图形的轴对称讲义

2.1图形的轴对称

知识点梳理

1、轴对称的性质

(1)如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称;

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，

就可以得到这两个图形的对称轴.

(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

2、作图-轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊

的对称点开始的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得

到线段的另一端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形.

3、轴对称-最短路线问题

①、最短路线问题

在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线Z,上有到A、8的距离之和最短的点存在，可以

通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L

的交点就是所要找的点.

1

A

B

P\：

②、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理.，结合本节所学轴对称变换来解

决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

题型梳理

题型一轴对称图形性质直接运用

1.如图，在2X2的方格纸中有一个以格点为顶点的△48C,则与△ABC成轴对称且以格点

为顶点三角形共有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

2.如图，直线MN是四边形AM3N的对称轴，点尸是直线上的点，下列判断错误的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC./MAP=NMBPD./ANM=/BNM

2

3.如图的2X4的正方形网格中，的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称

为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

4.如图，若△ABC与△AbC关于直线MN对称，BB咬MN于点、0,则下列说法不一定正

确的是（）

A.AC=A,CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

5.如图，4钻。与△£»关于直线/对称,BE交/于点O,则下列说法不一定正确的是（）

A.AC=DFB.BO=EOC.AD1.1D.AB//EF

题型二根据轴对称求边和角

1.如图，△48C和B'C关于直线/对称，若NA=50°,ZCZ=30°,则NB的

度数为（）

3

A.30°B.50°C.90°D.100°

2.如图，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADIBC,垂足为Q,l\ADB与jl\

AZ）F关于直线AQ对称，点B的对称点是点5,则/。9的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

3.如图，NMON内有一点P,P点关于。历的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是

H,G”分别交OM、ON于A、B点，若/MON=35°,则NGOH=（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

4.如图，ZVIBC中，。点在BC上，NB=62°,NC=53°,将。点分别以AB、AC为对

称轴，画出对称点E、F,并连接AE、AF.则NE4F的度数为（）

BD

4

A.124°B.115°C.130°D.106°

5.如图，在△ABC中，点。，E分别在边43,上，点A与点上关于直线CO对称.若

AB=7,AC=9,8。=12,则△QBE的周长为()

A.9B.10C.11D.12

6.如图,△ABC与B'C关于直线/对称,若NA=50°,ZC=20°,则N8度数

为()

C.90°D.30°

7.如图，四边形48co中，点8关于4C的对称点"恰好落在CO上，若NBAD

=110°,则NAC8的度数为（)

A.40B.35°C.60°D.70°

8.如图，四边形A3CO中，点B关于AC的对称点夕恰好落在CO上，若NA4O

5

=a，则/ACB的度数为（)

11

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

9.如图，中，/ACB=90°,ZA=50°,将其折叠，使点A落在边CB上A'处,

折痕为CQ,则NA'DB为.

10.如图所示，点P为NAOB内一点，分别作出P点关于OA、08的对称点Pi,Pi,连接

P1P2交OA于交。8于N,PIP2=15,则△2m可的周长为

X

0J/VA

耳

11.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，13、。两点落在B'、。'点处，若得NAOB'

=70°,则/夕OG的度数为____.

6

12.如图，正方形A8C。的边长为4c〃?，则图中阴影部分的面积为cm2.

13.如图，/MON内有一点P,点P关于0M的轴对称点是G,点P关于ON的轴对称点

是H,GH分别交。例、ON于A、B点，若NMON=35°,则NGO，=.

14.如图，/BAC=110°,若A,8关于直线M尸对称，A,C关于直线NQ对称，则/B4Q

的度数是.

15.如图，在RtZ\ABC中，NB4c=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足为£>,AADB与^

关于直线AO对称，点8的对称点是点8,则NCAS的度数为.

16.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知OC是对称轴，NA=35°,

/BCO=30°,那么N4OB=度.

7

A

17.如图，△AOB与ACOB关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D.若

ZBOD=46°,ZC=22°,则NADC=°.

