山东省泰安市中考数学试题 解析版

2019年山东省泰安市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把

正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）在实数［-3.14|,-3,-V3>皿中，最小的数是（）

A.-V3B.-3C.|-3.14|D.TT

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.B.a4,a2—asC.（2a2）3—6a6D.a2+a2—a4

3.（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器,

“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42

万公里用科学记数法表示为（）

A.4.2义1。9米B.4.2X108米C.42X107米口.4.2X107米

4.（4分）下列图形：

①②③④

是轴对称图形且有两条对称轴的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

5.（4分）如图，直线Nl=30°,则N2+/3=（）

A.150°B.180°C.210°D.240°

6.（4分）某射击运动员在训练中射击了10次,成绩如图所示：

A环数

一

111111II1I>

12345678910次数

下列结论不正确的是（）

A.众数是8B.中位数是8

C.平均数是8.2D.方差是1.2

，5x+4>2（x-l）,

7.（4分）不等式组《2X+53X-2的解集是（）

2~

A.xW2B.x》-2C.-2<xW2D.-2Wx<2

8.（4分）如图，一艘船由/港沿北偏东65°方向航行30招机至5港，然后再沿北偏西

400方向航行至C港，C港在/港北偏东20°方向，则4C两港之间的距离为

()km,

A.30+30代B.30+1073C.10+3073D.30M

9.（4分）如图，△NBC是。。的内接三角形，N/=119°,过点C的圆的切线交80于

点P,则NP的度数为（）

A.32°B.31°C.29°D.61°

10.（4分）一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球，这些球除标号外都相同，

从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）

A.1.B.ZC.旦D..1

5555

11.（4分）如图，将OO沿弦折叠，篇恰好经过圆心O,若。。的半径为3,则定的

长为（）

B.TTC.2nD.3n

12.（4分）如图，矩形力BCD中，Z8=4,40=2,E为/B的中点，尸为EC上一动点,

尸为。尸中点，连接P8,则P8的最小值是（）

A.2B.4C.&D.272

二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（4分）已知关于x的一元二次方程/-（2A-1）肝。+3=0有两个不相等的实数根,

则实数k的取值范围是.

14.（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九

枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”

意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银

重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽

略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据

题意可列方程组为.

15.（4分）如图，ZAOB=90°,NB=30°,以点。为圆心，0/为半径作弧交于点

A、点C,交08于点。，若04=3,则阴影都分的面积为.

16.（4分）若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程X2+/）X-5=2X

-13的解为.

17.（4分）在平面直角坐标系中，直线/：y=Kl与夕轴交于点小，如图所示，依次作正

方形OAlBiCi，正方形CM282c2，正方形C2/383C3，正方形。3484。4，.，点小，

A2,A3,4t，...在直线/上，点Ci，C2,C3,C4,....在x轴正半轴上，则前"个正

将△力•沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推

演步骤）

19.（8分）先化简，再求值：（。-9+叁）+（a-1-丘1）,其中

a+1a+1

20.（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生

的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：

组别分数人数

第1组90cxW1008

第2组80VxW90a

第3组70VxW8010

第4组60cxW70b

第5组50VA<603

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）求出a,6的值；

(2)计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；

(3)若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人?

21.(11分)已知一次函数的图象与反比例函数^=叫的图象交于点4与x轴交

X

于点8(5,0),若OB=AB,且巨.

2

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点尸为x轴上一点，△48P是等腰三角形，求点尸的坐标.

22.(11分)端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之

际用3000元购进/、8两种粽子1100个，购买Z种粽子与购买8种粽子的费用相

同.已知Z种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.

(1)求力、8两种粽子的单价各是多少？

(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进4、B两种粽子共2600个，已知A、B两

种粽子的进价不变.求4种粽子最多能购进多少个？

23.(13分)在矩形48co中，于点E,点P是边/。上一点.

(1)若BP平分N4BD,交4E于点G,PFLBD于点F,如图①，证明四边形力GQ

是菱形：

(2)PELEC,如图②，求证：AE*AB=DE・AP；

(3)在(2)的条件下，若NB=1,BC=2,求/尸的长.

