声学基础答案龚秀芬

声学基础课后题答案

习题1

1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为/,质量为，”，求它的弹性

系数。

解：由公式摩得：

1-2设有一质量团“，用长为/的细绳铅直悬挂着，绳子一端固定构成一单摆，如图所示，假设绳子

的质量和弹性均可忽略。试问：

(1)当这一质点被拉离平衡位置4时，它所受到的恢复平衡的力由何产生？并应怎样表示？

(2)当外力去掉后，质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示？

(答：砰,g为重力加速度)

27cVI

图习题1—2

解：(1)如右图所示，对M,,,作受力分析：它受重力方向竖直向下；受沿绳方向的拉力T,这两

力的合力/就是小球摆动时的恢复力，方向沿小球摆动轨迹的切线方向。

设绳子摆动后与竖直方向夹角为6,则sin6=；

受力分析可得：F-Mmgsin0-Mmgy

(2)外力去掉后(上述拉力去掉后)，小球在尸作用下在平衡位置附近产生摆动，加速度的方向与位

移的方向相反。由牛顿定律可知：

dr

则一此奈=此年即器+1'

这就是小球产生的振动频率。

1-3有一长为/的细绳，以张力T固定在两端，设在位置X。处，挂着一质量M,“，如图所示，试问:

(1)当质量被垂直拉离平衡位置4时，它Q所受到的恢复平衡的

力由何产生？并应怎样表示？彳上单

(2)当外力去掉后，质量在此恢复力作用下产生振动，它

的振动频率应如何表示？

(3)当质量置于哪一位置时，振动频率最低？

解：首先对M,“进行受力分析，见右图，

((2222

(•/£XO,XQ+£»XQ,(Z-X0)+£»(Z-X0)o)

77

可见质量受力可等效为一个质点振动系统，质量弹性系数%=---o

%0(/一/)

77

(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生，大小为F=/、£,方向为竖直向下。

Xo(l-xo)

(2)振动频率为co-J--JTlo

(3)对①分析可得，当/=,时，系统的振动频率最低。

2

1-4设有一长为/的细绳，它以张力T固定在两端，如图所示。设在绳的与位置处悬有一质量为M

的重物。求该系统的固有频率。提示：当悬有M时，绳子向下产生静位移部以保持力的平衡，并假定M

离平衡位置获的振动自位移很小，满足4<<薪条件。

图习题1一4

2Tcos0-Mg

解：如右图所示，受力分析可得cosQ->=>—=Mg

-I1

2J

又自<<4，可得振动方程为一2T端芸=加里

Iat

2

d2A4TAT

即M7e+~r^=~T^°

1-5有一质点振动系统，已知其初位移为藐，初速度为零，试求其振动位移、速度和能量。

解：设振动位移£=£“cos(gr-°),

速度表达式为V=-Ct)o£asin(g/-。)。

由于4.=%'Mg=0,

代入上面两式计算可得:

8=8^COS690/；

v=-g%smg，o

振动能量E==3/,说£；。

1-6有一质点振动系统，已知其初位移为屏，初速度为％,试求其振动位移、速度、和能量。

解：如右图所示为一质点振动系统，弹簧的弹性系数为K,“，质量为M,“，取正方向沿x轴，位移

为八

则质点自由振动方程为色？+0；J=O,(其中就=-^也,)

d厂M,„

解得J=4cos(卬-％),

Wo=acos*o=—/①:蓝+V；

%

当4=0=&，4=0=%时，

%=*cos(%一1o=<

夕°=arctan”

裾。

质点振动位移为自=」-J以方+*cos(«y(/-arctan—V)

3。供刍

质点振动速度为u=+*cos(ty0r-arctan-^―+—)

'供2

质点振动的能量为E=gM,"=；MX。+片)

1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加

A=sin69Z+—sin2cot,试问：

2

(I)在什么时候位移最大？

(2)在什么时候速度最大？

解：•・•=sin69/+—sin2cot,

2

dE2c2•c

—r-=-co~sincot-2a>~sin2cot。

力2

令—=0,得：CDt=2攵)±工或函=2k7r±71,

dt3

经检验后得：/=2就土叫寸,位移最大。

CD

de/1

令——=0,得："=%"或"=2&乃士arccos(-一),

dr4

经检验后得：，=丝Qkjr时，速度最大。

CO

1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示

试证明&=曷COS(69/+(P)

