上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试卷(含详解)

上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题

一、选择题

1.已知在R/AABC中，NC=9O°,AC=3,8C=4,则tanA的值为（）

3c4C3-4

A.-B・一C.-D.一

4355

2.已知向量M和5都是单位向量，那么下列等式成立是（）

A.a=bB.a+b=2C.a-b=0D

同=同

3.下列函数中，属于二次函数的是（）

1I-------

A.y=―j-y=vx2—2Cy=x~9—2P.

x-2

y=（x-2）~—x2

4.将抛物线y=犬-3向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（）

A.y=f_1B.y=x2-5C.y=（x+2）2-3P.

y=（x-2）--3

S.如图，传送带和地面所成斜坡坡度i=l:2.4,如果它把某物体从地面送到离地面10

米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）

传送带

////////////////////////

A.10米3.24米C.25米D.26米

6.如图，在RS4BC中，ZACB=90°,。是边AB上一点，过。作CFJ_AB交边BC于

点、E,交AC的延长线于点F,联结AE,如果tan/E4C=‘，S^CEF=\,那么S“BC的值

3

是（)

B

A.3B.6C.9D.12

二、填空题

7.如果a:A=3:2,那么‘一=.

a+b

8.计算：32—；（2斤-4b）=.

q.如果抛物线y=》2-a经过点（2,0）,那么a的值是.

ro.如果抛物线y=（左+l）f有最高点，那么上取值范围是.

ii.如果抛物线/经过点A（—2,0）和8（5,0）,那么该抛物线对称轴是直线.

12.沿着x轴正方向看，抛物线y=f-2在），轴左侧的部分是的（填"上升”或“下

降”）.

AP

13.点P是线段A8上的一点，如果4P2=8p.A6，那么f的值是.

AB

14.已知VA6C:VAB'C',顶点A、B、。分别与顶点A',B'，C'对应，A。、

AD分别是BC、8'C'边上的中线，如果BC=3,AD=2.4,SC=2,那么4。的

长是.

IS.如图，AB1/CD,AD.BC相交于点E,过E作EF//CD交BD于点F,如果

AB=3,CD=6,那么E/的长是.

16.如图，梯形ABC。中，AD!IBC,24=90°,ZBDC=90°,AD=4,

BC=9,那么3。=

17.如图，图中提供了一种求cotl5°的方法，作RhABC，使NC=90°,

ZABC=30°,再延长CB到点D,使BD=BA,联结A£＞，即可得NO=15°,如果设

AC=t,则可得8=(2+6-,那么cotl5°=cot£>=C2=2+G，运用以上方

AC

法，可求得cot22.5°的值是

18.如图，在NC=90°,AC=6,BC=8,。是8C的中点，点E在边

A3上，将ABDE沿直线DE翻折，使得点8落在同一平面内的点夕处，线段5'。交边

45于点F,联结A3',当AAB'F是直角三角形时，破的长为.

三、解答题

2-0.已知二次函数的解析式为y=-2%.

（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+〃?y+Z的形式;

(2)选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系X。)，内描点，画出该函

数的图像.

X..........

..........

21.如图，在AABC中，点G是AABC的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC于

点。，过点G作GE/ABC交边AC于点E.

(1)如果入万=£，=用3、B表示向量86；

(2)当AG_L3O,BG=6,NG4D=45°时，求AE的长.

22.图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时侧面示意图，其中矩形

438是取暧器的主体，等腰梯形跳户C是底座，BE=CF,烘干架连杆G”可绕边

CO上一点H旋转，以调节角度，已知CD=50C7〃，BC^Scm,EF=20cm,

DH=T2cm,GH=T5cm,ZCFE=30°,当NG4D=53°时，求点G到地面的距

离.(精确到0.1cm)【参考数据：s讥53°*0.80,cos530*()60,to«53o®1.33,

6=1.731

图2

23.如图，在AABC中，点。、G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC，

EG//AB,AE，BD交于点F,BF=AG.

