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文档简介
声学基础课后题答案
习题1
1-1有一动圈传声器的振膜可当作质点振动系统来对待,其固有频率为/,质量为,”,求它的弹性
系数。
解:由公式摩得:
1-2设有一质量团“,用长为/的细绳铅直悬挂着,绳子一端固定构成一单摆,如图所示,假设绳子
的质量和弹性均可忽略。试问:
(1)当这一质点被拉离平衡位置4时,它所受到的恢复平衡的力由何产生?并应怎样表示?
(2)当外力去掉后,质点在此力作用下在平衡位置附近产生振动,它的振动频率应如何表示?
(答:砰,g为重力加速度)
27cVI
图习题1—2
解:(1)如右图所示,对M,,,作受力分析:它受重力方向竖直向下;受沿绳方向的拉力T,这两
力的合力/就是小球摆动时的恢复力,方向沿小球摆动轨迹的切线方向。
设绳子摆动后与竖直方向夹角为6,则sin6=;
受力分析可得:F-Mmgsin0-Mmgy
(2)外力去掉后(上述拉力去掉后),小球在尸作用下在平衡位置附近产生摆动,加速度的方向与位
移的方向相反。由牛顿定律可知:
dr
则一此奈=此年即器+1'
这就是小球产生的振动频率。
1-3有一长为/的细绳,以张力T固定在两端,设在位置X。处,挂着一质量M,“,如图所示,试问:
(1)当质量被垂直拉离平衡位置4时,它Q所受到的恢复平衡的
力由何产生?并应怎样表示?彳上单
(2)当外力去掉后,质量在此恢复力作用下产生振动,它
的振动频率应如何表示?
(3)当质量置于哪一位置时,振动频率最低?
解:首先对M,“进行受力分析,见右图,
((2222
(•/£XO,XQ+£»XQ,(Z-X0)+£»(Z-X0)o)
77
可见质量受力可等效为一个质点振动系统,质量弹性系数%=---o
%0(/一/)
77
(1)恢复平衡的力由两根绳子拉力的合力产生,大小为F=/、£,方向为竖直向下。
Xo(l-xo)
(2)振动频率为co-J--JTlo
(3)对①分析可得,当/=,时,系统的振动频率最低。
2
1-4设有一长为/的细绳,它以张力T固定在两端,如图所示。设在绳的与位置处悬有一质量为M
的重物。求该系统的固有频率。提示:当悬有M时,绳子向下产生静位移部以保持力的平衡,并假定M
离平衡位置获的振动自位移很小,满足4<<薪条件。
图习题1一4
2Tcos0-Mg
解:如右图所示,受力分析可得cosQ->=>—=Mg
-I1
2J
又自<<4,可得振动方程为一2T端芸=加里
Iat
2
d2A4TAT
即M7e+~r^=~T^°
1-5有一质点振动系统,已知其初位移为藐,初速度为零,试求其振动位移、速度和能量。
解:设振动位移£=£“cos(gr-°),
速度表达式为V=-Ct)o£asin(g/-。)。
由于4.=%'Mg=0,
代入上面两式计算可得:
8=8^COS690/;
v=-g%smg,o
振动能量E==3/,说£;。
1-6有一质点振动系统,已知其初位移为屏,初速度为%,试求其振动位移、速度、和能量。
解:如右图所示为一质点振动系统,弹簧的弹性系数为K,“,质量为M,“,取正方向沿x轴,位移
为八
则质点自由振动方程为色?+0;J=O,(其中就=-^也,)
d厂M,„
解得J=4cos(卬-%),
Wo=acos*o=—/①:蓝+V;
%
当4=0=&,4=0=%时,
%=*cos(%一1o=<
夕°=arctan”
裾。
质点振动位移为自=」-J以方+*cos(«y(/-arctan—V)
3。供刍
质点振动速度为u=+*cos(ty0r-arctan-^―+—)
'供2
质点振动的能量为E=gM,"=;MX。+片)
1-7假定一质点振动系统的位移是由下列两个不同频率、不同振幅振动的叠加
A=sin69Z+—sin2cot,试问:
2
(I)在什么时候位移最大?