其中当=J界+盘+2累2cos的一四)，(p=arctan

刍COS0+々COS%

证明：cos(6wr+0)+乙cos(a+02)

设A=4cos/COSQ，8=-&sin/+&sin%)

---B

贝ijJ=Acoscot+Bsincot=yj+B2cos(cot+°)(其中°=arctan(---))

A

2222

又A+B=J：cos(p、+J；cos(p2+2。$cosqcos外

T7zB、/&sin+5sing、

又(p=arctan(——)=arctan(---—~~—----)

A0cos/+J?cos(p2

令.=J-2+=J维+或+2J自cos(@一%)

则J=£cos(w+。)

1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示

£=%COSW1t+£2COSW2t(W2>Wj)

试证明

£=£aC0S(W/+/),

廿r4~.I22Z7776*9sin(zlw^)

其中q=dG+4+2£逮2cos(/卬/),夕+arctan--------------,zlw=w1-w2.

J+e2cos(Jwf)

解：因为位移是矢量，故可以用矢量图来表示。

由余弦定理知，

其中,Aw=w2-Wjo

由三角形面积知，

zesinAwt

得Bsin9?=-2-------

得.=/:"最

qa一%sin-Awt

故_6*2sinAwt

I+s2cosAvr

即可证。

1-10有一质点振动系统，其固有频率力为已知，而质量Mm与弹性系数Km待求，现设法在此质量

Mm上附加一己知质量血，并测得由此而引起的弹簧伸长片，于是系统的质量和弹性系数都可求得，试

证明之.

证由胡克定理得mg=KmQ\=>Km—mg/^\

由质点振动系统固有频率的表达式为=左氏得，Mm=含y=/为.

纵上所述，系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.

1-11有一质点振动系统，其固有频率提为已知，而质量Mm与弹性系数待求，现设法在此质量Mm

上附加一质量〃2,并测得由此而引起的系统固有频率变为方,于是系统的质量和弹性系数都可求得，试

证明之。

解：由K,“=（2小）2","

由心=（2班'）2（也,+凡）

_4乃2/班2/2

联立两式,

1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统，试分别写出它们的动力学方程,

并求出它们的等效弹性系数。

图1-2-3图1-2-4

解：串接时，动力学方程为A1,,,笑+£=o,等效弹性系数为长=储"d2’”

2

dtKim+K2mKXm+K2n,

并接时，动力学方程为+（&,“+K,,“）£=0,等效弹性系数为K=+K,„。

at

1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验，弹簧

压缩0〜100/册可称0〜1初。宇航员取得一块岩石，利用此秤从刻度上读得为0.4依，然后，使它振

动一下，测得其振动周期为1s,试问月球表面的重力加速度是多少？而该岩石的实际质量是多少？

解：设该岩石的实际质量为地球表面的重力加速度为g=9.8,〃s2,月球表面的重力加速度为

由虎克定律知FM=-KX,又FM=-Mg则K=^=^=10g

x0.1

T27C历]皿1“10g10x9.8

T=—=2肛一=1则M=Y=-----®2.5kg

g7K4万24/&

y1

又一=——则xr=0.04m

£0.4

Mg'=依'则g'=匹V=412x0.04x1.58m/s2

M

故月球表面的重力加速度约为1.58加//,而该岩石的实际质量约为2.5依o

1-14试求证

证aejM+a/3+R+aeJ(ax+2^+…+aeJ(M+(n-'w

同时取上式的实部，结论即可得证。

1-15有一弹簧K,,,在它上面加一重物M,“，构成一振动系统，其固有频率为/o，

(1)假设要求固有频率比原来降低一半，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接？

(2)假设重物要加重一倍，而要求固有频率不变，试问应该添加几只相同的弹簧，并怎样联接?