18.在△4BC中，AB=AC,NABC=75°,AO_LBC于点。，点。关于AB、AC对称的点

分别为E、F,连接EF分别交AB、AC于点M、N,分别连接£>M、DN,若49=6,则

△DMN的周长为.

题型三轴对称与最值问题

I.如图，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是4。上一个动点，则

下列线段的长度等于8P+EP最小值的是（）

8

A

A.BCB.CEC.ADD.AC

2.如图所示，正方形ABC。的面积为12,△A8E是等边三角形，点E在正方形A8CQ内,

在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2V3B.2V6C.3D.V6

3.如图，已知NO,点尸为其内一定点，分别在NO的两边上找点A、B,使△必8周长最

小的是（）

A.B.

C.D.

4.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村

庄供水.某同学用直线（虚线）/表示小河，P,。两点表示村庄，线段（实线）表示铺

设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（)

9

5.如图，N4O8=30°,0C为/AOB内部一条射线，点P为射线0c上一点，0P=6,

点M、N分别为。4、。8边上动点，则△MNP周长的最小值为（）

A.3B.6C.3V3D.673

6.如图，在锐角三角形ABC中4B=2,/BAC=45°,NBAC的平分线交BC于点。，M、

N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

C.2D.V6

7.如图，正方形A8CZ）的边长为4,/D4c的平分线交。C于点E,若点P、Q分别是4。

和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是.

10

8.如图，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC边的中点，E是AB边上一动

点，则EC+ED的最小值是.

9.如图所示，正方形ABC。的面积为12,ZXABE是等边三角形，点E在正方形A8CD内,

在对角线AC上有一点产，使PD+PE的和最小，则这个最小值为.

10.如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90",AC=6,BC=8,AO平分/CAB交8c于。点,

E,尸分别是A。，AC上的动点，则CE+EF的最小值为

11.(1)如图1,在AB直线一侧C、。两点，在AB上找一点P,使C、。、P三点组成的

三角形的周长最短，找出此点并说明理由.

(2)如图2,在/AOB内部有一点尸，是否在0A、上分别存在点E、凡使得E、

11

F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由.

（3）如图3,在/AOB内部有两点M、N,是否在OA、0B上分别存在点E、F,使得E、

F、M、N,四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点,并说明理由.

题型四周长最值求角

1.如图，点P是NAOB内任意一点，0P=5c/n,点M和点N分别是射线04和射线上

的动点，△「〃代周长的最小值是5c/n,则/A08的度数是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

2.如图，点P是乙4OB内任意一点，且408=40°,点M和点N分别是射线04和射

线08上的动点，当周长取最小值时，则NMPN的度数为（）

A.140°B.100°C.50°D.40°

3.如图，四边形A8C。中，ZBAD=nO°,NB=/£>=90°,在BC、CD上分别找一点

M、N,使△AMN周长最小时，则NAMN+/AMW的度数为（）

12

A.130°B.120°C.110°D.100°

4.如图，在锐角aABC中，ZACB=50°；边A8上有一定点尸，M、N分别是AC和BC

边上的动点，当的周长最小时，NMPN的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

5.如图，点P是/AOB内任意一点，OP=8cm,点M和点N分别是射线OA和射线08上

的动点，△PMN周长的最小值是8cm,则NAOB的度数是（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

6.已知点P在NMON内.

（1）如图1,点尸关于射线0M的对称点是G,点尸关于射线ON的对称点是H,连接

OG、OH、OP.

①若NMON=50。，则/GOH=；

②若PO=5,连接GH,请说明当NMON为多少度时，GH=10；

13

(2)如图2,若NMON=60°,A、8分别是射线。M、ON上的任意一点，当的

周长最小时，求NAPB的度数.

14

答案与解析

题型一轴对称图形性质直接运用

1.如图，在2X2的方格纸中有一个以格点为顶点的△力BC,则与△ABC成轴对称且以格点

为顶点三角形共有（）

15

A.3个B.4个C.5个D.6个

【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AO,BF等都可以是它的对称轴，

然后依据对称找出相应的三角形即可.

