出反馈至参考输入

h-

uxy

B∫

C

Ab)输出反馈至状态微分

h-二、输出反馈与极点配置第98页，共130页，2023年，2月20日，星期五三、状态观测器及其设计

状态观测器及其实现状态反馈的结构图u

B∫

C

A

H

uxy

B∫

C

A

K

－v

－第99页，共130页，2023年，2月20日，星期五

定理：若受控系统可观测，则其状态可用形如的全维观测器给出估值。矩阵H按任意配置极点的要求来选择，以决定状态误差衰减的速率。第100页，共130页，2023年，2月20日，星期五

试设计全维观测器，将极点配置在-10，-10。画出全维观测器及受控对象的状态变量图。例9.36

设受控系统的状态空间表达式为解：因为第101页，共130页，2023年，2月20日，星期五四、降维状态观测器所以，全维状态观测器为u(t)2y(t)∫∫22∫∫232/8.58.5----x2(t)x1(t)-画法1.画观测器与原系统一样:画法2.观测器用其方程画（课后自画）。第102页，共130页，2023年，2月20日，星期五本节作业

刘豹.

P2065-15-35-10第103页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5线性系统的稳定性9.5.1向量和矩阵的范数

9.5.1.1向量的范数

其范数||x||为一实数，具有性质：(1)若x0则||x||>0;当x=0,则||x||=0(2)||x||=||||x||,为任意标量.(3)对于两个向量x,y有

||x+y||≤||x||+||y||.(三角不等式)几种常见的向量范数：

——n维空间上的点到原点的距离。第104页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.1.2

矩阵的范数(x的范数也定义：

矩阵A=[aij]nm，其范数||A||满足:(1)当A0时，||A||>0；当A=0时，||A||=0；(2)

||A||=||||A||为任意向量；(3)

||A+B||||A||+||B||；(4)

||AB||||A||||B||；第105页，共130页，2023年，2月20日，星期五

几种常见的矩阵范数：2——范数1——范数第106页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.2平衡状态和稳定性9.5.2.1平衡状态（平衡点）xe

xe——一个状态变量，一旦系统到达此状态，则以后在无外力及扰动的情况下，总处于此状态。任意状态x(t)可表达为：x(t)=Ф(t;t0,x(t0),u(t))

平衡状态xe——零输入状态下的不变状态，有

xe=Ф(t;t0,xe,0)=常量对于线性定常连续系统：xe为平衡状态线性定常离散系统：

x(k+1)=Gx(k)(2)第107页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.2.2

几个稳定性概念可见，由线性定常连续系统（1）、离散系统（2）：xe=0线性定常系统：xe=0是唯一的渐近稳定的平衡状态。(1)李亚普若夫意义下的稳定性

(SisL——Stabilityinthesenseoflyapunov或i.s.L稳定)xe——平衡状态，x0——初始状态（t0时刻）当且仅当对于任一实数

>0，对应地存在一个实数

>0，使：||x0-xe||≤时，从任一初始状态x0出发的零输入响应Ф(t;t0

,x0

,0)都满足||Ф(t;t0,x0,0)-xe||≤,

t≥t0则称xe为lyapunov意义下稳定的（SisL）。

第108页，共130页，2023年，2月20日，星期五——球域s()，半径为

；——球域s()，半径为

。s()内的状态的自由运动总在s()内。若与t0无关，则称此平衡态xe是i.s.L一致稳定的，如下图。一般，

=

(,t0)，即与和t0有关；状态空间，以xe为原点，对给定正实数，以xe为球心、为半径构造一个超球体，球域记为s(

)。

几何解释：

第109页，共130页，2023年，2月20日，星期五(2)渐近稳定（AS—asymptoticstability）称平衡态xe是渐近稳定（AS）的，如果满足：①xe是i.s.L稳定的；②对于

(,t0)和任意给定的实数>0，对应地存在实数

T(

,,t0)>0使得满足①的任一初态x0出发的零输入响应都满足：

||Ф(t;t0,x0,0)-xe||<

,t≥t0+T(

,,t0),而且

第110页，共130页，2023年，2月20日，星期五如果从任一初态x0的受扰运动均为渐近稳定的，<5><6><4><3><2><1>线性系统：渐近稳定大范围渐近稳定。记：<1>=Sisl.

<2>=一致Sisl.<3>=AS.

<4>=一致AS.<5>=大范围AS.<6>=大范围一致AS.几种稳定定义的包含关系：线性系统：<3><5>

则称平衡状态是大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定也称为全局渐近稳定。（小范围渐近稳定也称为局部渐近稳定。）

xe为大范围渐近稳定：<4><6>

第111页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.3

李亚普若夫第一法9.5.3.1线性定常连续系统的渐近稳定性线性定常连续系统：若u(t)=0,t≥0;对任意x(0),有称为系统是渐近稳定的。

定理4.1

[特征值判据]

线性定常连续系统为渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特征值都具有负实部，即i——A的特征值。第112页，共130页，2023年，2月20日，星期五几个判据

1．[必要条件判据]

若线性定常系统为AS，则特征多项式的系数

i(i=0,1,∙∙∙,n-1)必全为正。系统为AS

i>0

(i=0,1,∙∙∙,n-1)；有缺项或有负的系统不是AS

。第113页，共130页，2023年，2月20日，星期五2．Hurwitz行列式判据:[线性定常系统为AS的充要条件判据]第114页，共130页，2023年，2月20日，星期五3．Lienard——chipart

判据——只需要计算一半Hurwitz行列式。例9.37

例9.38

第115页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.3.2线性定常离散系统的渐近稳定性若对于任意x(0),有定理4.2[特征值判据]

线性定常离散系统渐近稳定的充要条件为：G的所有特征值的幅值均小于1，即（即G的特征值i均位于Z平面的单位内）。第116页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.4李亚普若夫第二法基本思路：从能量观点进行稳定性分析：1)如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，则这个平衡状态是渐近稳定的；

2)反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，则这个平衡状态是不稳定的；

3)如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。

由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地找到一个能量函数来描述系统的能量关系;

于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数，作为虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号特征来判断系统的稳定性。第117页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.4.1(实)二次型

一般的一个实二次型是指n个变量的二次齐次多项式可写成：其中qij=qji

。其系数确定了一个n阶实对称矩阵：第118页，共130页，2023年，2月20日，星期五Q称为二次型(2)的矩阵。设x=[x1,x2,

···,xn]T，则实二次型(2)可记为：f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

定义

(实)二次型是x∈Rn的标量函数

f(x1,x2,

···,xn)=xTQx

式中，Q为一实对称nn矩阵，称为二次型f的矩阵，并将Q的秩称为二次型f的秩。x

0,若xTQx>0,则称二次型f为正定的，Q称为正定矩阵，记为Q>0。x

0,若xTQx≥0,，则称二次型f为半正定的，Q称为半正定矩阵，记为为Q≥0。若xTQx<0(≤0),称f为负定的(半负定的)，Q称为负定(半负定)矩阵，记为Q<0(≤0)。若f既不是半正定又不是半负定，则称为不定的。第119页，共130页，2023年，2月20日，星期五二次型函数的定号性判别准则

——Sylvester（希尔维斯特）判据：

二次型f(x1,x2,

···,xn)=xTQx为正定的充要条件是Q的行列式以及它的多阶顺序主子式均为正，即第120页，共130页，2023年，2月20日，星期五9.5.4.2Lyapunov稳定性定理引例如图所示:外力F0=0，得齐次方程则：平衡状态：cF0ykm第121页，共130页，2023年，2月20日，星期五给定系统→找