(2)在什么时候速度最大?
解:•・•=sin69/+—sin2cot,
2
dE2c2•c
—r-=-co~sincot-2a>~sin2cot。
力2
令—=0,得:CDt=2攵)±工或函=2k7r±71,
dt3
经检验后得:/=2就土叫寸,位移最大。
CD
de/1
令——=0,得:"=%"或"=2&乃士arccos(-一),
dr4
经检验后得:,=丝Qkjr时,速度最大。
CO
1-8假设一质点振动系统的位移由下式表示
试证明&=曷COS(69/+(P)
其中当=J界+盘+2累2cos的一四),(p=arctan
刍COS0+々COS%
证明:cos(6wr+0)+乙cos(a+02)
设A=4cos/COSQ,8=-&sin/+&sin%)
---B
贝ijJ=Acoscot+Bsincot=yj+B2cos(cot+°)(其中°=arctan(---))
A
2222
又A+B=J:cos(p、+J;cos(p2+2。$cosqcos外
T7zB、/&sin+5sing、
又(p=arctan(——)=arctan(---—~~—----)
A0cos/+J?cos(p2
令.=J-2+=J维+或+2J自cos(@一%)
则J=£cos(w+。)
1-9假设一质点振动系统的位移由下式表示
£=%COSW1t+£2COSW2t(W2>Wj)
试证明
£=£aC0S(W/+/),
廿r4~.I22Z7776*9sin(zlw^)
其中q=dG+4+2£逮2cos(/卬/),夕+arctan--------------,zlw=w1-w2.
J+e2cos(Jwf)
解:因为位移是矢量,故可以用矢量图来表示。
由余弦定理知,
其中,Aw=w2-Wjo
由三角形面积知,
zesinAwt
得Bsin9?=-2-------
得.=/:"最
qa一%sin-Awt
故_6*2sinAwt
I+s2cosAvr
即可证。
1-10有一质点振动系统,其固有频率力为已知,而质量Mm与弹性系数Km待求,现设法在此质量
Mm上附加一己知质量血,并测得由此而引起的弹簧伸长片,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试
证明之.
证由胡克定理得mg=KmQ\=>Km—mg/^\
由质点振动系统固有频率的表达式为=左氏得,Mm=含y=/为.
纵上所述,系统的质量Mm和弹性系数Km都可求解.
1-11有一质点振动系统,其固有频率提为已知,而质量Mm与弹性系数待求,现设法在此质量Mm
上附加一质量〃2,并测得由此而引起的系统固有频率变为方,于是系统的质量和弹性系数都可求得,试
证明之。
解:由K,“=(2小)2","
由心=(2班')2(也,+凡)
_4乃2/班2/2
联立两式,
1-12设有如图1-2-3和图1-2-4所示的弹簧串接和并接两种系统,试分别写出它们的动力学方程,
并求出它们的等效弹性系数。
图1-2-3图1-2-4
解:串接时,动力学方程为A1,,,笑+£=o,等效弹性系数为长=储"d2’”
2
dtKim+K2mKXm+K2n,
并接时,动力学方程为+(&,“+K,,“)£=0,等效弹性系数为K=+K,„。
at
1-13有一宇航员欲在月球表面用一弹簧秤称月球上一岩石样品。此秤已在地球上经过校验,弹簧
压缩0〜100/册可称0〜1初。宇航员取得一块岩石,利用此秤从刻度上读得为0.4依,然后,使它振
动一下,测得其振动周期为1s,试问月球表面的重力加速度是多少?而该岩石的实际质量是多少?