【解答】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有aASG、/XCDF,AAEF.△

DBH,ABCG共5个，

故选：C.

2.如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是

()

A.AM=BMB.AP=BNC.NMAP=/MBPD.NANM=NBNM

【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的

性质即可得到结论.

(解答［解：,••直线MN是四边形AMBN的对称轴，

16

...点A与点8对应,

：.AM=BM,AN=BN,/ANM=NBNM,

•点P时直线MN上的点，

：.ZMAP=ZMBP,

C,。正确，B错误，

故选:B.

3.如图的2X4的正方形网格中，△A8C的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称

为格点三角形，在网格中与△A8C成轴对称的格点三角形一共有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【分析】根据题意画出图形，找出对称轴及相应的三角形即可.

【解答】解:如图:

共3个，

故选：B.

4.如图，若△ABC与△A5C,关于直线对称，BB咬MN于点0,则下列说法不一定正

确的是（）

17

A.AC=A'CB.BO=B'OC.AA'LMND.AB=B'C

【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：..•△48C与aA'B'C关于直线MN对称，

：.AC=A'C',A4'LMN,BO=B'0,故4、B、C选项正确，

AB=B'C不一定成立，故。选项错误，

所以，不一定正确的是D

故选：D.

5.如图,AABC与△。所关于直线/对称,BE交/于点0,则下列说法不一定正确的是（）

A.AC=DFB.B0=E0C.ADA.ID.AB//EF

【分析】根据轴对称的性质解决问题即可.

【解答】解：:△ABC与△DEF关于直线/对称，

:.△ACBQXDFE,直线/垂直平分线段A。，直线/垂直平分线段BE,

：.AC=DF,ADLl,OB=OE,

18

故选项A,B,C正确，

故选：D.

题型二根据轴对称求边和角

1.如图，△48C和B'C关于直线/对称，若NA=50°,ZCZ=30°,则NB的

度数为（）

A.30°B.50°C.90°D.100°

【分析】先根据△ABC和△A'B'C关于直线/对称得出△ABCgZVl'B,Cf,故可

得出NC=NU,再由三角形内角和定理即可得出结论.

【解答】解：VAABCaiAA/4C关于直线/对称，NA=50°,NC'=30°,

••・△ABC丝BrC,

/.ZC=ZCZ=30°,

.,.ZB=I80°-ZA-ZC=180°-50°-30°=100°.

故选：Q.

2.如图，在RtAABC中，ZBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足为O,△A£>3与4

A。笈关于直线AQ对称，点5的对称点是点8,则NC4笈的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

19

【分析】由余角的性质可求NC=40°,由轴对称的性质可得N488=N5=50°,由外

角性质可求解.

【解答】解：・.・N8AC=90°,NB=50°,

・・・NC=40°,

・・,XADB与△AO8关于直线AD对称，点B的对称点是点

・・・NA88=N8=50°,

：.ZCAB'=AAB'B-ZC=10°,

故选：A.

3.如图，NMON内有一点P,尸点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是

H,G"分别交OM、ON于A、B点，若NMON=35°,则NGO”=()

A.60°B.70°C.80°D.90°

【分析】连接OP,根据轴对称的性质可得NGOM=NMOP,ZPON=ZNOH,然后求

出NGO”=2NMON,代入数据计算即可得解.

【解答】解：如图，连接OP,

•・•P点关于OM的轴对称点是G,尸点关于ON的轴对称点是H,

：.NGOM=/MOP,/PON=/NOH,

JZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2AMON,

•・・/MON=35°，

：.ZGOH=2X35°=70°.

20

故选：B.

4.如图，ZVIBC中，力点在BC上，NB=62°,/C=53°,将。点分别以A8、AC为对

称轴，画出对称点E、F,并连接AE、AF.则NEA尸的度数为（）

A.124°B.115°C.130°D.106°

【分析】连接4。利用轴对称的性质解答即可.