(1)求证：ABFE〜ACGE；

24.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知点A(—1,0)、8(3,0)、C(0,3),抛物线

y=ax?+Zzr+c经过A、B两点.

(1)当该抛物线经过点。时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当

NP6C=NACB时，求点P的坐标；

(3)如果抛物线,=0¥2+必+。的顶点。位于430。内，求”的取值范围.

y

2$如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,过点A作射线

点。、E是射线AM上的两点(点O不与点A重合，点七在点。右侧)，连接BD、BE

分别交边AC于点F、G,ZDBE=NC.

(I)当AD=1时，求FB的长

(2)设AD=x,FG=y,求V关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结OG并延长交边8c于点H,如果是等腰三角形，请直接写出AO的

长.

BCB

备用图

上海市虹口区2020-2021学年九年级上学期一模数学试题

一、选择题

1.已知在R/AABC中，NC=9O°,AC=3,8C=4,则tanA的值为（）

3c4C3-4

A.-B.-C--P.-

4355

【答案】B

【解析】

【分析】锐角A的对边“与邻边b的比叫做/A的正切，记作tan/1,据此进行计算即可.

【详解】解：在R/AABC中，

故选:B.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，解题时注意：在心ZiACB中，

ZC=90°,则tanA=@.

b

2.己知向量之和5都是单位向量，那么下列等式成立的是（）

A.a-bB.a+b-2C.a-b-0D.

同=同

【答案】P

【解析】

【分析】根据向量万和B都是单位向量，，可知I万l=lBl=i，由此即可判断.

【详解】解：A、向量々和B都是单位向量，但方向不一定相同，则2=5不一定成立，故

本选项错误.

B、向量5和B都是单位向量，但方向不一定相同，则£+5=2不一定成立，故本选项错

误.

。、向量M和5都是单位向量，但方向不一定相同，则M-B=O不一定成立，故本选项错

误.

D、向量方和日都是单位向量，则国|=区|=1,故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键

3.下列函数中，属于二次函数的是（）

1；-----o

Ay=^~2B-y^yJx2-2C.y=x-2D.

y=（X-2）2-x2

【答案】C

【解析】

【分析】形如y=ax2+bx+c（a，0）,a,b,c是常数的函数叫做二次函数，其中a称为二次

项系数，b称为一次项系数，c为常数项，x为自变量，y为因变量，据此解题.

【详解】A.y=——右边不是整式，不是二次函数，故A错误；

x-2

B.y=J%2_2右边是二次根式,不是整式，不是二次函数，故B错误；

C.y=d—2是二次函数，故C正确；

D.y=（x—2）~—J?=》2—4x+4—f=^%+4是一次函数，故D错误，

故选：C.

【点睛】本题考查二次函数的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

4.将抛物线y=V-3向右平移2个单位后得到的新抛物线表达式是（）

Ay=X2B.y=x2-5C.y=（x+2/-3D.

y=（x-2）2-3

【答案】D

【解析】

【分析】先利用顶点式得到抛物线y=Y—3的顶点坐标为（0,-3）,再利用点平移的坐

标规律得到点（0,-3）平移后所得对应点的坐标为（2,-3）,然后利用顶点式写出平移后

得到的抛物线的解析式.

【详解】解：•••原抛物线的顶点坐标为（0,-3）,

；•y=3向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为（2,-3）,

，新抛物线表达式是y=（x-2）2-3.

故答案为：D.

【点睛】本题考查了二次函数的平移；得到新抛物线的顶点是解决本题的突破点，用到的

知识点为：二次函数的平移不改变二次项的系数.

5如图，传送带和地面所成斜坡的坡度i=1:2.4,如果它把某物体从地面送到离地面10

米高的地方，那么该物体所经过的路程是（）

传送带

/^777777777777777777777

A.10米B.24米C.25米D.26米

【答案】D

【解析】

【分析】根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案.

