概率论基础第1章1的基本概念

孙 学数学 随机现象与统计例 盒子里有5个小球，已知2白3黑

正面(H)或 它的结果又具有某种规律，称为统计规律随机试 E2E3E4：从一副去掉大小王的 E5随 常用大写字母A，B，C等表示。 频率的定 记nA是A发生的次数(又称频数)；则 A发生的频率为nF(A)=nn频率的性(规范性

0≤Fn(A)≤1Fn( =1(有限可加A1，A2，…，AmFn(A1+A2+…+=Fn(A1)+Fn(A2)+···+Fn 概率的频率1654年，Pascal 掷4次至少出现一次六点” 掷24次至少出现一次双六 1933年Kolmogrov的概率公理化结构。样本空间样本空间(sample集合称为E的样本空间，用符号来表示。结果称为E的样本点，用符号来表示。1：{THT，TTH，TTT E22：{0，1，2，3，······ E33：{t|t≥0 E4：从一副去掉大小王的 4：x,y|x4y是点数，1y13E55：{(x,y)|a≤x≤b，c≤y≤d(或无限)的区间；甚至还可以是二维12：0，1，2，3}E1的两个样本空间1与12哪一个更随 (random 样本空间的子集。一般用A、B、…表示。两个特殊的随 样本空间(包含全部样本点)称为必然 空集(不包含任何样本点)称为不可 “发生可能性非常小 例 抛掷均匀硬币三次，考虑随A第一次出现的是正面HA的样本点HHH，HHT，HTH，HTT反之，如果样本点{HHT}发生，则不仅表明 A={第一次是正面}发生了，同时随B={第二次是正面}、C={第三次 }D={正面 多出现一次}、E={正 ABAB的包含关ABAB。AHHHB={H}，第一次是正面。AAAAB AHHHB={TTT}，三次都 特别的，与任意一 A互 考试中某同学有4个判断题不会做，只能靠猜测。猜对的题数X是随机的，0，1，2，3，4 A={X=0}，B={X=4}，C={X≥3BCBCACAB也不会相容。AB的和AB 记为A∪BA={HHH}，B={TTT}A∪BHHH，TTT特别的，对任意的随 AA∪A=A，A∪=A，A∪=A、BA∪BAB的交AB A∩BA={H}，B={H}ABHH AA∩A=A，A∩=，A∩= 车的时间是随机的。以T记 ：A={T≤5B={5＜T≤15}，C={T≤10 A、B、C的关系AB的差AB 记为A-B。A={HH}，B={T}ABHHHA-B=A- AA-=A，A-=，A-A=关于“关于“ A∪BA、B样本点的并集ABA、B样本点的交集ABA中去掉属于B如果AB，则A-B是不可 (ABBA∪BAAAAA AAAAB如A={HHH，TTT}，则A的对立 TTH} A

A

A包含样本点AABA发生将导致BAB=A、BA、BA、BA、BA-A发生而BAA 同时也满足DeMorgan(德 ABAB ABA交换 A∪B=B∪A，AB=BA (A∪B)∪C=A∪(B∪C(A∩B)∩C=分配律A∪(B∩CA∩(B∪CA∩B)∪(A∩C) … ={A1∪A2∪…∪An

={A1∩A2∩…∩An例

={第一次是正面=A2={三次都是同一面 A1∪A2，A1A2，A2A1，A1∩A2，A1A2解.={HHH，HHT，HTH，HTT，THH，THT，TTH，TTT}={HHH，HHT，HTH，HTT，TTTA1-={HHT，HTH，HTTA2-={TTT={HHHA1={THH，THT，TTH□例1.2.5把A∪B分解成互不相容 BBA解 A∪B=(A-B)+AB+(B-A) A∪BABA□ A、B、C是三个随机 ABCA-BCAB∪CABCABABCA、B、C ABABCABCABABCABC ABCABCABCABCABCABC ABCABCABC ABCABCABCAB

ABCABCABCABCABCABC□kpk，这些pk称为样本点k的概率可以把样本空间的全部子集取为随机，每个随机发生的概率就是它包含的样本点习题2- 562、4、6古典概率模P(A)练习抛均匀硬币三次，计算P}THH，THT，TTH，TTTP(A3/82：{0，1，2，3}，因此P(A)=1/4 加法原理与乘法原AB两类不同方式AnBmn+m

+云+

.2+4+3=9AB两个不同步骤，AnB包含m种不同的方法。nm

+云

线路一共有9(3+2)条。基本排列组nr(1≤r≤n)nr()P =n(n-1)…(n-r+1)= (n-r)26个英文字母中任取22

=2625650nr个出来排成有顺序的一列(即取出的这些元素可以相同)。所有不同的排列方式一共有nn…n=r 是8位数字，那么理论上这个城市可以容纳108，即一亿 有313种可能等等。nr(rn)构成一个集合，称为nrCnrn C == r!(n-r) r Cr=

n–

，C0=Cn=1(x+y =

[Cr yn–r r= nk个部分，各个部分包含的元素个数分别是：r1，r2，…，rk； = r1r2… 例如把52张 牌平均分给4个人，每人13张，则所有不同的分配方案有：nr个构成一个集合，称为nr的可重复组合。n+r-1rx1+x2+…+xn= = k

- =(-k=

- = 的10张100元 中有3张 现在从中随机抽出4张。则所有不同的取法 210 4C0C4

4!