【解答】解：连接AO,

•.•。点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F,

:.NEAB=/BAD,ZFAC=ZCAD,

VZB=62°,ZC=53°,

：.ZBAC=ZBAD+ZDAC=\SQO-620-53°=65°,

：.ZEAF=2ZBAC^130Q,

21

5.如图，在AABC中，点。，E分别在边AB,BC上，点A与点E关于直线CQ对称.若

AB=7,AC=9,BC=12,则△£>?£：的周长为（）

A.9B.10C.11D.12

【分析】根据轴对称的性质得到：AD=DE,AC=CE,结合已知条件和三角形周长公式

解答.

【解答】解：•••点A与点E关于直线C。对称，

：.AD=DE,AC=CE=9,

；AB=7,AC=9,BC=12,

：.ADBE的周长=BQ+QE+BE=BQ+AO+BC-AC=AB+BC-AC=7+12-9=10.

故选：B.

6.如图，ZVIBC与B'C关于直线/对称，若NA=50°,NC=20°,则Nb度数

为（）

22

23

A.110°B.70°C.90°D.30°

【分析】利用三角形内角和定理求出N5,再利用轴对称的性质解决问题即可.

【解答】解：•.•△ABC与B'C关于直线/对称，

:・/B'=/B,

VZB=180°-ZA-ZC=180°-50°-20°=110°,

：.ZBf=110°,

故选：A.

7.如图，四边形ABC。中，点8关于AC的对称点"恰好落在C。上，若NBA。

=110°,则NAC5的度数为（）

A.40°B.35°C.60°D.70°

【分析】连接AS,BB\过A作AE_LCD于£依据N3AC=N8AC,ZDAE=ZB'AEf

即可得出NCAE=4/84。，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到/AC8

1

=ZACB'=90°-"BAD.

【解答】解：如图，连接AS,BB',过A作AEJ_CQ于七，

23

点8关于AC的对称点8恰好落在CD上，

・・.AC垂直平分8B，，

：.AB=AB\

：.ZBAC=ZB'AC,

\'AB=AD9

：.AD=AB\

又YA及LC。，

・•・ZDAE=ZB'AE,

i

/.ZCAE=|ZBAD=55°,

又・・・NAEC=90°,

AZACB=ZACB,=35°,

故选:B.

8.如图，四边形ABC。中，A8=A。，点8关于AC的对称点夕恰好落在CD上，若NB4O

=a,则NAC3的度数为（）

24

D

1i

A.-aB.900-4aC.45°D.a-45°

22

【分析】连接AB',BB',过A作AE_LC£)于E,依据NB'AC,ZDAE^ZB'AE,

即可得出NC4E=；NBA£),再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到NAC8

1

=ZACB'=90°-^BAD.

【解答】解：如图，连接A8,BB\过A作AEJ_CD于E,

,/点B关于AC的对称点8恰好落在CD上,

•♦•AC垂直平分BB',

：.AB=AB\

；・NBAC=NB，AC,

VAB=ADf

：.AD=AB\

又・・・AEJ_CO,

：.ZDAE=ZB'AEf

25

.".ZCAE^^ZBAD=^a,

又；/4£：3'=/4。8'=90°,

二四边形AOB'E中，NEB'O=180°-1a,

1i

AZACB'=ZEB'O-ZCOB'=180°-*a-90°=90°-1a,

i

AZACB=ZACB'=90Q-^a,

故选：B.

9.如图，RtZXABC中，/ACB=90°,ZA=50°,将其折叠，使点A落在边CB上A'处,

折痕为CD,则/A'DB为10°.

【分析】根据轴对称的性质可知NCA'£>=NA=50°,然后根据外角定理可得出/A'

DB.

【解答】解：由题意得：ZCA'O=NA=50°,ZB=40°,

由外角定理可得：NCA'£>=/8+NA'DB,

可得：NA'DB=\0°.

故答案为：10°.

10.如图所示，点P为/AOB内一点，分别作出P点关于OA、。8的对称点尸1,Pi,连接

P1P2交0A于M,交。8于N,P\P2=\5,则△PMN的周长为交.