【详解】解：如图，

4_____________c

RED

由题意得：斜坡AB的坡度：i=l：2.4,AE=10米，AE1BD,

1

•I—----=-----,

BE2.4

；.BE=24米，

...在RjABE中，AB=yjAE2+BE2=26（米）・

故选：D.

【点睛】此题考查了坡度坡角问题.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，注意

理解坡度的定义.

6.如图，在RSABC中，NACB=90。，。是边A8上一点，过。作。交边BC于

点E,交AC的延长线于点G联结AE,如果tan/EAC=』，S〃CEF=1,那么SMBC的值

3

是（）

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【解析】

1yyx-1-I[

【分析】根据tan/E4C=—,可得——=一,由△EFC'SAABC，可得相似比为一，

3AC33

从而得到面积比为进而求出答案.

【详解】VZACB=90°,

・・・NB4C+N8=90。，

XVDF1AB,

JZADF=90°,

：.ZBAC+ZF=90°,

:・/B=4F,

又「ZECF=ZACB=90°,

:•△ECFs/\ACB,

.ECCF1

••=---=tanN£i4C=一,

ACBC3

qi

・•7―Q'

又>*,SAECF=1，

••S&ABC=9,

故选：C.

【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的

性质是解决问题的关键.

二、填空题

7.如果。：〃=3:2,那么----=_________.

a+b

3

【答案】-

【解析】

【分析】设a=3k,然后用k表示出b,最后代入」一计算即可.

a+b

【详解】解：设a=3k

a\b=3:2

3"：b=3：2,即3b=6k,解得b=2k

.a3k3k3

a+b3k+2k5k5

3

故答案为一.

5

【点睛】本题主要考查了比例化简求值，设出中间量、分别表示出a、b成为解答本题的关

键.

8.计算：3M-/（2万-4。）=.

【答案】2%+2»

【解析】

【分析】根据向量的线性运算法则进行运算，从而可得答案.

【详解】解：3d——^2a—4h^—3a-a+2b=2a+2b.

故答案为：2a+2九

【点睛】本题考查的向量的线性运算，掌握向量的加，减，数乘运算是解题的关键.

9.如果抛物线y=——。经过点（2,0）,那么〃的值是.

【答案】4

【解析】

【分析】将点（2,0）代入抛物线解析式y=f—。即可求得a的值.

【详解】解：：抛物线y=a经过点（2,0）,

得:0=4-a.

解得，a=4,

故答案为:4.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，代入已知量即可求得未知量.

如果抛物线y=(Z+l)f有最高点，那么上的取值范围是.

【答案】k<-l

【解析】

【分析】根据二次函数卜=(%+1)1有最高点，得出抛物线开口向下，即k+i<o,即可得

出答案.

详解】解：•••抛物线yH4+l)%2有最高点，

•••抛物线开口向下，

Ak+KO,

**-k<—1,

故答案为：k<—\.

【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数的最值与开口

方向的特点.

il.如果抛物线/经过点4(-2,0)和B(5,O),那么该抛物线的对称轴是直线.

3

【答案】x=一

2

【解析】

3

【分析】根据抛物线的对称性得对称轴为直线1=二.

2

【详解】,・,抛物线/经过点A(—2,0)和3(5,0),

-2+53

.•.该抛物线的对称轴是直线》=——-=

22

3

故答案为：%=-.

2

【点睛】此题考查抛物线的对称性，掌握抛物线的性质是解题的关键.

12.沿着x轴正方向看，抛物线y=/-2在)’轴左侧的部分是的(填“上升”或“下

降”).

【答案】下降

【解析】

【分析】画出函数图象，直观判断即可.

【详解】抛物线y=/-2的图象如图所示:

可以看出，在y轴左侧部分下降，

故答案为：下降

【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意画出正确图象是解决问题关键.

AP

13.点P是线段A3上的一点，如果Ap2=BPA6，那么——的值是.

AB

【答案】叵11

2

【解析】

AD

【分析】设AB=1,AP=x,则BP=l-x,代入AP2=BP・AB求出x的值，最后代入——即

AB

可.