解：固有频率力=1-J""。

2叫Mm

(1)=>K,,,f勺，故应该另外串接三根相同的弹簧；

(2)nK,,r2K,“,故应该另外并接一根相同的弹簧。

.f°rf。

1-16有一直径为d的纸盆扬声器，低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质

量为M”，弹性系数为(.。试求该扬声器的固有频率。

解：该扬声器的固有频率为尽。

2叫

1-17原先有一个0.5kg的质量悬挂在无质量的弹簧上，弹簧处于静态平衡中，后来又将一个0.2

kg的质量附加在其上面，这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后，已知这0.5kg质量

的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍，试计算：

(1)这一系统的力学参数Km，Rm，fo\

(2)当0.2kg的附加质量突然拿掉时，系统所具有的能量；

(3)在经过1s后，系统具有的平均能量。

解：⑴由胡克定理知，Km=mg/s

所以Km=0.2X9.8/0.04=49N/m

故6=旦-nR/lN-s/m

2Mm

(2)系统所具有的能量E='K",片=_Lx49x0.042=O.O392J

22

(3)平均能量4=5.31x10-3/

1-18试求当力学品质因素Q,“K0.5时，质点衰减振动方程的解。假设初始时刻4=0,-=%，试

讨论解的结果。

解：系统的振动方程为：

进一步可转化为，设3=

2Mm

设：

于是方程可化为：

解得：y=j(5土而2—成)

方程一般解可写成：

•••存在初始条件：

4=0=0，vjf=0=v0

代入方程计算得：

%R_%

2个§2―2小§2一就

解的结果为：£=e-"(AeE+6e-E')

其中A=——占=,B=「°。

2^2-就2白2—而

1-19有一质点振动系统，其固有频率为力，如果已知外力的频率为人，试求这时系统的弹性抗与

质量抗之比。

解：质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为△纥，质量抗为0MM

已知fo=50Hz,/=300Wz

则勺/(叫)♦・令4=^二普总

1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上，试问:

(1)这系统的固有频率为多少？

(2)如果系统中引入5kg/s的力阻，则系统的固有频率变为多少？

(3)当外力频率为多少时，该系统质点位移振幅为最大？

(4)相应的速度与加速度共振频率为多少？

解：(1)考虑弹簧的质量,

(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统，但此时系统的等效质量为3.

(3)品质因素Q,“=与L=生学"=1.66,

位移共振频率：fr=fo=2.39Hz.

(4)速度共振频率：fr=f0=2.MHz,

加速度共振频率：力=Qmfa=2.92Hz.

1-21有一质点振动系统被外力所策动，试证明当系统发生速度共振时，系统每周期的损耗能量与

总的振动能量之比等于红。

2,„

解：系统每个周期损耗的能量

E5KM7R

.・.L-=-Z------=--八-川-，

EfM

1MV2m

2",a

发生速度共振时，/=/0o

.E_R,“_24_ITC

"~E=7^=~^M^=Q^,°

R.

1-22试证明：(1)质点作强迫振动时，产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有

频率/。；(2)假定力与人为在两侧，其平均损耗功率比./«下降一半时所对应的两个频率，则有

f0

Qm

/2-Z

证明：(1)平均损耗功率为

回="：叱"=-黑炉(此为力阻，匕为速度振幅)

丁JO2

质点强迫振动时的速度振幅为

匕,=------,(工为外力振幅,g为固有频率，M,为质量，2”为力

①2Mz2-l)2Q：

学品质因素，频率比z=^=2)

①。fo

当Z=1即/=工)时，发生速度共振，匕取最大值，产生最大的平均损耗功率。

一1)

(2)WR=--Rmv]

WRmax=~《“[max=1号;

22<y0Mm

--1—

=则-'尺"=工x(-工即2v>(i)

W2^RmaxS

R222a)~M~

把------F£n7-------，带入式(1),则z2=(z2-l)20；(2)

一，“归+—瘦

由式⑵得一Z=(z2—1)Q,“解得Z=匚三叵遮取4=土叵返

20,“20,

z=(z2-l)您解得2=取z2=l+g.Q；

贝!Iz2-z,=XgpA_A=AzA=X

Qm44f。Q,„

1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略，弹性系数为160N/m的弹簧上，设系统的力阻

为2N­s/m,作用在重物上的外力为FF=5cos8W。

(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率；

(2)假设系统发生速度共振，试问这时外力频率等于多少？如果外力振幅仍为5N,那么这时系统

的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少？

解：（1）由强迫振动方程K”汇+R,“四+K,/=FF，得

dtat

则位移振幅£“=//

«0.0369"?