26

p

2B

□J/VA

耳

【分析】P点关于的对称是点Pi,P点关于0B的对称点P2,故有PM=P\M,PN

=P1N.

【解答】解：点关于04的对称是点P，P点关于0B的对称点P2,

：.PM=P\M,PN=P1N.

/XPMN的周长为PM+PN+MN=MN+PIM+P2N=PiP2=15.

故答案为：15

11.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B、。两点落在B'、D'点处，若得NAOB'

=70°,则/夕0G的度数为55°.

【分析】根据轴对称的性质可得NB'OG=NBOG,再根据NAOB'=70°,可得出NB'

0G的度数.

【解答】解：根据轴对称的性质得：/B'OG=NBOG

又NAOB'=70°,可得NB'OG+/BOG=110°

1

；.NB'<?G=|xllO°=55°.

12.如图，正方形ABC。的边长为4c加，则图中阴影部分的面积为」a〃2.

27

【分析】正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分

的面积为正方形面积的一半.

【解答】解：依题意有5牌=3乂4乂4=8。m2.

故答案为：8.

13.如图，NMON内有一点P,点P关于0M的轴对称点是G,点P关于ON的轴对称点

是H,GH分别交OM、ON于A、8点，若NMON=35°,则/GOH=70°.

【分析】连接0P，根据轴对称的性质可得/GOM=/MOP,4P0N=NN0H,然后求

出NGO//=2/MON,代入数据计算即可得解.

【解答】解：如图，连接。P,

点关于OM的轴对称点是G,P点关于ON的轴对称点是H,

:.NGOM=/MOP,NPON=NNOH,

：.ZGOH=ZGOM+ZMOP+ZPON+ZNOH=2ZMON,

■:NMON=35°,

：.ZGOH=2X35°=70°.

故答案为：70。.

28

14.如图，NBAC=110°,若A,B关于直线MP对称，A,C关于直线NQ对称，则N41Q

的度数是40。.

【分析】由/54C的大小可得与NC的和，再由线段垂直平分线，可得

/QAC=NC,进而可得/%。的大小.

【解答】解：,••NBAC=110°,

：.ZB+ZC=70°,

B关于直线MP对称，4,C关于直线N。对称，

又；MP,NQ为AB，4c的垂直平分线，

:.NBAP=NB,ZQAC=ZC,

：.ZBAP+ZCAQ^10°,

：.ZPAQ^ZBAC-ZBAP-ZCAQ=l\00-70°=40°

故答案为：40°.

15.如图，在RtZ\ABC中，NBAC=90°,ZB=50°,ADLBC,垂足为£),△AOB与4

AD9关于直线AO对称，点B的对称点是点片，则/。81的度数为10°.

29

A

【分析】求出/C,ZAB'D,利用三角形的外角的性质求解即可.

【解答】解：VZB=50°,NA8C=90°,

.\ZC=90°-50°=40°,

'.'AD1BC,△408与△AOS关于直线AO对称，

AZAB'O=N8=50°,

,：ZAB1D^ZC+ZCAB',

：.ZCAB'=500-40°=10°,

故答案为为。.

16.如图是小明制作的风筝，为了平衡制成了轴对称图形，已知。C是对称轴，NA=35°,

/BCO=30°,那么/COB=130度.

【分析】根据轴对称的性质可知，轴对称图形的两部分是全等的.

【解答】解：依题意有N4OB=2（NA+NAC。）=2（NA+NBC。）=130°.

17.如图，△AOB与△COB关于边。8所在的直线成轴对称，A。的延长线交BC于点D若

/80。=46°,NC=22°,则NAZ）C=70°.

30

B

【分析】根据求出/A,/ABD即可.

【解答】解：•••△AOB与aCOB关于边。8所在的直线成轴对称，

二△AOBdCOB,

AZA=ZC=22°,NABO=NCBO,

,：ZBOD^ZA+ZABO,

，NABO=46°-22°=24°,

...NA8O=2NABO=48°,

AZADC^ZA+ZABD=220+48°=70°,

故答案为：70.

