陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题 圆

陕西省中考数学历年（2016-2022年）真题分类汇编专题圆

一、单选题（共6题；共12分）

1.（2分）（2020•陕西）如图，AABC内接于。O,/人=50。石是边BC的中点，连接OE并延长,

交。O于点D,连接BD,则ND的大小为（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

【答案】B

【解析】【解答】解：连接CD,

D

VZA=50°,

AZCDB=180°-NA=130。,

•.•E是边BC的中点，

AODIBC,

；.BD=CD,

.\ZODB=ZODC=1ZBDC=65°,

故答案为：B.

【分析】连接CD,根据圆内接四边形的性质得到NCDB=180。-NA=130。，根据垂径定理得到

OD1BC,求得BD=CD,根据等腰三角形的性质即可得到结论.

2.（2分）（2016•陕西）如图，。。的半径为4,△ABC是。O的内接三角形，连接OB、OC.若

/BAC与NBOC互补，则弦BC的长为（）

【答案】B

【解析】【解答】解：过点O作ODLBC于D,

则BC=2BD,

ABC内接于。O,NBAC与NBOC互补，

ZB0C=2ZA,ZB0C+ZA=180°,

.\ZBOC=120o,

VOB=OC,

ZOBC=ZOCB=A(180°-ZBOC)=30°,

的半径为4,

BD=OB«cosZOBC=4x孚=2百，

ABC=4V3.

故选：B.

【分析】首先过点O作ODLBC于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理，可求得/BOC

的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得NOBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案.此题考

查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识.注意掌握辅助线的作法，注

意数形结合思想的应用.

3.（2分）（2022陕西）如图，△ABC内接于。0,4=46°,连接。4则Z0AB=（)

【答案】A

【解二析】【解答】解：连接0B,如图，

VZC=46°,

.•.ZAOB=2ZC=92°,

...ZOAB+ZOBA=180o-92°=88°,

VOA=OB,

.\ZOAB=ZOBA,

ZOAB=ZOBA=lx88°=44°.

故答案为：A.

【分析】连接OB,由圆周角定理得NAOB=2NC=92。,结合内角和定理可得NOAB+NOBA=88。，

根据等腰三角形的性质可得/OAB=NOBA,据此计算

4.（2分）（2019•陕西）如图，AB是。。的直径，EF,EB是。0的弦，且EF=EB,EF与AB交于

点C,连接OF,若NAOF=40。，则NF的度数是（）

R

A.20°B.35°C.40°D.55°

【答案】B

【解析】【解答】解：连接FB,

贝UZFOB=1800-ZAOF=180°-40°=140°,

.\ZFEB=ZFOB=70°,

VFO=BO,

，ZOFB=ZOBF=(180°-ZFOB)-?2=20°,

VEF=EB,

NEFB=NEBF=(180°-/FEB)+2=55°,

/EFO=ZEBF-ZOFB=55°-20°=35°,

故答案为：B»

【分析】连接FB,根据邻补角的定义得出NFOB=18()o-NAOF=140。，根据同弧所对的圆周角等于

圆心角的一半得出/FEB=1ZFOB=70°,根据等腰三角形的性质得出NOFB=NOBF=20。，

ZEFB=ZEBF=55°,最后根据NEFO=/EBF-NOFB即可算出答案。

5.(2分)(2018•陕西)如图，△ABC是。O的内接三角形，AB=AC,NBCA=65。，作CD〃AB,

并与。O相交于点D,连接BD,则NDBC的大小为()

A.15°B.35°C.25°D.45°

【答案】A

【解析】【解答】：AB=AC,，NABC=NACB=65。，AZA=1800-ZABC-ZACB=50°,

VDC//AB,AZACD=ZA=50°,

又〈ND=NA=50。，

AZDBC=180°-ZD-ZBCD=180°-50°-（65°+50°）=15°,

故答案为：A.