【详解】解：设AB=1,AP=x,则BP=l-x,

VAP2=BP•AB

X2=(l-x),1,即x2+x-l=0,解得_!＞或X=—!~(舍)

22

V5-1

AP_2_逐T.

AB--1-2

故答案为避二1.

2

【点睛】本题考查了成比例线段，设出合适的未知数、根据比例列式求出未知数成为解答

本题的关键.

14.已知VABC:VA'B'C,顶点A、B、。分别与顶点A',B'，C'对应，A。、

AD分别是BC、6'C'边上的中线，如果8C=3，AD=2.4,BC=2,那么4。的

长是.

o

【答案】I

【解析】

【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应边上的中线的比进而得出答案.

【详解】解：如图，

1.,△ABC-AA^ICI,BC=3,AD=2.4,B'C'=2,

BCAD32.4

----=-----即H一n=------

B'CA'D'2A'D'

o

A'D'=~.

5

o

故答案为：一.

5

【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相关性质是解题关键.

1$如图，AB//CD,AD，8C相交于点E，过E作EF//CD交BD于点、F,如果

AB=3,CD=6,那么EE的长是―

【答案】2

【解析】

AfAD31

［分析］选证明△ABEsADEC得到—=—=—=—,利用比例性质得到

EDCD62

DE2

—=一，再证明砂〃AB,则可判断△£)£足心7%8,然后利用相似比可得到

DA3

EF2

——=—，问题可解.

AB3

【详解】解：•.•AB〃CD,

.△ABEsADEC

•_A___E____A___B_____3_____1

"ED~CD~6~2

DE2

•••_一_f

DA3

□EF〃CD,AB〃CD,

UEF//AB,

:ADEFSADAB，

EFDE2

AS-AD-3

22

EF=—AB=—x3=2,

33

故答案为：2

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形时，应注意利用图中已

有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方

法是通过作平行线构造相似三角形.

16.如图，梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,AD=4,

BC=9,那么即=

【答案】6

【解析】

【分析】根据题意可知aABDsaDCB,利用相似三角形对应边成比例，即可求出答案.

【详解】解：在直角梯形A8CO中，

VAD//BC,ZA=90°,ZBDC=90°,

NADB=NDBC,NA=NBDC,

.".△ADB^ADCB,

.ADBD

又：AD-4,,BC=9,

；.BD=6

故答案为：6.

【点睛】本题考察了直角梯形和相似三角形的判定与性质，解题的关键是得出

△ABD^ADCB.

17.如图，图中提供了一种求cot15°的方法，作放AABC,使NC=90°,

ZABC=30°,再延长CB到点。，使BD=BA,联结AO，即可得"=15°,如果设

AC=t,则可得CO=（2+6）f,那么cotl50=cotO=C2=2+6,运用以上方

AC

法，可求得cot22.5。的值是一

【答案】V2+1

【解析】

【分析】作R〃ABC,使NC=90°,ZABC=45°,再延长BC到点。，使BD=BA,

联结AO，即可得/£>=22.5°，设AC=r,然后用t表示出CD,最后根据余切的定义

作答即可.

【详解】解：如图：作R/AABC,使NC=90°,ZABC=45°,再延长CB到点。，使

应)=54,联结AO，即可得NO=22.5°

设AC=t,则BC=t,AB=BD=V2t

所以DC=BC+AB=t+J^t=(1+72)t

所以cot22.5。=明(1+可

=1+V2-

ACt

故答案为1+a.

【点睛】本题主要考查的是解直角三角形和三角函数，构造出含45。的直角三角形，再作

辅助线得到22.5。角的直角三角形成为解答本题的关键.

