青岛理工大学线性代数练习册答案

第一章n阶行列式1.求下列各排列的逆序数：(1)134785692(2)139782645(3)13…(2n-1)24…(2n)(4)13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2n(n1)（11;17;;n(n1)）21274i56j9(i,j)2.已知排列为偶排列，则(8,3).3.计算下列各阶行列式：1031002041992003953013006000a0abacaebdcdde(1)(2)b0c(3)[2000;0;4abcdef]0d0bfcfef2xx121x114.设D32x1，则D的展开式中x3的系数为-1.111x5求二次多项式fx，使得f16，f12，f23bxc，于是由，，得f16f12f23解设fxax2abc6abc2求a,b,c如下：4a2bc3111611161116D11160，D2116，D12112，D11218123421321431423所以aD11，bD22，cD33DDD故fxx22x3为所求。行列式的性质；克拉默法则Da，则展开式中项ijaaaan1nan1的符号为(D).1223341.n阶行列式（A）-（B）+（C）(1)n（D）(1)n1aaaaa4a4a2a3aaaa1121311222321311，求2111122232132333Da2.如果a12a3a[-12]2321aa4a2a3a3331311012D11033.已知，计算AAAA[-1]4142111043441254132234094.计算行列式22623383[-50]5.计算下列各行列式（D为k阶行列式）ka(1)11[anan2],其中对角线上元素都是a，未写出的元素都是0;axaaaax[a(xa)n1](2);aaaaxxxxxxxx1xax2xxa(3)3[利用递推公式来求]xxxxxxaxn1xan递推公式为Dx(ax)(ax)(ax)(ax)Dn1n12n1nxxxD=(ax)(ax)(ax)(1axaxax)n12n12n122222223222[(n2)!](4)2222n0000000000010010[nn1n11(5)n]000000001xxx0123有非零解？[1;0]xxx06.问，取何值时，齐次方程组123x2xx01237.某商店经营四类商品，四个月的销售额及利润额如表所示：商品ABCD总利润月次12344040505060606060809080901009027.427.628.927.910090求每类商品的销售利润率。（去掉）习题二矩阵及其运算矩阵；矩阵的运算1.以下结论正确的是（C）（A）若方阵A的行列式A0，则A0。（B）若A20，则A0。（C）若A为对称矩阵，则A2也是对称矩阵。（D）对任意的同阶方阵A,B有(AB)(AB)A2B2121310211730[9272.设A=013，B=，C=，计算(1)2A-3B+2C．]121312311111210，求AB-BA．101022]2122043．设A=，B=[4401235213204．设A=341，B=，计算ABT，BTA，ATA，BBT+ABT．20121213422199;1366310423412206[;;;52]176526212A01，34P，那么1020045．若PAP．20053412A1B26．A,B为三阶矩阵，，，则12ABT22．0a35a3a5027．已知f(x)x23x5，A，则f(A).0b0b2b8．A为2005阶矩阵，且满足ATA，则A0．11n9．计算0111，A解：设01111112A2AA则，010101A3A2A1211130101011n11n1111nA，则AAn1A，假设1nn01010101111nnn，有01于是由归纳法知，对于任意正整数0110．证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是A与B可交换．(略)11．证明：若A和B都是n阶对称矩阵，则A+B，A-2B也是对称矩阵．（略）23102312．已知A=PQ其中P=，=，Q=．QP=E，计算A，A2n+1（n为正整数）．2n01121210712；]0147[逆矩阵；分块矩阵13．设A、B都是n阶矩阵，问：下列命题是否成立？若成立给出证明；若不成立举反例说明．(1)若A、B皆不可逆，则A+B也不可逆；(3)若AB不可逆，则A，B都不可逆；(4)若A可逆，则kA可逆（(2)若AB不可逆，则A，B都可逆；k是常数）．（略）141014．设PAP=，其中P=，=，求A．（略）-1n110211627]A(3A)12A，求[15．设A为3阶矩阵，且.*216．（1）若方阵A2A4E0，试证A+E可逆，并求AE.（略）A满足21A1，又ATA1，试证A+E不可逆A是n阶矩阵，且（2）设（证明行列式等于零）123144917．解矩阵方程AXB，其中01225011A，B。[]001131318．