&K,「w2M,“y+w2R,；

速度振幅va=wsa=0.296m/s

加速度振幅=w2s=2.364n?/52

1

平均损耗功率P=-2=-0.0876（w）

（2）速度共振时，=3=二1摩-（务）2=3.158HZ

2%“2M“,

则位移振幅£a=[%«0.1267n

J（K,“-卬2必）2+卬2%2

速度振幅va=wsa=2.495m/s

22

加速度振幅4=wea=49.6/M/5

2

平均损耗功率P=—gR,,,va=-6.225（卬）

1-24试求出图1-4-1所示单振子系统，在t=0,J=y=O

初始条件下，强迫振动位移解的表示式，并分别讨论5=0与bwo两种情形下,

当0fg时解的结果。

X

X

解：对于强迫振动，解的形式为：X

p'jr

其中=一产7'。7。

■2

初始条件：£=0,V=0»

代入得：

解得：

令G=J-2（cos＞）2+旗sin8）2+2b6ycosesin8+/2（cos6）2

£二—^Ge-&cosi*，-%）+£“cos（fi）t-0）o

2

当3=0时，Rin=0,0()=arctan-^^=—,。=%+工，=①，

Rm22

71

。。=一万，%=4，

=-£a(sin①o'+cos")o

当少一g时，4->8,达到位移共振。

1-25有一单振子系统，设在其质量块上受到外力号=sin2；4r的作用，试求其稳态振动的位移振

幅。

解：此单振子系统的强迫振动方程为

则M“第+&,堂+尺/=；（1）

drdr2

d2^n瑟“匕1/c、

M,”~rr+R,„—+TCOS蚓（2）

drat2

由式（1）得g=」一

2Km

令€=金。湖代入式（2）得^F=—r-----------2-----------

L4J

则嗣=----------2-------------------F=T-^

①。R：+（gM,“--^）2

1-26试求如图所示振动系统，质量块M的稳态位移表示式.

解：对质量块进行受力分析，可得质量块M的运动方程为：

该方程式稳态解的一般形式为€=或加"'，将其代入上式可得：

..K、+K,

FMeo-----!------

其中|4|=—"丁，%=arctan--~晓一.

《凡+5+卜。-卓）…

故质量块的稳态位移表示式可以写为：

7T

|cos（*]-%）.

1-27设有如图所示的耦合振动系统，有一外力K=F"e〃”作用于质量上。的振动通过耦合弹

簧储，引起也随之振动，设和例，的振动位移与振动速度分别

图1-4-1

为。，匕与星，v,o试分别写出和例2的振动方程，并求解方程而证明当稳态振动时

v.=--------------------------6与彩=----------------F,°

ZtZ2+(Zi+Z2)Z]2Z,Z2+(Z,+Z2)ZI2

其中

z□(明吟)+K，

Z,=j(a)M、-&+R,,

-co

A/A，—太口，峪,.K)V

解：对图中两个振子进行受力奥德普南今列运动方程：

设：

jMjM

航=Ae,e2=Be

jca,

匕=匕/'“，v2=V2e

于是方程可化为:

设：

+Z?=j((oM2-与+R,,Z]2=-^-o

CD'CO~~tt)

对上面的两个方程整理并求解可得

1-28有一所谓压差式传声器，已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:

F.=Ap押,

其中A为常数，P”为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数，如果传声器采用电动换能方式(动圈式),

并要求在一较宽的频率范围内，传声器产生均匀的开路电压输出，试问这一传声器的振动系统应工作在

何种振动控制状态？为什么？

解：压差式传声器产生的作用力振幅为E,=Ap/>,其中A,P“为常数，则工随0变化。

电动换能方式传声器，其开路电压输出为E=Rv,要使E均匀恒定，则要v恒定

系统处在质量控制区时匕，。上一=41，此时为与频率。无关，故在一较宽的频率范围内，

传声器将产生均匀的开路电压输出。

1-29对上题的压差式传声器，如果采用静电换能方式（电容式），其他要求与上题相同，试问这一传

声器的振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：传声器开路输出电压£与振膜位移有如下关系：

•.•只有在力阻控制区，

£_Fa_APa

叫R,n

即在此控制区，输出电压E与频率。无关。

传声器的振动系统应工作在力阻控制区。

1-30有一小型动圈扬声器，如果在面积为S。的振膜前面加一声号筒，如图所示，已知在此情况下,

振膜的辐射阻变为％=ACOS0（参见§5.5）。试问对这种扬声器，欲在较宽的频率范围内，在对频率为

恒定的外力作用下，产生均匀的声功率，其振动系统应工作在何种振动控制状态？为什么？

解：动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为亚=；%（=3自©及匕，

其中p。，Co,品均为常数，要使W均匀，则V应不受的讨影响。故振动系统应工作在力阻

控制区，此时匕。△（其中乙为频率恒定的外力，R,“也恒定）。

尺”