解:设该岩石的实际质量为地球表面的重力加速度为g=9.8,〃s2,月球表面的重力加速度为
由虎克定律知FM=-KX,又FM=-Mg则K=^=^=10g
x0.1
T27C历]皿1“10g10x9.8
T=—=2肛一=1则M=Y=-----®2.5kg
g7K4万24/&
y1
又一=——则xr=0.04m
£0.4
Mg'=依'则g'=匹V=412x0.04x1.58m/s2
M
故月球表面的重力加速度约为1.58加//,而该岩石的实际质量约为2.5依o
1-14试求证
证aejM+a/3+R+aeJ(ax+2^+…+aeJ(M+(n-'w
同时取上式的实部,结论即可得证。
1-15有一弹簧K,,,在它上面加一重物M,“,构成一振动系统,其固有频率为/o,
(1)假设要求固有频率比原来降低一半,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接?
(2)假设重物要加重一倍,而要求固有频率不变,试问应该添加几只相同的弹簧,并怎样联接?
解:固有频率力=1-J""。
2叫Mm
(1)=>K,,,f勺,故应该另外串接三根相同的弹簧;
(2)nK,,r2K,“,故应该另外并接一根相同的弹簧。
.f°rf。
1-16有一直径为d的纸盆扬声器,低频时其纸盆一音圈系统可作质点系统来对待。现已知其总质
量为M”,弹性系数为(.。试求该扬声器的固有频率。
解:该扬声器的固有频率为尽。
2叫
1-17原先有一个0.5kg的质量悬挂在无质量的弹簧上,弹簧处于静态平衡中,后来又将一个0.2
kg的质量附加在其上面,这时弹簧比原来伸长了0.04m,当此附加质量突然拿掉后,已知这0.5kg质量
的振幅在1s内减少到初始值的1/e倍,试计算:
(1)这一系统的力学参数Km,Rm,fo\
(2)当0.2kg的附加质量突然拿掉时,系统所具有的能量;
(3)在经过1s后,系统具有的平均能量。
解:⑴由胡克定理知,Km=mg/s
所以Km=0.2X9.8/0.04=49N/m
故6=旦-nR/lN-s/m
2Mm
(2)系统所具有的能量E='K",片=_Lx49x0.042=O.O392J
22
(3)平均能量4=5.31x10-3/
1-18试求当力学品质因素Q,“K0.5时,质点衰减振动方程的解。假设初始时刻4=0,-=%,试
讨论解的结果。
解:系统的振动方程为:
进一步可转化为,设3=
2Mm
设:
于是方程可化为:
解得:y=j(5土而2—成)
方程一般解可写成:
•••存在初始条件:
4=0=0,vjf=0=v0
代入方程计算得:
%R_%
2个§2―2小§2一就
解的结果为:£=e-"(AeE+6e-E')
其中A=——占=,B=「°。
2^2-就2白2—而
1-19有一质点振动系统,其固有频率为力,如果已知外力的频率为人,试求这时系统的弹性抗与
质量抗之比。
解:质点振动系统在外力作用下作强迫振动时弹性抗为△纥,质量抗为0MM
已知fo=50Hz,/=300Wz
则勺/(叫)♦・令4=^二普总
1-20有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量为0.3kg,弹性系数为150N/m的弹簧上,试问:
(1)这系统的固有频率为多少?
(2)如果系统中引入5kg/s的力阻,则系统的固有频率变为多少?
(3)当外力频率为多少时,该系统质点位移振幅为最大?
(4)相应的速度与加速度共振频率为多少?
解:(1)考虑弹簧的质量,
(2)考虑弹簧本身质量的系统仍可作为质点振动系统,但此时系统的等效质量为3.
(3)品质因素Q,“=与L=生学"=1.66,
位移共振频率:fr=fo=2.39Hz.
(4)速度共振频率:fr=f0=2.MHz,
加速度共振频率:力=Qmfa=2.92Hz.
1-21有一质点振动系统被外力所策动,试证明当系统发生速度共振时,系统每周期的损耗能量与
总的振动能量之比等于红。
2,„
解:系统每个周期损耗的能量
E5KM7R
.・.L-=-Z------=--八-川-,
EfM
1MV2m
2",a
发生速度共振时,/=/0o
.E_R,“_24_ITC
"~E=7^=~^M^=Q^,°
R.