24.(13分)若二次函数y=ax2+fcv+c的图象与x轴、y轴分别交于点/(3,0)、B(0,

-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

(2)若点尸为抛物线上第一象限内的点，且S△?诩=4,求点尸的坐标；

(3)在抛物线上(4B下方)是否存在点使/4BO=NABM?若存在，求出点M

25.(14分)如图，四边形/8CD是正方形，△£网?是等腰直角三角形，点E在上，

且NCE尸=90°,FG1AD,垂足为点C.

(1)试判断/G与尸G是否相等？并给出证明；

(2)若点，为C尸的中点，G“与。"垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理

由.

F

B

2019年山东省泰安市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把

正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）

1.（4分）在实数|-3.14|,-3,-我，TT中，最小的数是（）

A.-73B.-3C.|-3.14|D.IT

【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小.

【解答】解：

••,|-V3=V3<|-3|=3

-V3<（-3）

C、。项为正数，A、8项为负数，

正数大于负数，

故选：B.

【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大

小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数

2.（4分）下列运算正确的是（）

A.a6-i-a3=a3B.a4,a2=a3C.（2a2）3=6«6D.a2+a2=a4

【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数塞的乘除运算法则分

别计算得出答案.

【解答】解：/、小+〃3=〃3,故此选项正确；

B、a4'a2=a6,故此选项错误；

C、（2接）3=山6,故此选项错误：

。、a2+a2=2a2,故此选项错误；

故选：A.

【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数基的乘除运算，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

3.（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，

“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42

万公里用科学记数法表示为（)

A.4.2X109米B.4.2义1。8米C.42X107米口.4.2X107米

【分析】科学记数法的表示形式为10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定〃

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数

相同.当原数绝对值>1时，"是正数；当原数的绝对值<1时.，”是负数.

【解答】解：42万公里=420000000〃?用科学记数法表示为：4.2X1（）8米，

故选：B.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形

式，其中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及"的值.

是轴对称图形且有两条对称轴的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解.

【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确;

②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；

③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；

④不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分

折叠后可重合.

5.（4分）如图，直线li〃b，Zl=30°,贝IJN2+N3=（)

3

」2

A.150B.180°C.210D.240°

【分析】过点E作EF〃1],利用平行线的性质解答即可.

【解答】解：过点£作后尸〃h，

EF//11,

：.EF//\x//\i,

：.Z\=ZAEF=30a,N尸EC+N3=180°,

.,.N2+/3=//EF+/FEC+N3=30°+180°=210°,

故选：C.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

6.(4分)某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：

下列结论不正确的是()

A.众数是8B.中位数是8

C.平均数是8.2D.方差是1.2

【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选

项.

【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8,故/选项正确；

10次成绩排序后为：6,7,7,8,8,8,9,9,10,10,所以中位数是[(8+8)=8,

2

故8选项正确；

平均数为」_(6+7X2+8X3+9X2+10X2)=8.2,故C选项正确；

10

方差为J7(6-8.2)2+(7-8.2)2+(7-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)2+(8-8.2)

10

2+(9-8.2)2+(9-8.2)2+(10-8.2)2+(10-8.2)2]=1.56,故。选项错误；

故选：D.

【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后

平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差.

'5x+4〉2（x-l）,

7.（4分）不等式组《2X+53X-2的解集是（）

2~

A.xW2B.x》-2C.-2<xW2D.-2Wx<2

【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解.

5x+4>2（xT）①

【解答】解一2x+5_3x-2②'

由①得，x2-2,

由②得，x<2,

所以不等式组的解集是-2Wx<2.

故选：D,

【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求

解.求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到

（无解）.

8.（4分）如图，一艘船由力港沿北偏东65。方向航行30折机至8港，然后再沿北偏西

400方向航行至C港，C港在《港北偏东20°方向，则4C两港之间的距离为

（）km.

A.30+30百B.30+1073C.10+3073D.3073

【分析】根据题意得，NCAB=65°-20°,ZACB=400+20°=60°,AB=30后,

过8作8后，/(7于£解直角三角形即可得到结论.

【解答】解：根据题意得，NC4B=65°-20°,NZC8=40°+20°=60°,48=30

近，

过8作8E_LNC于E,

:.NAEB=NCEB=90°,

在RtZ\/8£中，VZABE=45°,AB=30弧,

；.AE=BE=^AB=30km,

2

在RtZXCBE中，VZ/4C5=60°,

：.CE=®BE=lQMcm,

3

.•./C=/E+CE=30+l()V^,

：.A,C两港之间的距离为（30+10我）km,

故选：B.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识

比较简单.