求下列矩阵的逆矩阵：110011110110sincoscossincossin011100110001(1)；(2)．[；]sincos0011000119．利用逆矩阵解下列方程：1123121316120X101122(1)．[]3135620．设A=0(k为正整数),证明：(E-A)-1=E+A+A2+…+Ak-1．k21．设方阵A满足方程A-2A+4E=0．证明A+E和A-3E都是可逆的，并求它们的逆矩阵．222．设方阵A满足A-A-2E=0证明：2(1)A和E-A都可逆，并求23．设A满足A=0（k为正整数），试证明E-A可逆，并求其逆矩阵．24．设A是实对称矩阵，且它们的逆矩阵；(2)(A+E)和(A-2E)不同时可逆．幂零矩阵kA=0，证明A=0．20B，其中25．设A=B是n阶可逆阵，C是m阶可逆阵．证明A可逆，并求A．-1C026．用矩阵分块的方法，证明下列矩阵可逆，并求其逆矩阵．120002010225000020130030000100⑴；⑵．0001000010000010000110101225200012001001232021000100000[；]300010000100000100001习题三初等矩阵；矩阵的秩21837352230753。[3；20]1．求矩阵的秩，并求一个最高阶非零子式A3258010010320123kA12k3，问k为何值，可使（1）R(A)1;（2）R(A)2;（3）R(A)3;[k1;k2；k1,k2]2．设k231111A13．用初等矩阵判断方阵是否可逆。若可逆，求12212514A41121111100011111000rr1221010025140010033211000332201003324001解：221AEr3r14rr41411200011111因为033203320，所以A0，故A不可逆，即A1不存在。0332121101解矩阵方程AXB，其中A2104．用初等矩阵，.B452325141解：5110110015110012221001022AE010511A1511001713250011721221252111211252XA1B51145229871114104622112215．用初等矩阵求RA021512031311041其中A1122111221112210215151rr320000002021511021510022200000r2r解：1（上阶梯形），rr34A3rr002220022241RA3有此可看出25．设n阶方阵A的伴随矩阵为A*，证明：(1)若|A|=0，则|A*|=0；(2)|A*|=|A|n-1．（略）线性方程组一.判断题；选择；题空题4368是Ax0的一个解12345,,,,都是Axb1.若的解，则.()12345Ax0基础解于nR(A).(2.方程组系的个数等)mnmn3.若方程组Ax0有非零解，则方程组Axb必有无穷多解.(错)4.Ax0与ATAx0为同解方程组.()充分必要条件是Axb有两个不同的解Ax0一定有齐次线性方程组mn5.方程组Axb有无穷多个解的.()6.当(D)时，非零解.（A）mn；（B）；（mnmnmnC）；（D）.x0232xx12xxx0的系数矩阵xxx0记为A，若存在三阶方阵BO，使得ABO，则7.方程组13123(A).1B01B01B01B0.；（D）且（A）且；（B）且；（C）且Abxb有解，则其增广矩阵的行列式=8.设方程组A(n1)n0.axx121xxaaaaa应满足条件和等于零.,,,49.若232有解，则常数xxa3xxa123344141211x123a2x3a无解，则-110.已知方程组.21a2x03572x1xxxx133xc143212342xx4x5x6c111.求方程组的通解.[通解为2]301234x2x4x2x3x4x51031012340xxkx4123xkxxk212．设，问方程组什么时候有唯一解？什么时候无解？什么时候有无穷多解，123xx2x4123并在有无穷多解时求解.解：有唯一解k1,k4；无解k1；30c14。k4，解为无穷多解10第四章向量组的线性相关性第一节n维向量v(1,1,0)T,v(0,1,1)T,v(3,4,0)T3v2vv.31．设,求123123v2vv3(1,1,0)T2(0,1,1)T(3,4,0)T解：123(31203,31214,30210)T(0,1,2)T3(aa)2(aa)5(aa)a(2,5,1,3)T,a(10,1,5,10)T,2．设其中12312a(4,1,1,1)T,求a3解由3(aa)2(aa)5(aa)整理得123a16(3a2a5a)16[3(2,5,1,3)T2(10,1,5,10)T5(4,1,1,1)T]1(1,2,3,4)T233．已知+=(2,1,5,2,0)，-=(3,0,1,-1,4)，求，．[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)]1(,,3,,2)1151212122211解：[()()][(2,1,5,2,0)(3,0,1,1,4)]3(,,2,,2)22222第二节向量组的线性相关性baa,baa,baa,baab,b,b,b线性相关12341．