1-22试证明:(1)质点作强迫振动时,产生最大的平均损耗功率的频率就等于系统的无阻尼固有
频率/。;(2)假定力与人为在两侧,其平均损耗功率比./«下降一半时所对应的两个频率,则有
f0
Qm
/2-Z
证明:(1)平均损耗功率为
回=":叱"=-黑炉(此为力阻,匕为速度振幅)
丁JO2
质点强迫振动时的速度振幅为
匕,=------,(工为外力振幅,g为固有频率,M,为质量,2”为力
①2Mz2-l)2Q:
学品质因素,频率比z=^=2)
①。fo
当Z=1即/=工)时,发生速度共振,匕取最大值,产生最大的平均损耗功率。
一1)
(2)WR=--Rmv]
WRmax=~《“[max=1号;
22<y0Mm
--1—
=则-'尺"=工x(-工即2v>(i)
W2^RmaxS
R222a)~M~
把------F£n7-------,带入式(1),则z2=(z2-l)20;(2)
一,“归+—瘦
由式⑵得一Z=(z2—1)Q,“解得Z=匚三叵遮取4=土叵返
20,“20,
z=(z2-l)您解得2=取z2=l+g.Q;
贝!Iz2-z,=XgpA_A=AzA=X
Qm44f。Q,„
1-23有一质量为0.4kg的重物悬挂在质量可以忽略,弹性系数为160N/m的弹簧上,设系统的力阻
为2Ns/m,作用在重物上的外力为FF=5cos8W。
(1)试求这一系统的位移振幅、速度与加速度振幅以及平均损耗功率;
(2)假设系统发生速度共振,试问这时外力频率等于多少?如果外力振幅仍为5N,那么这时系统
的位移振幅、速度与加速度振幅、平均损耗功率将为多少?
解:(1)由强迫振动方程K”汇+R,“四+K,/=FF,得
dtat
则位移振幅£“=//
«0.0369"?
&K,「w2M,“y+w2R,;
速度振幅va=wsa=0.296m/s
加速度振幅=w2s=2.364n?/52
1
平均损耗功率P=-2=-0.0876(w)
(2)速度共振时,=3=二1摩-(务)2=3.158HZ
2%“2M“,
则位移振幅£a=[%«0.1267n
J(K,“-卬2必)2+卬2%2
速度振幅va=wsa=2.495m/s
22
加速度振幅4=wea=49.6/M/5
2
平均损耗功率P=—gR,,,va=-6.225(卬)
1-24试求出图1-4-1所示单振子系统,在t=0,J=y=O
初始条件下,强迫振动位移解的表示式,并分别讨论5=0与bwo两种情形下,
当0fg时解的结果。
X
X
解:对于强迫振动,解的形式为:X
p'jr
其中=一产7'。7。
■2
初始条件:£=0,V=0»
代入得:
解得:
令G=J-2(cos>)2+旗sin8)2+2b6ycosesin8+/2(cos6)2
£二—^Ge-&cosi*,-%)+£“cos(fi)t-0)o
2
当3=0时,Rin=0,0()=arctan-^^=—,。=%+工,=①,
Rm22
71
。。=一万,%=4,
=-£a(sin①o'+cos")o
当少一g时,4->8,达到位移共振。
1-25有一单振子系统,设在其质量块上受到外力号=sin2;4r的作用,试求其稳态振动的位移振
幅。
解:此单振子系统的强迫振动方程为
则M“第+&,堂+尺/=;(1)
drdr2
d2^n瑟“匕1/c、
M,”~rr+R,„—+TCOS蚓(2)
drat2
由式(1)得g=」一
2Km
令€=金。湖代入式(2)得^F=—r-----------2-----------
L4J
则嗣=----------2-------------------F=T-^
①。R:+(gM,“--^)2
1-26试求如图所示振动系统,质量块M的稳态位移表示式.
解:对质量块进行受力分析,可得质量块M的运动方程为:
该方程式稳态解的一般形式为€=或加"',将其代入上式可得:
..K、+K,
FMeo-----!------
其中|4|=—"丁,%=arctan--~晓一.