9.（4分）如图，△N8C是。。的内接三角形，=,过点C的圆的切线交8。于

A.32°B.31°C.29°D.61°

【分析】连接OC、CD,由切线的性质得出/OCP=90°,由圆内接四边形的性质得出

ZODC=180°-ZA=6\a,由等腰三角形的性质得出NOC£>=NOOC=61°,求出

NOOC=58°,由直角三角形的性质即可得出结果.

【解答】解：如图所示：连接OC、CD,

：PC是。。的切线，

：.PC±OC,

r.zocp=90°,

/.ZO£)C=180°-4=61°,

"：OC=OD,

：.ZOCD=ZODC=6\°,

AZ£)OC=180°-2X61°=58°,

/.ZP=90°-ZDOC=32°；

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角

和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键.

10.（4分）一个盒子中装有标号为1,2,3,4,5的五个小球，这些球除标号外都相同，

从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的

小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：画树状图如图所示：

•.•共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，

，两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为q=W；

255

故选：C.

1234512345123451234512345

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.注意列表法或画树状图法可以不

重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

11.（4分）如图，将。。沿弦折叠，定恰好经过圆心O,若。。的半径为3,则定的

长为（）

A.—TtB.TTC.21tD.3Tt

2

【分析】连接。4、OB,作0CJ_Z8于C,根据翻转变换的性质得到0C=°。/,根据

2

等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出N/O8,根据弧长公式计算即可.

【解答】解：连接04、0B,作。CLZ8于C,

由题意得，OC=^OA,

2

AZOAC=30°,

•：OA=OB,

.../。氏4=/。4。=30°,

：.ZAOB=nO0,

窟的长=120兀X2n,

180

故选：C.

【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公

式是解题的关键.

12.（4分）如图，矩形Z8C。中，AB=4,AD=2,E为N8的中点，尸为EC上一动点，

尸为。尸中点，连接PB,则PB的最小值是（）

EB

A.2B.4C.V2D.2V2

【分析】根据中位线定理可得出点点尸的运动轨迹是线段尸1尸2,再根据垂线段最短可

得当8P_LP|P2时，尸8取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知8P|_L尸声2,

故BP的最小值为BPi的长，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如图：

当点F与点C重合时，点尸在Pi处，CPi=DPi，

当点产与点E重合时，点尸在P2处，EPZ=DP2,

.”1尸2〃。后且PP2=LCE

2

当点尸在EC上除点C、E的位置处时，有DP=FP

由中位线定理可知：B尸〃CE且尸IP=L?F

2

.•.点P的运动轨迹是线段尸1P2，

当BPLPiP2时，PB取得最小值

•..矩形中，4B=4,AD=2,E为的中点，

:.XCBE、44DE、△BCPi为等腰直角三角形，CP\=2

：.ZADE=ZCDE=ZCP\B=45°,ZDEC=90°

：.NDP2Pl=90°

：.ZDPiP2=45°

NP2Pl8=90°,即8P1I.P1P2，

:.BP的最小值为BP\的长

在等腰直角8cpi中，CPi=BC=2

:.BP\=2&

：.PB的最小值是2加

故选：D.

【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决

问题，有难度.

二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）

13.（4分）已知关于x的一元二次方程x2-（2A-1）x+F+3=0有两个不相等的实数根，

则实数k的取值范围是」<上一.

4

【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得4=⑵-I）2-4（庐+3）>0,求出发

的取值范围；

【解答】解：•••原方程有两个不相等的实数根，

；.△=（2^-1）2-4（8+3）=-4/c+l-12>0,

解得

4

故答案为：发〈工.

4

【点评】本题考查了一元二次方程"2+bx+c=0（aWO）的根与△=〃-4ac有如下关

系：①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=（）时，方程有两个相等

的两个实数根；③当△<（）时，方程无实数根.

14.（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九

枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”

意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银

重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽

略不计），问黄金、臼银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重v两，根据

题意可列方程组为_19x=iiy

I（10y+x）-（8x+y）=lW

【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白

银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量

关系列出方程组即可.

【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：

J9x=lly

l（10y+x）-（8x+y）=13

故答案为：（9x=lly

［（10y+x）-（8x+y）=l5

【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找

出题目中的等量关系.