设1,证明向量组.11222333444x,x,x,xxbxbxbxb0则11223344证明设有使得，1234x(aa)x(aa)x(aa)x(aa)0112223334441(xx)a(xx)a(xx)a(xx)a0141122233344a,a,a,ak,k,k,k4,123(1)若线性相关,则存在不全为零的数1234kxx;kxx;kxx;kxx114212323434;由k,k,k,kx,x,x,x4不全为零,即b,b,b,b线性相关12312344不全为零,知.123xx01001x141a,a,a,axx01100x(2)若线性无关,则01212340110x2xx03230011xx0x3441001b,b,b,b由1011000知此齐次方程存在非零解，则线性相关.综合得证.12340011ba,baa,,baaara,a,,a2．设,且向量组线性无关证明向,1121212r12rb,b,,br量组线性无关.12kbkbkb0则设11证明22rr(kk)a(kk)a(kk)aka0rr1r12r2prpa,a,,ar因向量组线性无关,故12kkk011k012r111110故方程组只有零解，则kk0011k0因为2r2010kk0001，001rrkkk0b,b,,b线性无关所以12r12r112213．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:.021512031311041r2r1122111212131~解：021515102rr203130215100222411104111221rr02151，所以第1、2、3列构成一个最大无关组．32~rr002223400000第三节向量组的秩a(1,2,1,3),a(4,1,5,6),aT(1,3,4,7).31．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:TT1212131213a解：1213T~~109918099184156a1347T2055100000aT3a,a2,最大线性无关组为TT.12秩为2．设向量组，，…，(t>2)线性无关，令=2+3+…+t,，2=1+3+…+t，…，=+2+…+t-1．2t1t11证明：，，…，线性无关．12ta,a,,ann维向量3．设,证明它们线性无关的是一组维向量充分必要条件是：任一都可由它们线12n性表示.,,,ar1b,b,,brB,向量组:向量组:的秩12t24．设向量组A:a1a2sC的秩为a,a,,a,b,b,,brmax{r,r}rrr,证明的秩12s12r312312证明设A,B,C的最大线性无关组ABC，含有的向量个,,r,r,r2,则分别为数(秩)分别为12A,B,C分别与A,B,C等价，易知A,BCCACB均可由线性表示，则秩()秩(),秩()秩()，即max{r,r}r312AB设与中的向量共同构成向量组，则均可由线性表示，即可由线性表示，从DA,BCDD而可由线性表示，所以秩)秩(),CDCD(rrrrrrr2.1231DD()即为阶矩阵，所以秩12B的列向量组线性无关5.设A是nm矩阵，B是mn矩阵，n<m，E是n阶单位阵，若AB=E，证明：.B:b,,ba,,aA:能由向量组线性表示为1s6．设向量组1r(b,,b)(a,,a)K，1r1sKRKr.()。证明组线性无关的充分必要条件是矩阵的秩KsrAB其中为矩阵，且组线性无关B证明若组线性无关令B(b,,b)A(a,,a)则有BAK，由定理知，1r1s,,,Bbbb线性无关rR(B)r，故知R(B)R(AK)min{R(A),R(K)}R(K)，由组:12R(K)r，又知Krs()min{r,s}RKBbbb能由向,,,。由于向量组:12为阶矩阵则r,,,Aaaarsrmin{,}rs量组:1线性表示,则，2s综上所述知rR(K)r即R(K)r．Rkr()若令xbxbxb0xi1,2,,x1r,其中为实数，则有(b,b,,b)0，又1122rri12rxrx1(b,,b)(a,,a)K,则(a,,)aK01r1s1sxrx1a,a,,a线性无关sx由于,所以0K212xr