18.如图，在R/AABC,NC=90°,AC=6,BC=8,。是6c的中点，点E在边

ABh,将△由把沿直线OE翻折，使得点8落在同一平面内的点8'处，线段5'。交边

AB于点尸，联结A3',当AABR是直角三角形时，8E的长为

【答案】2或一

17

【解析】

【分析】分两种情况讨论，当NAF*=9()。时，则N3ED=90°，利用锐角三角函数先

求解。E,BF，B'F,设再表示夕瓦后尸，再利用勾股定理求解x即可得到答

案；当NAB'F=90°时，如图，连接A£>,过E作EHLBD于H，先证明:

RSADC沿AADB',再证明NAOE=£>0°,设BE=5x,利用B8的锐角三角函数可得

EH=3,BH=4x,DH=4—4x,AE=10-5%,利用勾股定理求解x可得答案.

【详解】解：•.•AC=6,BC=S,ZC=90°,

..AB=10,

。是BC的中点，

.-.BD=CD=B'D=4,

当乙4/8'=90。时，则N3ED=90°，

AB5DB

：.DF=—,

5

Lfl2V16

・，Dr寸2一⑷二

B'F=4--=~,

55

m

cDB

6

设BE=x,则6'£=X,EF=BF-X=-------X9

5

M眇蜃」

x-2,

即：BE=2.

当NAB'E=9()°时，如图，连接AO，过E作£H_L5O于H,

同理可得：CD=BD=BD=4,

\AD=AD，NC=90°，

Rt^ADC^^ADB'(HL)

：.ZADC=ZADB',

'：ZBDE=Z£DE，

：.ZADB'+ZB'DE=90°=ZADE,

设BE=5x,

由sE八"二=生

AB5BE

：.EH-3x,BH-4x,

.-.DH=4-4x,

.-.D£2=(3^)2+(4-4X)2,

AE2=(10-5x)2,

AD2=62+42=52,

.-.(10-5x)2=52+(3x『+(4-旬2,

8

17

当ZB'A尸=90°,不合题意，舍去.

40

综上：破的长为2或，.

17

40

故答案为：2或—.

17

【点睛】本题考查的是折叠的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应

用，掌握以上知识是解题的关键，要注意分情况讨论.

三、解答题

tai?45°

19.计算:-2sin60°.

cot300-2cos45°

【答案】72

【解析】

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案.

j-2(二高市

【详解】解：原式="2.乌=6+叵应=6.

【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关

键.

2.0.己知二次函数的解析式为了二3/一？》.

(1)用配方法把该二次函数解析式化为y=a(x+m)2+Z的形式;

(2)选取适当的数据填入下表，并在图中所示的平面直角坐标系xQy内描点，画出该函

数的图像.

X..........

..........

【答案】(1)y=g(x—2>—2；(2)见解析.

【解析】

【分析】（1）直接利用配方法即可把该二次函数的解析式化为顶点式;

（2）列表、描点、连线，画出函数的图象即可.

【详解】解：（1）y^-x2-2x

=1（X2-4X）

1,

=-（X2-4X+4-4）

《（I）;

•*-y=3（x-2）--2；

（2）填表如下：

......-20246......

......60-206......

图像如下:

y

17.

【点睛】此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象,正确掌握配方法以及画二次

函数图象的步骤是解题关键.

21.如图，在AABC中，点G是AABC的重心，联结AG,联结BG并延长交边AC于

点。，过点G作GE//6C交边AC于点E.

（1）如果入月=£,AC=b＞用£、B表示向量的；

(2)当AGJ_8O,BG=6,NG4T>=45°时，求AE的长.

A

D

G

B

—21-「

【答案】(1)BG=——a+—h；(2)AE=45/2•

【解析】

—、1~»->2~>

【分析】(1)由G是重心，可得58，BG^-BD,因为3^=己+&>，可得

TT1T一

BD=-a+-b,进而求出8方；

(2)根据G是重心，求出DG=3,因为△AGO是等腰直角三角形，勾股定理计算出A£>=

372>由4D=OC,DC=3DE求出DE=O，相加即可.