1-31有一如图所示的供测试用动圈式

振动台，台面Af,“由弹簧K,“支撑着，现欲在较宽的频率

范围内，在音圈上施加对频率恒定的电流时，能使台面

产生均匀的加速度，试问其振动系统应工作在何种振动控

制状态？为什么？

解：音圈通以/电流时，在磁场下产生电动力

F=BIL,由尸=可见，只有在质量控制区a=旦时，产生的加速度与频率无关，是均匀的。

1-32有一试验装置的隔振台，如图所示，已知台面的质量Mm=1.5

Xl(Pkg,台面由四组相同的弹簧支撑，每组由两只相同的弹簧串联而

成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600kg时，产生的位移3cm,试求该

隔振系统的固有频率，并问当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为

20Hz时，隔振台Mm将产生多大的位移振幅？

解：每只弹簧的劲度系数K=600X9.8/0.03=1.96X10W/»

每组弹簧的总劲度Kj=K/2

四组弹簧并联后的劲度L=4氏=2K=3.92X105N/m

则固有频率fo==2.57Hz

由振动方程M片+K,“C-Jo)=O,将J=J及加，4代入得,

2=——送一=0.0168mm

K-W2M

1-33设有如图所示的主动隔声系统，有一外力用=~()y”作用于质量块Mm上，试求传递在基础上

力b与A)的振幅比.

解：对质量块进行受力分析，可得质量块的振动方程为：

其稳态解的一般形式为J=cos(a>t-9).

-Km

其中S“0-arctan--------

R,n

弹簧传递给基础的作用力为E=K，“七=K,4,cos(W-。)，则工=^,Km.

由此传递给基础的力F与Fo的振幅比D1上=।.

耳。(

0RJ2+

VI①)

1-34有一振动物体产生频率为一,加速度振幅为4。的振动，现用一动圈式加速度计去测量。假定

已知加速度计振动系统的固有频率为人，力学品质因素为Q,,音圈导线总长为/,磁隙中的磁通量密

度为8。试求该加速度计的开路输出电压将为多少？

解：动圈式加速度计测量

由2"=陪得R『陪

M”,

=Blaw

2

R；„+coM--2KmM,n+

1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上，此外力可表示成

FF=B(l+lsinG]，)sin",

其中力为一常数，称为调制深度，试求振动系统的位移。

解：外力表达式为4=工（1+力sin（y/）sin<yf

用指数形式表示外力为=Fue2_LFuhej^<3fx

振子进行强迫振动，由式(1-5-14)得，振子系统的位移为

一鼠

其中：0=arctan--------；

氏〃

(69+qW5----，2]—

八CD+CO.

&=arctan------------------L；

Rm

-K，t，

八CD-CO

0,=arctan------------------XL；

心

|Zj=j%+(0","一屋)2；

Vco

区|=]%+[(…-^]2；

\CD+CDX

\(D-(DX

1-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上，此力可表示为用=%1-£)

(左7</<(1+67/=0,1,2,…)

试求振动系统的位移。

解：质点的振动方程为M,“弯+&眩+K,/=F「⑺=优(1-卫)(1)

dtdtT

力2TC

又4(，)=A)+ZA”cos9/+纥sin〃。匕(0=——)(2)

n=IT

其中4=""«)dr=O

式(2)也可表示为弓«)=£F”cos(n①t-(p〃)(3)

H=0

i------?F?F

其中(=JA；+8；=--，<p„=arctan--

n7rrm

把式⑶表示成为复数形式弓⑺=丑耳片2“

〃=0

则式（1）可写成M,“整+R,“?+K“g=£「0（3-%）（4）

设4士”，代入式（4）可得自=£4=£—^ej""F，）

n=0n=0n=0J"

其中Z“=R“+JX“=Rm+j（ncoMm旦）

neo

取自的实部得J=£—^cos（〃&-%-q-I）

M陷Z,|2

2工

^7rn2a>\Z,\8s（neat-<p“-a,一万）

式中|Z」=%+(〃。心-屋产

Vno)

1-37设有如下形式的外力

作用于单振子的质量上，试求振动系统位移.

解：将周期作用力展开成傅立叶级数，可得

其中F,=+8：,(pn=arctan^-.