《凡+5+卜。-卓)…
故质量块的稳态位移表示式可以写为:
7T
|cos(*]-%).
1-27设有如图所示的耦合振动系统,有一外力K=F"e〃”作用于质量上。的振动通过耦合弹
簧储,引起也随之振动,设和例,的振动位移与振动速度分别
图1-4-1
为。,匕与星,v,o试分别写出和例2的振动方程,并求解方程而证明当稳态振动时
v.=--------------------------6与彩=----------------F,°
ZtZ2+(Zi+Z2)Z]2Z,Z2+(Z,+Z2)ZI2
其中
z□(明吟)+K,
Z,=j(a)M、-&+R,,
-co
A/A,—太口,峪,.K)V
解:对图中两个振子进行受力奥德普南今列运动方程:
设:
jMjM
航=Ae,e2=Be
jca,
匕=匕/'“,v2=V2e
于是方程可化为:
设:
+Z?=j((oM2-与+R,,Z]2=-^-o
CD'CO~~tt)
对上面的两个方程整理并求解可得
1-28有一所谓压差式传声器,已知由声波引起在传声器振膜上产生的作用力振幅为:
F.=Ap押,
其中A为常数,P”为传声器所在处声压的振幅对频率也为常数,如果传声器采用电动换能方式(动圈式),
并要求在一较宽的频率范围内,传声器产生均匀的开路电压输出,试问这一传声器的振动系统应工作在
何种振动控制状态?为什么?
解:压差式传声器产生的作用力振幅为E,=Ap/>,其中A,P“为常数,则工随0变化。
电动换能方式传声器,其开路电压输出为E=Rv,要使E均匀恒定,则要v恒定
系统处在质量控制区时匕,。上一=41,此时为与频率。无关,故在一较宽的频率范围内,
传声器将产生均匀的开路电压输出。
1-29对上题的压差式传声器,如果采用静电换能方式(电容式),其他要求与上题相同,试问这一传
声器的振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?
解:传声器开路输出电压£与振膜位移有如下关系:
•.•只有在力阻控制区,
£_Fa_APa
叫R,n
即在此控制区,输出电压E与频率。无关。
传声器的振动系统应工作在力阻控制区。
1-30有一小型动圈扬声器,如果在面积为S。的振膜前面加一声号筒,如图所示,已知在此情况下,
振膜的辐射阻变为%=ACOS0(参见§5.5)。试问对这种扬声器,欲在较宽的频率范围内,在对频率为
恒定的外力作用下,产生均匀的声功率,其振动系统应工作在何种振动控制状态?为什么?
解:动圈扬声器消耗于声辐射部分的平均损耗功率为亚=;%(=3自©及匕,
其中p。,Co,品均为常数,要使W均匀,则V应不受的讨影响。故振动系统应工作在力阻
控制区,此时匕。△(其中乙为频率恒定的外力,R,“也恒定)。
尺”
1-31有一如图所示的供测试用动圈式
振动台,台面Af,“由弹簧K,“支撑着,现欲在较宽的频率
范围内,在音圈上施加对频率恒定的电流时,能使台面
产生均匀的加速度,试问其振动系统应工作在何种振动控
制状态?为什么?
解:音圈通以/电流时,在磁场下产生电动力
F=BIL,由尸=可见,只有在质量控制区a=旦时,产生的加速度与频率无关,是均匀的。
1-32有一试验装置的隔振台,如图所示,已知台面的质量Mm=1.5
Xl(Pkg,台面由四组相同的弹簧支撑,每组由两只相同的弹簧串联而
成。已知每只弹簧在承受最大负荷为600kg时,产生的位移3cm,试求该
隔振系统的固有频率,并问当外界基础振动的位移振幅为1mm、频率为
20Hz时,隔振台Mm将产生多大的位移振幅?