【详解】解：(1).・•际=函+心，

••,点G是由AABC的重心，

：.AD=^AC,

•.->->->->

,AB=a，AC=bf

T1T

AD=-a,

2

fT1T

:.BD=-a+-b

2

T2T2T1f

:.BG=—BD=—(—a+3b),

-2Tl丁

BG=一一a+-b.

33

(2)・・・G是三角形的重心，

:・BG=2GD,AD=DC,

•：BG=6,

：.GD=3,

VAG1BD,NGA£>=45°，

•*.AG=GD=3f

,,AD=132+3'=3\/2,

,:GEHBC,

.DEGD1

•«------------——,

DCBD3

:.DE=&,

：.AE^AD+DE^4y/2

【点睛】本题考查了三角形的重心、平面向量、勾股定理以及平行线分线段成比例定理；

熟练掌握三角形重心的性质以及平行线分线段成比例定理，能够熟练运用向量的运算、勾

股定理解题是关键.

22.图1是一款家用落地式取暖器，如图2是其放置在地面上时的侧面示意图，其中矩形

ABC。是取暖器的主体，等腰梯形BEFC是底座，BE=CF,烘干架连杆G”可绕边

CO上一点H旋转，以调节角度，已知C£)=5()c7〃，BC=8cm,EF=20cm,

DH=12cm,GH=15cm,ZCFE=30°,当NG”Z)=53°时，求点G到地面的距

离.(精确到0.1cm)【参考数据：si〃53°a0.80,cos53°«06(),tan53°»1.33,

73«1.73】

图1图2

【答案】点G到地面的距离为50.5cm.

【解析】

【分析】过H作HRLAB,在R3HGR中，利用三角函数求出GR的长，再根据

RB=CH=DC-DH,求出RB长，即可求出G到B的长度，过C作CTLEF,过B作

BQ±EF,通过证明ABEQ会得出EQ=FT,在RsCFT中，利用三角函数求出

CT=BQ的长，由GQ=GB+BQ即可求出答案；

【详解】解：如图，过H作HRJ_AB,

VZGHD=53°,且AB〃CD,

・・・NHGR=53。，

在RtAHGR中，GR=cos53°xGH=cos53°x15=9,

AGB=GR+RB=9+(50-12)=47,

过C作CT_LEF,过B作BQ_LEF,则NCTF=NBQE=90。,

VBE=CF,

AZE=ZF,

AABEQ^ACFT,

.'.EQ=FTBQ=CT,

BC=8cm,EF=20cm,

EQ=FT=6cm,

在RtZkCFT中，ZCFT=30°,

CT=BQ=tan30°xFT=立x6=2也,

GQ=GB+BQ=47+2g247+2x1.73=50.46a50.5(cm),

答：点G到地面的距离约为50.5cm.

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用、锐角三角函数值等知识点，解题的关键是构

造直角三角形利用三角函数值求线段长.

23.如图，在AABC中，点。、G在边AC上，点E在边8C上，DB=DC,

EG//AB.AE、BD交于点、F,BF=AG.

(1)求证：△BFEYCGE；

(2)当ZA£G=NC时，求证：AB2=AGAC.

【答案】（1）证明见详解：（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）由EG//AB易证△CGEs/XCAB,由性质得但=任由比例性质得

CACB

—,由已知BF=AG比例式变为史=笠，由已知=利用等边对等角

AGBEBFBE

得/FBE=NGCE,利用两边成比例夹角相等知ABFEsMGE；

（2）由£G〃AB,利用性质内错角相等NBAE=NAEG,由已知NAEG=NC,推出

ABBE

ZBAE=ZC,又NABE=/CBA共用，可证AABES/\CBA,由性质一=——，

BCAB

ZBEA=ZBAC,把比例变等积得AB'BOBE，由。）利用性质

ZBEF=ZCEG,ZBFE=ZCGE,推出NBAC=/GEC=NABC=NEGC,利用等角对等边

得AC=BC,GC=EC,利用等量代换得AG=BE,可证AB2=AC-AG.