【分析】根据等边对等角得出NABC=NACB=65。，根据三角形的内角和得出NA的度数，根据二直

线平行，内错角相等得出NACD=NA,根据同弧所对的圆周角相等得出ND=NA,根据三角形的内

角和即可得出答案。

6.（2分）（2017•陕西）如图，△ABC是。O的内接三角形，NO30。，。。的半径为5,若点P是

OO上的一点，在4ABP中，PB=AB,则PA的长为（）

VZC=30°,

AZAPB=ZC=30°,

VPB=AB,

/.ZPAB=ZAPB=30°

AZABP=120°,

VPB=AB,

AOB1AP,AD=PD,

AZOBP=ZOBA=60°,

VOB=OA,

・・・△AOB是等边三角形,

AAB=OA=5,

则RtAPBD中，PD=cos30°«PB=亭x5=零,

AP=2PD=5V3>

故答案为：D.

【分析】连接OA、OB、OP,由等腰三角形性质得出NAPB=NC=30。；再由PB=AB得出

ZPAB=ZAPB=30°；由三角形内角和得出NABP=120。，由等腰三角形的性质得出OBJ_AP,

AD=PD,由等边三角形的判定得出△AOB是等边三角形，在RSPBD中，由锐角三角函数得出

PD=cos30°«PB从而求出AP.

二、填空题（共3题；共3分）

7.（1分）（2017•淮安）如图，在圆内接四边形ABCD中，若/A,ZB,/C的度数之比为4：3：

5,则ND的度数是°.

【解析】【解答】：/人，ZB,NC的度数之比为4：3：5,

.,.设NA=4x,则NB=3x,NC=5x.

•••四边形ABCD是圆内接四边形，

AZA+ZC=180°,即4x+5x=180°,解得x=20。,

NB=3x=60°,

1,.ZD=180°-60°=120°.

故答案为：120.

【分析】由圆内接四边形的性质对角互补，即NA+NC=180。，求出每一份x,进而求出

NB=3x=60。，最后求出ND=180°-60°=120°.

8.（1分）（2021•陕西）如图，正方形ABCD的边长为4,00的半径为1.若。。在正方形

ABCD内平移（O0可以与该正方形的边相切），则点A到。。上的点的距离的最大值

为.

【答案】3V2+1

【解析】【解答】解：由题意得当。0与BC、CD相切时，切点分别为F、G,点A至上的

点的距离取得最大，如图所示:

乙OFC=90°

连接AC,OF,AC交。。于点E,此时AE的长即为点A到。。上的点的距离为最大，如图所

示，

:四边形ABCD是正方形，且边长为4,

：.AB=BC=4,Z.ACB=45°,

△OFC是等腰直角三角形，AC=46，

VQ0的半径为1，

：.0F=FC=1,

/.0C=V2,

-'-AO=AC-0C=3^2,

.".AE=AO+0E=3y/2+l,

即点A到。0上的点的距离的最大值为3a+1;

故答案为3a+1.

【分析】当。O与CB、CD相切时，切点分别为F、G,点A到。。上的点的距离取得最大，连接

AC,OF,AC交。。于点E,此时AE的长即为点A到。。上的点的距离为最大；根据切线的性质

得到OE=OF,由正方形的性质可得△OFC是等腰直角三角形，用勾股定理可求得AC的值，由线

段的构成AO=AAC-OC可求得AO的值，则AE=AO+OE可求解.

9.（1分）△ABC中，NC为直角，AB=2,贝U这个三角形的外接圆半径为.

【答案】1

【解析】【解答】解：:△ABC中，/C为直角，AB=2,

•••这个三角形的外接圆半径为2+2=1.

故答案为：1.

【分析】根据题意可知，NC是外接圆的圆周角，因为NC为直角，所以NC所对应的边AB=2为该

圆的直径，则半径为2+2=1.

三、综合题（共11题；共113分）

10.（10分）（2022•陕西）如图，AB是。。的直径，4M是。0的切线，AC.CD是。0的弦，且CDJL

AB,垂足为E,连接BD并延长，交4M于点P.

（1）（5分）求证：/.CAB=LAPB-,

（2）（5分）若。。的半径r=5,AC=81求线段PO的长.

【答案】（1）证明：..NM是。。的切线，

/.BAM=90°.

,：CD1AB

：./.CEA=90°,

：.AM||CD.

."COB=Z.APB.

"：^CAB=乙CDB,

：.^CAB=Z.APB.

（2）解：如图,连接AD.

AM

,・NB为直径，

AZADB=90°,

：.z.CDB+Z.ADC=90°.

+ZC=90°,乙CDB=乙CAB,

AZ.ADC=Z.C.