18.在△ABC中，AB=AC,/A3C=75°,A£>_L2C于点£),点。关于AB、AC对称的点

分别为E、F,连接EF分别交AB、AC于点M、N,分别连接DM、DN,若40=6,则

ADMN的周长为6.

【分析】连接AE,AF,依据轴对称的性质，即可得到△AEF是等边三角形，进而得出

31

AE

32

=EF=6,依据EM=OM,FN=QM即可得到△DMN的周长=DM+MN+DF=EM+MN+NF

=6.

【解答】解：如图，连接AE,AF,

・・,点。关于AB、AC对称的点分别为E、F,

・・・48垂直平分QE,AC垂直平分。凡

：.AE=AD=AF=6,ABIDE,AC1DF,

：.ZEAB=ZDAB,ZCAF=ZCAD,

•・・A8=AC,ZABC=15°,

：.ZBAC=30°,

：.ZEAF=60°,

；・AAEF是等边三角形，

：.AE=EF=6,

：・EM+MN+NF=6,

TAB垂直平分OE,AC垂直平分。尺

:・EM=DM,FN=DN,

：.XDMN的周长=£>M+MN+OF=EM+MN+NF=6,

BDC

32

题型三轴对称与最值问题

I.如图，在△4BC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，P是4。上一个动点，则

下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（）

A.BCB.CEC.ADD.AC

【分析】如图连接PC,只要证明PB=PC,即可推出PB+PE=PC+PE,由PE+POCE,

推出尸、C、E共线时，P8+PE的值最小，最小值为CE的长度.

【解答】解：如图连接PC,

'：AB=AC,BD=CD,

J.ADLBC,

：.PB=PC,

：.PB+PE=PC+PE,

,:PE+PC'CE,

；.P、C、E共线时，尸8+PE的值最小，最小值为CE的长度,

故选：B.

33

2.如图所示，正方形A8C。的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形A8C。内,

在B对角线AC上有一：点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2V3B.25/6C.3D.V6

【分析1由于点B与D关于AC对称，所以连接BD,BE与AC的交点为P,此时PD+PE

=BE最小，而8E是等边△ABE的边，BE=AB,由正方形ABCD的面积为12,可求出

AB的长，从而得出结果.

【解答】解：设BE与AC交于点F（尸’），连接8。，

:点B与Z）关于4c对称，

：.P'D=P'B,

：.P'D+P'E=P'B+P'E=BE最小.

即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；

,/正方形ABCD的面积为12,

；.AB=2V5.

又「△ABE是等边三角形，

：.BE=AB=2^3.

故所求最小值为2H.

故选：A.

34

3.如图，已知NO,点P为其内一定点，分别在NO的两边上找点A、8,使周长最

小的是（）

【分析】根据轴对称的性质即可得到结论.

【解答】解：分别作点尸关于NO的两边的对称点P\,P2,连接P1P2交NO的两边于A,

B,连接B4,PB,此时的周长最小.

故选：D.

4.某平原有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村

庄供水.某同学用直线（虚线）/表示小河，P,Q两点表示村庄，线段（实线）表示铺

设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（）

35

o

D.

【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离.

【解答】解：作点P关于直线/的对称点C,连接QC交直线/于M.

根据两点之间，线段最短，可知选项C铺设的管道最短.

故选：C.

C

5.如图，ZAOB=30°,0C为NA02内部一条射线，点尸为射线0C上一点，。尸=6,

点M、N分别为。4、08边上动点，则△MNP周长的最小值为（）

A.3B.6C.3V3D.673

【分析】作点P关于0A的对称点Pi,点P关于0B的对称点P2,连接P1P2,与0A的

交点即为点与08的交点即为点M则此时M、N符合题意，求出线段PiP2的长即

可.