解:每只弹簧的劲度系数K=600X9.8/0.03=1.96X10W/»
每组弹簧的总劲度Kj=K/2
四组弹簧并联后的劲度L=4氏=2K=3.92X105N/m
则固有频率fo==2.57Hz
由振动方程M片+K,“C-Jo)=O,将J=J及加,4代入得,
2=——送一=0.0168mm
K-W2M
1-33设有如图所示的主动隔声系统,有一外力用=~()y”作用于质量块Mm上,试求传递在基础上
力b与A)的振幅比.
解:对质量块进行受力分析,可得质量块的振动方程为:
其稳态解的一般形式为J=cos(a>t-9).
-Km
其中S“0-arctan--------
R,n
弹簧传递给基础的作用力为E=K,“七=K,4,cos(W-。),则工=^,Km.
由此传递给基础的力F与Fo的振幅比D1上=।.
耳。(
0RJ2+
VI①)
1-34有一振动物体产生频率为一,加速度振幅为4。的振动,现用一动圈式加速度计去测量。假定
已知加速度计振动系统的固有频率为人,力学品质因素为Q,,音圈导线总长为/,磁隙中的磁通量密
度为8。试求该加速度计的开路输出电压将为多少?
解:动圈式加速度计测量
由2"=陪得R『陪
M”,
=Blaw
2
R;„+coM--2KmM,n+
1-35设有一调制形式的外力作用于单振子系统的质量上,此外力可表示成
FF=B(l+lsinG],)sin",
其中力为一常数,称为调制深度,试求振动系统的位移。
解:外力表达式为4=工(1+力sin(y/)sin<yf
用指数形式表示外力为=Fue2_LFuhej^<3fx
振子进行强迫振动,由式(1-5-14)得,振子系统的位移为
一鼠
其中:0=arctan--------;
氏〃
(69+qW5----,2]—
八CD+CO.
&=arctan------------------L;
Rm
-K,t,
八CD-CO
0,=arctan------------------XL;
心
|Zj=j%+(0","一屋)2;
Vco
区|=]%+[(…-^]2;
\CD+CDX
\(D-(DX
1-36设有一呈锯齿形式的外力作用于单振子的质量上,此力可表示为用=%1-£)
(左7</<(1+67/=0,1,2,…)
试求振动系统的位移。
解:质点的振动方程为M,“弯+&眩+K,/=F「⑺=优(1-卫)(1)
dtdtT
力2TC
又4(,)=A)+ZA”cos9/+纥sin〃。匕(0=——)(2)
n=IT
其中4=""«)dr=O
式(2)也可表示为弓«)=£F”cos(n①t-(p〃)(3)
H=0
i------?F?F
其中(=JA;+8;=--,<p„=arctan--
n7rrm
把式⑶表示成为复数形式弓⑺=丑耳片2“
〃=0
则式(1)可写成M,“整+R,“?+K“g=£「0(3-%)(4)
设4士”,代入式(4)可得自=£4=£—^ej""F,)
n=0n=0n=0J"
其中Z“=R“+JX“=Rm+j(ncoMm旦)
neo
取自的实部得J=£—^cos(〃&-%-q-I)
M陷Z,|2
2工
^7rn2a>\Z,\8s(neat-<p“-a,一万)
式中|Z」=%+(〃。心-屋产
Vno)
1-37设有如下形式的外力
作用于单振子的质量上,试求振动系统位移.
解:将周期作用力展开成傅立叶级数,可得
其中F,=+8:,(pn=arctan^-.
1rT
A)=尸产⑺d.=0,
,_2「r
FF(t)cosnwtdt=0,
2“2F__-〃为奇数
B=—\F(r)sinnwtdt---[l-(-l)/?]=<〃乃
nTF〃兀八
〃为偶数
由此工=纥,幺=](〃为奇数),即
n7i
。1=[,。3=9,。5=9,…,弘=[(〃为奇数)•
由(1-5-14)得质点振动系统得位移
4F4F4F、-
=——p-rcos(wr-^一")+---p—rCos0wr-^3一万)+----——J--cos(nwt-0fl一")(〃为奇数)
co7r\Z}\9a)7r\Z3\几
习题2
2-1有一质量为〃?,长为/的细弦以尸的张力张紧,试问:
(1)当弦作自由振动时其基频为多少?