【详解】（1）EG//AB,

；./CGE=/CAB,ZCEG=ZCBA,

.,.△CGE^ACAB,

.CGCE

"CA"CB'

CGCE„„CGCE

•.-------=-------即----=—,

CA-CGCB-CEAGBE

；BF=AG

CG_CE

BF^BE

•••DB=DC,

：.ZDBC=ZDCB,即NFBE=/GCE,

ABFESACGE,

(2)•/EG//AB,

；./BAE=NAEG,

又•；ZAEG=NC,

NBAE=/C,

又•.,/ABE=NCBA共用，

.,.△ABE^ACBA,

ABBE

，——=——，NBEA=NBAC,

BCAB

•••AB2=BC.BE,

由⑴ABFESACGE,

：.ZBEF=ZCEG,/BFE=NCGE,

•:EG//AB,

：.NABC=NGEC,ZBAC=ZEGC,

NBAC=/GEC=/ABC=/EGC,

；.AC=BC,GC=EC,

；.AG=BE,

AB2=BC.BE=AC.AG.

BE

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形

的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，会利用换比的方法证三角形相似，会利用相似

证角等转化边角关系是解题关键.

24.如图，在平面直角坐标系M刀中，已知点A(—1,0)、3(3,0)、C(0,3),抛物线

y=ax?+bx+c经过A、8两点.

(1)当该抛物线经过点C时，求该抛物线的表达式；

(2)在(1)题的条件下，点P为该抛物线上一点，且位于第三象限，当

=时，求点P的坐标；

(3)如果抛物线y="2+云+。的顶点。位于ABOC内，求”的取值范围.

X

【答案】(1)y--x2+2x+3；(2)-g<a<0.

【解析】

【分析】⑴将点A(—1,0)、8(3,0)、。(0,3)代入抛物线丁=依2+"+以利用待定

系数法即可求解；

(2)先证明△AOC会4EOBIASA)得出E(0,-1),利用待定系数法求出直线PB的解析

式，根据P是直线与抛物线的交点，联立解析式即可求出P点的坐标；

(3)根据抛物线,=办2+辰+。经过A(T,。)、3(3,0),求得抛物线解析式，从而表

示出顶点D的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，当x=l时，y=2,根据D位

于ABOC内部，列出关于a的不等式即可求解.

【详解】(1)将点A(T,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线y=ax2+bx+c

a—b+c-0

得：<9a+30+c=0,

c=3

a=-1

解得："=2,

c=3

抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3.

(2)如图：

；.OB=OC

ZOBC=ZOCB

当NPBC=NACB时，U!lJZPBC-ZOBC=ZACB-ZOCB

即/PBO=NACO

设PB交y轴于点E,

在4AOC^DAEOB中

NPBO=NACO

<OB=OC

ZEOB=ZAOC

：.ZXAOC丝△EOB(ASA)

.\OE=OA=1

AE(O,-1)

设PB的解析式为y=mx+n

将B(3,0),E(0,-1)代入

3m+n=0

得《

n=-1

1

m=—

解得,3,

n=-1

直线PB的解析式为y=gx-l,

'1,

y=-x_1

联立解析式《，3,

y--x2+2x+3

4

x.=33

解得c

IM=0

(3)如图，

y=ax2+bx+c经过A(T,0)>B(3,0)

y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a

—2a

・•・对称轴为直线x=-——=1,顶点D的坐标为(1,-4a)

2a

由B(3,0)、C(0,3)易得BC解析式为y=-x+3

当x=l时，y=2

因此当D位于ABOC内时

0<-4a<2

解得一一VaVO

2

即a的取值范围是-L<a<0.

2

【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次

函数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判定，证得△AOC名aEOB,从而得到E

的坐标是解题的关键.

2$如图，在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,过点A作射线

点。、E是射线AM上的两点(点O不与点A重合，点E在点。右侧)，连接BD、BE

分别交边AC于点/、G,ZDBE=NC.

(I)当AD=1时，求F8的长

(2)设AD=x,FG=y,求V关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)联结OG并延长交边