15.（4分）如图，ZAOB=90°,N8=30°,以点。为圆心，为半径作弧交于点

/、点C,交。8于点。，若04=3,则阴影都分的面积为_编_.

4

【分析】连接OC,作CHL05于，，根据直角三角形的性质求出力以根据勾股定理

求出8。，证明△NOC为等边三角形，得到NNOC=60°,ZCOS=30°,根据扇形面

积公式、三角形面积公式计算即可.

【解答】解：连接。C,作C"J_O8于凡

：408=90°,ZS=30°,

：.AOAB=^°,AB=2OA=6,

由勾股定理得，°8=寸小-0卜2=3如,

,：OA=OC,NO4B=60°,

：.AAOC为等边三角形，

AZAOC=60°,

.,.NCO8=30°,

；.C0=CB,C〃=L?C=3,

22

.，.阴影都分的面积=@。兀-Lx3X3X返+Lx3A/3X3-.30兀X4T,

36022223604

故答案为：3rt.

4

【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、

三角形的面积公式是解题的关键.

16.（4分）若二次函数y=x2+bx-5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程X2+/）X-5=2X

-13的解为电=2,'=4.

【分析】根据对称轴方程求得6,再解一元二次方程得解.

【解答】解：•••二次函数了=/+笈-5的对称轴为直线x=2,

得b=-4,

则^+bx-5=ZY-13可化为：/-4x-5=2x-13,

解得，x\—2,X2=4.

故意答案为：xi=2,X2=4.

【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得6的值是解

题的关键.

17.（4分）在平面直角坐标系中，直线/：y=x+l与y轴交于点小，如图所示，依次作正

方形。小81G，正方形CM282c2，正方形C2/383C3，正方形C3/484C4，……，点、小，

A2,A3,4t，..在直线/上，点Ci，C2,C3,C4,....在x轴正半轴上，则前〃个正

【分析】根据题意和函数图象可以求得点4,A2,A3,4的坐标，从而可以得到前〃

个正方形对角线长的和，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，

点小的坐标为（0,1）,点儿的坐标为（1，2）,点心的坐标为（3,4）,点4的坐标

为（7,8）,........,

.*.0/11=1,。1/2=2，。2%3=4,。3.4=8，.......，

・,•前n个正方形对角线长的和是：y/~2（0小+。142+。243+。》4+…+C/L14）=^1~2

（1+2+4+8+…+2.1）,

设S=1+2+4+8+・・・+2〃-1，贝I」2s=2+4+8+・・・+2〃-1+2〃,

则2S-S=2〃-1,

：.S=2n-1,

，1+2+4+8+…+2"7=2"-1,

.•.前〃个正方形对角线长的和是：V2X(2"-1),

故答案为：&(2«-1),

【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键

是明确题意，利用数形结合的思想解答.

18.(4分)如图，矩形488中，AB=3娓,8c=12,E为中点，F为4B上一点,

将沿EF折叠后，点力恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是_2叵一.

【分析】连接EC,利用矩形的性质，求出EG,的长度，证明EC平分再

证NFEC=90°,最后证△尸£CS/\EDC,利用相似的性质即可求出E/的长度.

【解答】解：如图，连接EC,

•••四边形N8CD为矩形，

.•.乙4=40=90。，8c=/。=12,DC=AB=3娓,

为力。中点，

：.AE=DE=kAD^6

2

由翻折知，△AEFQAGEF,

：.AE=GE=6,ZAEF=ZGEF,NEGF=NEAF=90°=ZD,

：.GE=DE,

；.EC平分NOCG,

ZDCE=ZGCE,

■:NGEC=9Q°-ZGCE,ZDEC=90°-ZDCE,

:.NGEC=NDEC,

：.ZFEC^ZFEG+ZGEC^LX180°=90°,

2

:.NFEC=ND=90°,

又,：/DCE=/GCE,

：./\FEC^/\EDC,

•FEEC

"DE""DC"

；EC=VDE2+DC2=762+(3X/6)2=3伍，

.FEsVTo

,,WFT

：.FE=2y/l5,

故答案为：2yJ15・

【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关

键是能够作出适当的辅助线，连接工，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结

果.