：.AD=AC=8.

*：AB=2r=10,

:・BD=y/AB2-AD2=6.

VZBAP=ZBDA=90°,ZABD=ZPBA,

△ADBPAB.

・AB_BD

^PB=AB'

2

•nnAB10050

78=前=丁=丁

・a50:32

..Dp=--6=z-

【解析】【分析】⑴根据切线的性质可得NBAM=90。，根据垂直的概念可得NCEA=90。，推出

AM〃CD,根据平行线的性质可得/CDB=/APB,由圆周角定理可得NCAB=/CDB,据此证明；

（2）连接AD,根据圆周角定理可得NADB=90。，由圆周角定理可得/CAB=/CDB,由等角的余

角相等可得NADC=NC,则AD=AC=8,利用勾股定理求出BD,证明△ADBsaPAB,根据相似三

角形的性质可得PB,然后根据DP=PB-BD进行计算.

11.（10分）（2021•陕西）如图，是。。的直径，点E、F在。0上，且脉=2卵，连接

OE、AF,过点B作。0的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D.

（1）（5分）求证：Z.COB=/LA；

（2）（5分）若AB=6,CB=4,求线段FD的长.

・.・肝:2度,

：.删=,

工人COB=三乙BOF,

1

.Zyl=|zBOF，

"COB=4A

（2）解：连接BF,

VCD是。。的切线,

：.AB1CD，

由（1）知（COB=NA,

△OBCABD,

.OB_AB

••前F'

*：AB=6,CB=4f

.BC-AB4x6

''BD=-OB~^—^S•

•'-AD=V62+82=10，

'：AB是。。的直径,

：.BFLAD.

VZ.D=乙D,

△BFDABD.

.FD_BD

-BD=AD'

122

.-.Fn_SD_8_32

FD--AD-10--5

【解析】【分析】（1）取弧BF的中点M,连接OM、OF,利用圆心角定理得到NCOB=^/BOF,

利用圆周角定理得到NA=；NBOF可求解；

（2）连接BF,如图，先根据切线的性质得到NOBC=/ABD=90。，根据有两个角对应相等的两个

三角形相似可得4OBCsaABD,由比例式需=磊可求出BD的值，然后用勾股定理可计算出AD

的值，根据圆周角定理得/AFB=90。，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得

RtADBF^RtADAB,得比例式黑=空可求解.

DU/iU

12.（10分）（2020•陕西）如图，△ABC是。O的内接三角形，NBAC=75。，NABC=45。.连接AO

并延长，交。O于点D,连接BD.过点C作。O的切线，与BA的延长线相交于点E.

（1）（5分）求证：AD〃EC；

（2）（5分）若AB=12,求线段EC的长.

【答案】（1）证明：连接OC,

・・・CE与。0相切于点C,

AZOCE=90°,

VZABC=45°,

・・・NAOC=90。，

VZAOC+ZOCE=180°,

・・・・・・AD〃EC；

(2)解：如图，过点A作AFJ_EC交EC于F,

VZBAC=75°,ZABC=45°,

AZACB=60°,

.\ZD=ZACB=60°,

AsinZADB=坦=叵，

AD2

AD="口」=8V3,

.,.0A=0C=4V3

VAF1EC,ZOCE=90°,ZAOC=90°,

四边形OAFC是矩形，

XVOA=OC,

四边形OAFC是正方形，

•\CF=AF=4V3,

VZBAD=90°-ZD=30°,

ZEAF=180°-90°-30°=60°,

VtanZEAF=第=百，

.,.EF=V3AF=12,

.\CE=CF+EF=12+4V3.

【解析】【分析】（1）连接OC,由切线的性质可得/OCE=90。，由圆周角定理可得NAOC=90。，

可得结论；（2）过点A作AFJ_EC交EC于F,由锐角三角函数可求AD=8遮，可证四边形

OAFC是正方形，可得CF=AF=4遮，由锐角三角函数可求EF=12,即可求解.

13.（10分）（2019•陕西）如图，AC是。O的一条弦，AP是。O的切线。作BM=AB并与AP交于

点M,延长MB交AC于点E,交。O于点D,连接AD.

（1）（5分）求证：AB=BE；

（2）（5分）若。O的半径R=5,AB=6,求AD的长.