1rT

A）=尸产⑺d.=0,

,_2「r

FF(t)cosnwtdt=0，

2“2F__-〃为奇数

B=—\F(r)sinnwtdt---[l-(-l)/?]=<〃乃

nTF〃兀八

〃为偶数

由此工=纥，幺=](〃为奇数)，即

n7i

。1=[，。3=9，。5=9，…，弘=[(〃为奇数)•

由(1-5-14)得质点振动系统得位移

4F4F4F、-

=——p-rcos(wr-^一")+---p—rCos0wr-^3一万)+----——J--cos(nwt-0fl一")(〃为奇数)

co7r\Z}\9a)7r\Z3\几

习题2

2-1有一质量为〃?，长为/的细弦以尸的张力张紧，试问：

(1)当弦作自由振动时其基频为多少？

(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量。

(3)距细弦一端〃4处的速度振幅为多少？

解:(1)简正频率/N且线密度5

21\8

1[T

基频工

2/V7

(2)基频振动的总能量4=3室=哗

1兀I兀

00

(3)弦的位移的总和形式〃0,x)=2纥sin%,xcos(<y/-。")

n=l

速度表达式为V(t,x)=的;，=sinZ“x)sin(gj-8“)

Vcon[T.nnI

距一端0.25相处的速度振幅匕，=广£纥.2万方匕sm(7q)

2-2长为/的弦两端固定，在距一端为x0处拉开弦以产生〃。的静位移，然后释放。

(1)求解弦的振动位移；

(2)以/=//3为例，比较前三个振动方式的能量。

解：弦的振动位移形式为：

其中3=牛，％=与，Cn=Bncos(pn,D„=B„sin(pn

(0<x<x0)

(1)由初始条件可得：〃"=())=♦X。

(/-x)(x0<x<Z)

J~xo

C,=[]：77o(x)sin长"拄

又

2=7~L%(x)sin£Mx

3"。

则3\'-xs\nkxdx+『“°z,..,,2%/2.nn

n(l-x)smKxdx=•2--------sin——x

J。/4/-/n〃.乃/(/一工0)/0

则sine”=0(pn-nvr

⑵心乎t比

当/=：/时，B,=C„

“3(/-3)

2-3长为/的弦两端固定，在初始时刻以速度之敲击弦的中点，试求解弦的振动位移。

解：弦的振动位移表达式为

可得速度表达式为

由题可得初始条件:

2%丫

,04x4一

小=0=0；鲁I~~'2

2%

20%--,—<x<I

2

通过傅立叶变换可得:

c“=o；

八4%.,,,.kl

D“-^-(-sinZ:/+2osin—)。

kra)n2

二位移表达式为〃0,%)=£Dnsin匕/sincont

〃=i

其中D=(-sinZ:Z+2sin—)。

nkl123①:2

2-4长为/的弦两端固定，在初始时刻以速度%敲击弦的中心，试证明外力传给弦的初动

能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。

"(1=0)=°

解：初始条件x=—

<dr)2

二%

dt/=0

弦的总位移为n(t,x)=Zsink“x(C“coscont+Dnsincont),

n=\

其中G=Bncos(p“,D"=Bnsine,，(叱=-,k“=4

Ic

17n2J2cl.2v0/

乂Dn=——I%(x)sinktJxdx=——I%sinkftxax=.(1-cos〃乃)

当n为偶数时，A=2=4=…=0

114

当“为奇数时，小黑,A-i&-_

9L2c

25

故纥=2,%=0

又弦振动时的总能量为E=Z②纥=Z②(上7〃.%；)=当AT\r/(1+上1+1工+…)

MM4/nc925

竺电凶=缠=显e=（说团）

万2c2’8,2c22T

12L/2T、

=-mv-=E,（f=—）

2°M8

外力传给弦的初始动能为&

2-5设有一根弦，一端固定而另一端延伸到无限远（即认为没有反射波回来），假设在离固定端距离

/处，施加一垂直于弦的力尸=尸及”"，试求在％=/力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。

提示：在弦的力作用点处，应有连接条件:

2-6有长为/,线密度为。的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物已知弦所受的张力T,

如图所示。试求

（1）该弦作自由振动时的频率方程；

（2）假设此重物M比弦的总质量大很多时，求该弦的基频近似值。

图2—6

解：（1）由题意可知其初始条件和边界

条件为v

次M