三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推

演步骤）

19.（8分）先化简，再求值：（Q-9+Z-）4-（。-1-4a-l）,其中

a+1a+1

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将。的值代入计算可得.

22

【解答】解：原式=（立±±+上"）+（.gT「4aT.）

a+1a+1a+1a+1

=a"8a+16―a、-4a

a+1a+1

=（a-4）2.a+1

a+1a（a-4）

_——a-4，

a

当。=寸，

原式=四二4=1-2&.

V2

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则及二次根式的运算能力.

20.（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生

的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：

组别分数人数

第1组90cxW1008

第2组80cxW90a

第3组70cxW8010

第4组60cxW70b

第5组50<x^603

请根据以上信息，解答下列问题:

（1）求出a,b的值；

（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数：

（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？

【分析】（1）抽取学生人数10・25%=40（人），第2组人数40X50%-8=12（人）,

第4组人数40X50%-10-3=7（人）,所以a=12,b=7；

（2）360°X—=27°,所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；

40

（3）成绩高于80分：1800X50%=900（人），所以成绩高于80分的共有900人.

【解答】解：（1）抽取学生人数104-25%=40（人），

第2组人数40X50%-8=12（.人）,

第4组人数40X50%-10-3=7（人），

：.a=l2,b=7；

⑵360。X磊=27。，

二“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°：

（3）成绩高于80分：1800X50%=900（人）,

.•.成绩高于80分的共有900人.

【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键.

21.(11分)已知一次函数的图象与反比例函数、=叫的图象交于点4与x轴交

x

于点8(5,0),若OB=4B,且

2

(1)求反比例函数与一次函数的表达式；

(2)若点P为x轴上一点，△力8尸是等腰三角形，求点尸的坐标.

【分析】(1)先求出08,进而求出4。，得出点4坐标，最后用待定系数法即可得出

结论：

(2)分三种情况，①当/8=必时:得出尸8=5,即可得出结论；

②当N8=Z尸时，利用点P与点8关于4。对称，得出。尸=5。=4,即可得出结论；

③当尸8=4尸时，先表示出/尸2=(9”)2+%8P2=(5-a)2,进而建立方程求解

即可得出结论.

【解答】解：(1)如图1,过点工作轴于。，

,：B(5,0),

：.OB=5,

・•・5/\。48=孕-，

2

.•.Lx5XAD=唐

22

.\AD=3,

•；OB=AB,

.\AB=5f

在。〃中，

RtZXZBD=JAB2-AD2=4,

：・OD=OB+BD=9,

：.A(9,3),

将点力坐标代入反比例函数产=码中得，加=9X3=27,

反比例函数的解析式为＞=ZL

X

将点4(9,3),B(5,0)代入直线中，/9k+b=3,

l5k+b=0

直线的解析式为尸青-2；

(2)由(1)知，AB=5,

•••△N8尸是等腰三角形，

①当48=尸8时，

：.PB=5,

：.P(0,0)或(10,0),

②当/3=4P时,如图2,

由(1)知,50=4,

易知，点尸与点8关于对称，

:.DP=BD=4,

二。尸=5+4+4=13,：.P(13,0),

③当P8=/尸时，设尸(a,0),

'：A(9,3),B(5,0),

2

；./p2=(9-a)2+9,BP2=(5-a),

：.(9-a)2+9=(5-a)2

•"一65

8

：.P(箜，0),

8

即：满足条件的点尸的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或(箜，0).

8

【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面

积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.

22.（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之

际用3000元购进/、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相

同.已知Z种粽子的单价是8种粽子单价的1.2倍.

（1）求/、8两种粽子的单价各是多少？

（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进/、8两种粽子共2600个，已知“、B两

种粽子的进价不变.求4种粽子最多能购进多少个？

【分析】（1）设8种粽子单价为x元/个，则Z种粽子单价为1.2x元/个，根据数量=总

价+单价结合用3000元购进/、8两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解

之经检验后即可得出结论；

（2）设购进/种粽子加个，则购进8种粽子（2600-〃?）个，根据总价=单价X数量

结合总价不超过7000元，即可得出关于川的一元一次不等式，解之取其中的最大值即

可得出结论.

【解答】解：（1）设8种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，

根据题意，得：1500+1500moo,

x1.2x

解得：1=2.5,

经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，

：.i,2x=3.

答：/种粽子单价为3元/个，8种粽子单价为2.5元/个.