【答案】（1）证明：•••AP是。O的切线，

.".ZEAM=90°,

/.ZBAE+ZMAB=90°,NAEB+NAMB=90°,

又

.\ZMAB=ZAMB,

.\ZBAE=ZAEB,

AAB=BE

(2)解：连接BC,

「AC是。0的直径，

.•./ABC=90°

在RtAABC中，AC=10,AB=6,

-'"BC=y)AC2-AB2=8,

由(1)知，ZBAE=ZAEB,

又/ABC=NEAM=90°,

ABC^AEAM,

.\/C=NAME,第=器,

即10_8

叩交-丽，

.•.AM=等，

又

•\ZD=ZAMD,

；.AD=AM=萼

【解析】【分析】⑴根据切线的性质得出NEAM=90。，根据等边对等角得出NMAB=

ZAMB,利用等角的余角相等得出ZBAE=ZAEB,根据等角对等边得出AB=BE；

(2)连接BC,根据直径所对的圆周角是直角得出NABC=9()。，根据勾股定理算出BC的

长，然后判断出AABCS^EAM,推出ZC-ZAME,器=器，根据比例式算出AM的

长，根据同弧所对的圆周角相等得出ZD=ZC,故ZD=ZAMD,根据等角对对等边即可得出

AD=AM,从而得出答案。

14.(10分)(2018,陕西)如图，在RtAABC中，ZACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作

OO,分别与AC、BC相交于点M、N.

a

DB

（1）（5分）过点N作。O的切线NE与AB相交于点E,求证：NE±AB：

（2）（5分）连接MD,求证：MD=NB.

【答案】（1）解：如图，连接ON,VCD是RtAABC斜边AB上

的中线，，AD=CD=DB,

；.NDCB=NDBC,

又：OC=ON,.,.ZDCB=ZONC,

.\ZONC=ZDBC,

，ON〃AB,

•.•NE是。O的切线，ON是。0的半径，.\ZONE=90°,

AZNEB=90°,即NE_LAB

（2）解：如图所示，由（1）可知ON〃AB,•.•OC=OD,

，CN=NB=1CB,

又：CD是。O的直径，，ZCMD=90°,

VZACB=90°,

.".ZCMD+ZACB=180°,AMD/ZBC,

又是AB的中点，，MD=ACB,

.\MD=NB.

【解析】【分析】（1）如图，连接ON,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD=CD

=DB,根据等边对等角得出NDCB=NDBC,ZDCB=ZONC,根据等量代换得出NONC=

ZDBC,根据同位角相等，两直线平行得出ON〃AB,根据切线的性质及平行线的性质得出

NE1AB；

（2）根据中位线的判定定理，由ON〃AB,OC=OD,得出CN=NB=4CB,根据圆周角定理得

出NCMD=90。，根据同旁内角互补，两直线平行得出MD//BC,再根据三角形的中位线定理得出

MD=4CB,根据等量代换得出MD=NB.

15.（10分）（2017•淮安）如图，在△ABC中，ZACB=90°,O是边AC上一点，以O为圆心，OA

为半径的圆分别交AB,AC于点E,D,在BC的延长线上取点E使得BF=EF,EF与AC交于点

G.

（1）（5分）试判断直线EF与。O的位置关系，并说明理由;

（2）（5分）若OA=2,NA=30。，求图中阴影部分的面积.

【答案】（1）解：连接OE,

AZA=ZAEO,

VBF=EF,

AZB=ZBEF,

ZACB=90°,

AZA+ZB=90°,

，ZAEO+ZBEF=90°,

・・・ZOEG=90°,

JEF是。。的切线；

(2)解：TAD是。O的直径,

ZAED=90°,

VZA=30°,

・•・ZEOD=60°,

JZEGO=30°,

VA0=2,

A0E=2,

AEG=2V3，

2o

.•.阴影部分的面积=I1X2X2V3-60"=2V3-4^.

23603

【解析】【分析】（l）先观察，再理性论证.EF与圆有公共点，可连结0E,证明0E与EF垂直，可证

ZAEO+ZBEF=90°;（2）阴影部分面积较小，可采用作差法，转化为直角三角形0EG面积减去扇形

0ED的面积即可.