35 的概率是5/6 在N件产品中有M件次品，分别采取n件产品，求恰好取出了k件次品的概率。(有放回抽样的情况Nn个。Ckk个次品MkNM件合格品n-k件(N-Mn-k Ck(M)k(1M)nk 0k (无放回抽样的情况从Nn件产品的所有二项组合方式；样本点的总数一共有CNn个；NNM件合格品n-k件CN-Mn-k

Ck CnCn NM 0kmin(n,MCnNMMkCM 1~3577

=5:2=

5

4:3=

4

3:4=

3

把n个小球随机放进N(n≤N)个盒里，即每个小球都以同样概率1/N落入某个盒中。解.N个盒中的任何一个，因此样本空间中包含的样本点总数有Nn个；PNnp N n(n365)个人，那么至少有两个人 p=1-365np 假定盒中有a个黑球与b个白球，a+b个人依次各取走一个小球，问第k个人(1≤k≤a+b)取到的是黑球的概率是多少？解法一.把小球编号，以全部抽取的顺序构造(a+b)!；第k个人取到黑球，有a

=a+解法二.假定黑球之间不可辨，白球之间也a+ pk

a

=□ P(A)1P(例1.3.6(德 掷4次至少 掷24次至少得到解.“一颗 掷4次”一共有64种可能情况，其中“一个六点都没有出现”包含了54种；因此一颗抛4次至少一个六点的概率为：5 =1

0.5177 掷24次”一共有3624种可能，其中“一个双六都没有出现”包含了3524种；因此两颗抛24次至少一个双六的概率为： =1

4练习 例1.3.8盒子中有N-1个黑球与1个白球，每次计算第k次取球时取到黑球(Ak)的概率。解.Ak的对立表示“第k次取时取到的是白球”k-1次都P(Ak)

(N1)k1N 习题1- 57 、、、 题几何概率模P(A) 假设车站每隔10分钟发一班车，随机到达车站，问等车时间不超过3分钟的概率？ 以两班车出发间隔(0,10)区间作为样本空间，乘客随机地到达，即在这个长度是10的区间里任何一个点都是等可能地发生，3分钟，即到达时刻应该是A包含的样本点，p=的长=的长

0← →=0.3 例 两人相约7时到8时在公园见面，先到y解 以7点为坐标原点小时为单位。x，y分别表示两人到达时间，(x,y)o

AA |xy|≤1/3p=的面1=5/9的面 练习 随机服务系统问8小时内随机到达。顾客甲xyx1y<xy2例1.4.4(Buffon问题) 平面上充满间距为a的平行线，任意投掷一根长度l(la)的针，解y记针的中点到最近的线的距离，表示0≤y≤a/20≤≤。yayay≤2

yoA2yyoA2yp=的面

=的面 (1/2)

MonteMonte-例1.4.5(Bertrand奇论 在半径1的圆内任3取一条弦，则弦长超 的概率有多少3解1.co解2co解3.□习题2- 5825、26、30概率空((，F，P(样本空间)；由中的一些子集生成一代数F( 域，只有在这个F中的的 )；最后在这个F上定义域代数的定

AAn代数的基本性F,ABF,AB某些子集的生成断添加子集从而得到所需要的代数。或者把包含这些基本子集的全部代数做交运算。Borel取R1(直线作为样本空间)；由中的全体左闭右开区间[x,y)所生成的代数称为Borel集类B1，B1中的元素称为Borel集。{x}

[x,x1n

(x,y)[x,y){(,y)(n,如果取=Rn(n维Euclid空间作为样本空间)；则类似定义由中的全体n维矩形所生成的代数，记为n维Borel集类Bn。当讨论的问题局限在R1上的某个区间，此时可以把的域取成它与B1的交。练习区间(x,y]所生成的代数”；或者是“直线上全部的半直线(-,y)所生成的代数”概率测E的样本空间，F是上的一个域，定义在FP如满足以下条件，则称这个集合函数P为F上的概率测度，而对应的实数P(A)则被称为是 非负：P(A)≥0，A P(1可列可加：Ak 并且两两不相容 P(Ak)P(Akk k概率的基本性 的概率为零：P()=0A1，AmP(A1+…+Am)=P(A1)+…+P(Am 概率的几个重对 的概率，P(A)=1-P(A)减 ，P(B-A)=P(B)-P(AB)特别的，ABP(B-A)=P(B加 P(A∪B)P(AP(BP(AB。P(A∪B)P(A)+P(B)例 假定P(A)=0.6，P(B)=P(AB)P(AB)解.(1)A、B，P(AB)P(AB)≤min{P(A)，P(B)}AB时P(AB最大，最大值P(A(2)根据加 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)最大时，P(AB)A∪B时P(AB最小值等于P(AB)= 假定某学院新生共1000人都参加英语政治 从这1000个学生中随机地选取一个，分别用A、B、C表示如下 ：A={数学及格}，B={英语及格}，C={政治及格}，需要计算的是概率P(A∩B∩C)。根据题意有：P(AP(B)=0.85,P(C)=0.94,P(AB)=P(AC)=0.69,P(BC)=0.81,P(ABC)=0.65 P(A∪B∪C)=0.99，因此随机选择一个P{ABC}1P(ABC) 例1.5.4(若干随 nP(Ak)

P(AiAjnk k inP(AAA)...(1)n1P(A

...Aij

PAi1Ai2Aikf(n,knP(A)n

Ck

f(n,kk

nkn□例1.5.5(错排问题m个数(0≤m≤n)解.m=0P(Ai1Ai2Aik)=(n-k)!/n!；

k1(nk

k kA)k

Cn

k k

np0n

k k(1)k1kkn现在既然有m个排在原位，即首先确定究竟是哪m个整数(Cm种)，其次剩余的n-m个需要n1n1(n k kn个数中恰有m Cm n 1n

(n k k0 k m

(1)k k k□ (从)下连续AnFAnAn+1,n=1,2,…P(An)limP(An(从)上连续

nAnFAnAn+1,n=1,2,…P(An)limP(An

n下连续的证

=

=

An-1，n1 BnAn P(An)P(Bn)P(Bk)limP(Bk k nk P(Bk