(2)设购进/种粽子机个，则购进8种粽子(2600-m)个，

依题意，得：3旭+2.5(2600-a)<7000,

解得：/nW1000.

答：A种粽子最多能购进1000个.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：

(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元

一次不等式.

23.(13分)在矩形488中，于点E,点P是边/。上一点.

(1)若BP平分N4BD,交4E于点G,PFLBD于点、F,如图①，证明四边形/GFP

是菱形；

(2)若PELEC,如图②，求证：AE7B=DE・AP；

(3)在(2)的条件下，若/8=1,BC=2,求2尸的长.

【分析】(1)想办法证明NG=P尸，AG//PF,推出四边形NGEP是平行四边形，再证

明PA=PF即可解决问题.

(2)证明可得四_=空，由此即可解决问题.

DEDC

(3)利用(2)中结论.求出。E,/E即可.

【解答】(1)证明：如图①中，

...224D=90°,

■:AE工BD,

：.ZAED=90°,

AZBAE+ZEAD=90°,ZEAD^-ZADE=90°,

：.ZBAE=ZADE,

VZAGP=ZBAG+ZABG,NAPD=N4DE+NPBD,NABG=NPBD,

：./AGP=/APG,

：.AP=AGf

9：PALAB,PFLBD,BP平分NABD,

:.PA=PF,

:・PF=AG,

\9AE±BD,PF±BD,

:・PF〃AG,

・・・四边形AGFP是平行四边形，

•：PA=PF,

・・・四边形4G竹是菱形.

(2)证明：如图②中,

9：AELBD,PE上EC,

：.ZAED=ZPEC=90°,

・・・ZAEP=/DEC,

9：ZEAD+ZADE=90°,ZADE+ZCDE=90°,

・•・NEAP=/EDC,

：./\AEP<^/\DEC,

・AE=AP

**DEDC，

•:AB=CD,

：・AE*AB=DE・AP；

(3)解：・・•四边形N5CD是矩形,

:.BC=AD=2,/B4D=90°,

A5D=VAB2+AD2=^

U：AEA.BD,

:♦SAABD=L,BD・AE=L・AB・AD,

22

.'.AE=^3,,

5_

OE=YAD2-AE2=^^

□

；AE,4B=DE・AP；

5

【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直

角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.

24.(13分)若二次函数夕=取2+加计。的图象与x轴、y轴分别交于点力(3,0)、B(0,

-2),且过点C(2,-2).

(1)求二次函数表达式；

(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且SZSPB9=4,求点P的坐标；

(3)在抛物线上(ABF方)是否存在点M,使N4BO=N4BM?若存在，求出点M

【分析】(1)用/、8、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式.

(2)设点P横坐标为/,用/代入二次函数表达式得其纵坐标.把/当常数求直线BP

解析式，进而求直线8P与x轴交点C坐标（用f表示），即能用f表示NC的长.把4

P84以x轴为界分成△NBC与△NCP,即得至IJSapB4=Lc（。8+尸。）=4,用含f的

式子代入即得到关于/的方程，解之即求得点尸坐标.

（3）作点。关于直线N8的对称点E,根据轴对称性质即有48垂直平分0E,连接BE

交抛物线于点M,即有8£=。8,根据等腰三角形三线合一得即在抛

物线上（力8下方）存在点M使乙48。=乙48M.设与OE交于点G,则G为0E

中点且0GLH8,利用△0/8面积即求得0G进而得的长.易求得/O48=N

BOG,求N0/5的正弦和余弦值，应用到RtZXOEF即求得OF、EF的长，即得到点E

坐标.求直线8E解析式，把8E解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点8

横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点用到y轴的距离.

【解答】解：（I）；二次函数的图象经过点/（3,0）、8（0,-2）、C（2,-2）

（_2

9a+3b+c=023

*,•>0+0+c=-2解得：,4

b-3

4a+2b+c=-2

c=-2

二次函数表达式为^=2*-Ar-2

33

（2）如图1,设直线8P交x轴于点C,过点P作尸OLc轴于点。

设P（f,42一乡一2）（03）

33

：.OD=t,PD=Z-4-2

33

设直线8尸解析式为v=Ax-2

把点P代入得：kt-2=4-3-2

33

，直线8尸：y=(&-_!)x-2

33

当y