(2)设弦中点位置基频的位移振幅是B,求基频振动的总能量。
(3)距细弦一端〃4处的速度振幅为多少?
解:(1)简正频率/N且线密度5
21\8
1[T
基频工
2/V7
(2)基频振动的总能量4=3室=哗
1兀I兀
00
(3)弦的位移的总和形式〃0,x)=2纥sin%,xcos(<y/-。")
n=l
速度表达式为V(t,x)=的;,=sinZ“x)sin(gj-8“)
Vcon[T.nnI
距一端0.25相处的速度振幅匕,=广£纥.2万方匕sm(7q)
2-2长为/的弦两端固定,在距一端为x0处拉开弦以产生〃。的静位移,然后释放。
(1)求解弦的振动位移;
(2)以/=//3为例,比较前三个振动方式的能量。
解:弦的振动位移形式为:
其中3=牛,%=与,Cn=Bncos(pn,D„=B„sin(pn
(0<x<x0)
(1)由初始条件可得:〃"=())=♦X。
(/-x)(x0<x<Z)
J~xo
C,=[]:77o(x)sin长"拄
又
2=7~L%(x)sin£Mx
3"。
则3\'-xs\nkxdx+『“°z,..,,2%/2.nn
n(l-x)smKxdx=•2--------sin——x
J。/4/-/n〃.乃/(/一工0)/0
则sine”=0(pn-nvr
⑵心乎t比
当/=:/时,B,=C„
“3(/-3)
2-3长为/的弦两端固定,在初始时刻以速度之敲击弦的中点,试求解弦的振动位移。
解:弦的振动位移表达式为
可得速度表达式为
由题可得初始条件:
2%丫
,04x4一
小=0=0;鲁I~~'2
2%
20%--,—<x<I
2
通过傅立叶变换可得:
c“=o;
八4%.,,,.kl
D“-^-(-sinZ:/+2osin—)。
kra)n2
二位移表达式为〃0,%)=£Dnsin匕/sincont
〃=i
其中D=(-sinZ:Z+2sin—)。
nkl123①:2
2-4长为/的弦两端固定,在初始时刻以速度%敲击弦的中心,试证明外力传给弦的初动
能等于弦作自由振动时所有振动方式振动能的总和。
"(1=0)=°
解:初始条件x=—
<dr)2
二%
dt/=0
弦的总位移为n(t,x)=Zsink“x(C“coscont+Dnsincont),
n=\
其中G=Bncos(p“,D"=Bnsine,,(叱=-,k“=4
Ic
17n2J2cl.2v0/
乂Dn=——I%(x)sinktJxdx=——I%sinkftxax=.(1-cos〃乃)
当n为偶数时,A=2=4=…=0
114
当“为奇数时,小黑,A-i&-_
9L2c
25
故纥=2,%=0
又弦振动时的总能量为E=Z②纥=Z②(上7〃.%;)=当AT\r/(1+上1+1工+…)
MM4/nc925
竺电凶=缠=显e=(说团)
万2c2’8,2c22T
12L/2T、
=-mv-=E,(f=—)
2°M8
外力传给弦的初始动能为&
2-5设有一根弦,一端固定而另一端延伸到无限远(即认为没有反射波回来),假设在离固定端距离
/处,施加一垂直于弦的力尸=尸及”",试求在%=/力作用点的左、右两方弦上的位移表达式。
提示:在弦的力作用点处,应有连接条件:
2-6有长为/,线密度为。的弦。其一端经一无摩擦的滑轮悬挂一重物已知弦所受的张力T,
如图所示。试求
(1)该弦作自由振动时的频率方程;
(2)假设此重物M比弦的总质量大很多时,求该弦的基频近似值。
图2—6
解:(1)由题意可知其初始条件和边界
条件为v
次M
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