kxkxkx01112121rrkxkxkx0121222r2r即（1）kxkxkx01r12r2rrrkxkxkx01s12s2rsrR(K)r由于则(1)式等价于下列方程组:kxkxkx0kkk2111121211112r1rrkxkxkx0，由于kkk22r20121222r2rkxkxkx0kkk1r12r2rrr1r2rrrxxx0b,b,,b所以方程组只有零解.所以线性无关，证毕.12r12r第四节向量空间a(0,1,1)T,a(1,0,1)T,a(1,1,0)RT所生成的向量空间就是3.1．试证:由1232．证明设A(a,a,a)123110011(1)110120Aa,a,a101123110011R(A)3a,a,a.由于均为三维,且秩为3,23于是故线性无关1a,a,a3a,a,aR所以3为此三维空间的一组基,故由所生成的向量空间就是3.1212a(1,1,0)T,a(2,1,3)T,a(3,1,2)RT为的一个基,并把32．验证123v(5,0,7)T,v(9,8,13)T用这个基线性表示.12123解由于a,a,a11160，即矩阵(a1,a,a)的秩为a,a,a3，故3线性无关，则为2312123032R3的一个基.2k3k5kk2vkakaka，则，1231设kkk031112233k12323k2k71k233v2a3aa3故11233239kvaaa1设，则，12832132112233k32123k2233v3a3a2a3故线性表示为，212第五节线性方程组的解的结构xx2x3x201x1234x1．求齐次线性方程组5x4x20的基础解系.32348x7x6x3x0123421102321191419解：7A357462初等行~变换011901908300x2x191x所以原方程组等价于1914134xx197x19234x1,x2x0,x0x0,x19x1,x7取得；取得341341220017因此基础解系为,10122192213矩阵,使AB0,且R(B)242B.A,求一个2．设952810R(B)2解由于,所以可设10则由2213010001AB9528B00xx12xx12xxx3x34410302x1可得01032,x2x92080302085x410011112512解此非齐次线性方程组可得唯一解11，故所求矩阵．B2x1x2x3125222x142(0,1,2,3)T,(3,2,1,0)T.,使它的基础解系为13．求一个齐次线性方程组解显然原方程组的通解为103,(kkRx1,3k)即x1x21k2x122kk2k221122x1232kxk3130xx3k441230此即所求的齐次线性方程组x1x3x2x0xxk,k消去得.2412134,,3是它的三个解向量．且4．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1221，3求该方程组的通解．21432354nr431，一维．故其对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向解由于矩阵的秩为3，,,量，且由于3均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得1234齐次解2()()()12312125(齐次解)(齐次解)632(kR)，为其基础解系向量，故此方程组的通解：43xk5465A,BnAB0R(A)R(B)n．5．设都是阶方阵，且，证明rrBAAB0B证明设A的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量都是以为系数矩阵的齐次12线性方程组的解向量．rnB0rnr0rrn结论成(1)当1时,该齐次线性方程组只有零解,故此时,立．，，2121rnnrnrB,从而的列向量组的秩1,即(2)当时,该齐次方程组的基础解系中含有1个向量1rnrrnr1,结论成立。2,此时21综上,R(A)R(B)n5x2x3x11,x1x2x3xx46．求非齐次方程组361,的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系.512342x4x2xx6.12341097121152311~211(2)B53611初等行变换01720242160000191211,,07012002,,nrAxb7．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,1,,,证明:线性无关.nr1,,,,,,1CCCnr使得下式成证明反证法,假设nr线性相关,则存在着不全为0的数01nrnrCCC0(1)立:011C0,,其中,否则,nr线性相关,而与基础解系不是线性相关的，产生矛盾。01,,由于为特解，nr为基础解系，故得1nrnr)CACbA(CCC01100A(CCCnrnr)0b0而由(1)式可得011b0故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得,,,产生矛盾,假设不成立,故nr线性无关.1,,k,,k1Axbs8.设是非齐次线性方程组的个解，为实数，满足1sssskkk1.证明xkkk也是它的解.12s1122,,Axbs证明由于是非齐次线性方程组的个解.1sAb(i1,,s)故有iA(kkk)kAkAkA而1122ss1122ssb(kk)b1skk）22ssAxbxk即（11x从而也是方程的解．第五章相似矩阵及二次型第一节预备知识：向量的内积1．