【解答】解：作点P关于0A的对称点Pi,点P关于0B的对称点尸2,连接P1P2

与0A的交点即为点M,与0B的交点即为点N,

APMN的最小周长为PM+MN+PN=PiM+MN+PzN=P1P2,即为线段P1P2的长，

36

连接0P1、OP2,则OPi=O尸2=0尸=6,

又,.•NROP2=2/AQB=60°,

...△0PlP2是等边三角形，

；.P1P2=OP1=6,

即△PMN的周长的最小值是6.

故选:B.

6.如图，在锐角三角形ABC中AB=2,N54C=45°,NBAC的平分线交BC于点O,M、

N分别是A。和A8上的动点，则BM+MN的最小值是（）

A.1B.V2C.2D.V6

【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关

系确定线段之和的最小值.

【解答】解：如图，在AC上截取AE=AM连接BE,

37

VABAC的平分线交BC于点D,

：.NEAM=NNAM,

在△AME与△AMN中，

AE=AN,ZEAM=ZNAM,AM=AM,

.♦.△AME也△AMN(SAS),

:.ME=MN.

：.BM+MN=BM+ME2E,

当BE是点B到直线AC的距离时，BE1.AC,此时BM+MN有最小值，

"：AB=2,N8AC=45°,此时aABE为等腰直角三角形，

BE=V2,即BE取最小值为VL

BM+MN的最小值是鱼.

故选:B.

7.如图，正方形ABCD的边长为4,/D4c的平分线交。C于点E,若点尸、。分别是AO

和AE上的动点，则OQ+PQ的最小值是，夜

38

【分析】过。作AE的垂线交AE于F,交AC于O',再过。'作AP'VAD,由角平

分线的性质可得出是。关于AE的对称点，进而可知O'P'即为OQ+PQ的最小值.

【解答】解：作DD'J_AE于尸，交AC于。'，再过。'作O'P'于尸'，

*：DD'LAE,

：.ZAFD^ZAFD',

'：AF=AF,ZDAE=ZCAE,

.•.△D4F妾△£)'AF,

：.D'是。关于AE的对称点，AD'=AD=4,

.MP'即为QQ+PQ的最小值，

•.•四边形ABC。是正方形，

：.ZDAD'=45°,

：.AP'=P，D',

.,.在RtzMP'D'中，

P'D'2+AP'2=A»2,AD'2=16,

"：AP'=P'O',

2P'D'2=AZ)'2,g|j2P'D，2=[6,

：.P'D'=2&,

即DQ+PQ的最小值为2企，

故答案为：2口.

39

8.如图，在△ABC中，AC=BC=2,乙4c8=90°,。是BC边的中点，E是AB边上一动

点，则EC+ED的最小值是_b_.

【分析】首先确定DC'=DE+EC'=OE+CE的值最小.然后根据勾股定理计算.

【解答】解：过点C作COJ_AB于O,延长CO到C',使OC'=0C,连接。C',交

AB于E,连接CE,

llhff'j-DE+CE=DE+EC=DC'的值最小.

连接BC',由对称性可知/C'BE=NCBE=45°,

:.NCBC'=90°,

：.BCIBC,ZBCC=NBC'C=45°,

：.BC=BC'=2,

•.•。是BC边的中点，

：.BD=1,

根据勾股定理可得DC=7BC'2+BD2=V22+I2=V5.

故答案为：V5.

40

9.如图所示，正方形ABC。的面积为12,△A8E是等边三角形，点E在正方形ABC。内,

在对角线4C上有一点P,使PO+PE的和最小，则这个最小值为，、月

【分析】由于点B与。关于4C对称，所以连接BD,与AC的交点即为F点.此时PD+PE

=BE最小，而8E是等边AABE的边，BE=AB,由正方形ABC。的面积为12,可求出

AB的长，从而得出结果.

【解答】解：连接80,与AC交于点F.

;点B与。关于AC对称，

：.PD=PB,

PD+PE=PB+PE=BE最小.

:正方形ABCQ的面积为12,

.•.AB=2V1

又•:△ABE是等边三角形，

:.BE=AB=2®

故所求最小值为2g.

故答案为：2次.

41

10.如图，在Rt/XABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,