试用施密特法把下列向量组正交化：111111(1)(,,)124；(2)139aaa011123aaa(,,)101012311解(1)根据施密特正交化方法:111ba,,21b,aba令ba1，，，2b0ba32b1bba213bb31211,1,,bb332bb111111122111故正交化后得:3．2(b,b,b)101123311311b,a130，(2)根据施密特正交化方法令babba12,bb1322211111111b,ab,a13babb1323b,bb,b5333121122413115故正交化后得30153(b,b,b)2123131541351118941239942．下列矩阵是不是正交阵:(1);(2)．118112129991249471993解(1)第一个行向量非单位向量,故不是正交阵．(2)该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵．ABnAB3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵．A,Bn因为是阶正交阵，故AABBT11证明T，()()BTATABB1ABABA1ABETAB故也是正交阵．第二节方阵的特征值与特征向量12311213;(2)24求下列矩阵的特征值和特征向量:(1);并问它们的特征向量是否两两正交?33611解(1)①AE24(2)(3)A2,3，故的特征值为．122(A2E)x0,由程②当时,解方1~11111(A2E)22P系1得基础解001所以kP(k0)2是对应于的全部特征值向量．111123(A3E)x0,由时,解方程当1P系~2121(A3E)2121得基础解0023所以kP(k0)是对应于3的全部特征向量．22213③[P,P]PTP(1,1)02,1PP2，故2不正交．1212112133A(2)①，故的特征值为AE23(1)(9)6330,1,9．120②当时，解方程，由Ax011231231得基础解系1P1~011A2133360001故kP(k0)0是对应于的全部特征值向量.11111(AE)x0，由当时,解方程2110223223AE223~001得基础解系P2337000故kP(k0)1是对应于的全部特征值向量22229当时，解方程(A9E)x0，由312111~11得基础解系823A9E28301P3233230001故kP(k0)9是对应于的全部特征值向量．33331，0③[P,P]PTP(1,1,1)1012121121210，0，(1,1,1)[P,P]PTP(1,1,0)PP[,]PTP132223231311P,P,P所以3两两正交．12第三节相似矩阵第四节对称矩阵的相似矩阵500124xy,1．设方阵与相似，求.0y0A2x2004421A解方阵与相似，则与的特征多项式相同，即A500y0400x412x242AEEy5．2104A,BnA0ABBA2．设都是阶方阵，且，证明与相似．证明A0则可逆A1(AB)A(A1A)(BA)BAAABBA则与相似．1,0,1；对应的特征向量依次为A3．设3阶方阵的特征值为123122，2，P13A,求.P2P21212(P,P,P)解根据特征向量的性质知可逆,1231得:(P,P,P)1A(P,P,P)1231232311020121，得A可得A(P,P,P)(P,P,P)13123212322034．试求一个正交的相似变换矩阵,将下列对称矩阵化为对角矩阵:2210222．(1);(2)224252450202解(1)AE21220(1)(4)(2)02232,1,4．故得特征值为11420x132x1时，由1当解得单位特征向量可取:xk2232x0P23231211022x2x233223120x1x1单位特征向量可取:P1321当时,由解得xk1202x022222021x23x33220x1x2．单位特征向量可取423231解得xk223当时,由:2320x23P313024xx133122200PAP010得正交阵(P,P,P)P1212，13123004221225452(1)(10)，2(2)AE24231,10故得特征值为121220x1221x1当时，由解得244x01012xk1k222244x0x013321P1此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量51022252545单位化得P1145P45532200118220x111:P23x1011当时,由254x0解得单位化xk2232x33245x022331002251(P,P,P)得正交阵515451553P1AP1231200153203332，求A(A)A105A9；5．(1)设23212,求(A)A106A95A8．A122(2)设2213211A解(1)是实对称矩阵，故可找到正交相似变换矩阵22，使得23P112210P1AP，从而APP1,AkPkP105(A)A105A9P10P15P9P1因此105040P1PP1PP1P10000505101140112211222．111111221100611(2)同(1)求得正交相似变换矩阵