16.（10分）（2017•陕西）如图，已知。。的半径为5,PA是。O的一条切线，切点为A,连接P0

并延长，交。0于点B,过点A作ACLPB交。0于点C、交PB于点D,连接BC,当NP=30。

时，

（1）（5分）求弦AC的长；

⑵（5分）求证：BC//PA.

【答案】（1）解：连接0A,

「PA是。0的切线，

ZPAO=90°

,/ZP=30°,

...NAOD=60。，

VAC1PB,PB过圆心0,

r.AD=DC

在RtAODA中，AD=OA«sin60°=苧

/.AC=2AD=5V3

(2)证明：VAC±PB,ZP=30°,

ZPAC=60°,

ZAOP=60°

.•.ZBOA=120°,

.../BCA=60。，

.♦.NPAC=NBCA

，BC〃PA

【解析】【分析】（1）连接OA,由切线性质得出/PAO=90。，再由三角形内角和得出/AOD=60。，

由AC_LPB,PB过圆心O得出AD=DC；在RsODA中；

由锐角三角函数求出AD=OA»sin60°-；从而求出AC=2AD

（2）由ACLPB,NP=30。得出NPAC=NAOP=60。；从而得出NBOA=120。，ZBCA=60°,

ZPAC=ZBC；由平行线的判定得出ABC〃PA.

17.（10分）（2016•陕西）如图，已知：AB是。O的弦，过点B作BCLAB交。O于点C,过点C

作。O的切线交AB的延长线于点D,取AD的中点E,过点E作EF〃BC交DC的延长线于点E

连接AF并延长交BC的延长线于点G.

(1)(5分)FC=FG；

(2)(5分)AB12=BC«BG.

【答案】(1)证明(1)VEF/7BC,AB1BG,

.\EFJ_AD,

•.•E是AD的中点，

-,.FA=FD,

.,.ZFAD=ZD,

VGB1AB,

，ZGAB+ZG=ZD+ZDCB=90°,

...NDCB=NG,

VZDCB=ZGCF,

ZGCF=ZG

.\FC=FG；

（2）证明：连接AC,如图所示：

AB1BG,

.,AC是。O的直径，

♦.•FD是。O的切线，切点为C,

，NDCB=NCAB,

VZDCB=ZG,

.\ZCAB=ZG,

VZCBA=ZGBA=90°,

ABC^AGBA,

.AB_BC

''GB=AB'

r.AB2=BC«BG.

【解析】【分析】（1）由平行线的性质得出EFJ_AD,由线段垂直平分线的性质得出FA=FD,由等腰

三角形的性质得出NFAD=ND,证出NDCB=NG,由对顶角相等得出/GCF=/G,即可得出结论；

（2）连接AC,由圆周角定理证出AC是。O的直径，由弦切角定理得出NDCB=/CAB,证出

NCAB=NG,再由/CBA=/GBA=90。，证明△ABCsaGBA,得出对应边成比例，即可得出结

论.

本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、弦切角定理等知

识；熟练掌握圆周角定理和弦切角定理，证明三角形相似是解决问题（2）的关键.

18.（11分）（2020•陕西）如图

C

（1）（1分）问题提出

如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,AOBC,/ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作

DE±AC,DFLBC.垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是.

（2）（5分）问题探究

如图2,AB是半圆O的直径，AB=8.P是AB上一点，且巨8=2为1,连接AP,BP.NAPB的

平分线交AB于点C,过点C分别作CELAP,CF±BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长.

（3）（5分）问题解决

如图3,是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知OO的直径AB=70m,点C在。。上，且

CA=CB.P为AB上一点，连接CP并延长，交。O于点D.连接AD,BD.过点P分别作PE_LAD,

PF±BD,重足分别为E,F.按设计要求，四边形PEDF内部为室内活动区，阴影部分是户外活动

区，圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x（m）,阴影部分的面积为y（n?）.

①求y与x之间的函数关系式；

②按照“少儿活动中心”的设计要求，发现当AP的长度为30m时，整体布局比较合理.试求当AP

=30m时,室内活动区（四边形PEDF）的面积.

【答案】（1）CF、DE、DF

（2）解：连接OP,如图2所示：

图2

•.•AB是半圆O的直径，PB=2PA,

AZAPB=90°,/AOP=1X180°=60°,

AZABP=30°,

同(1)得：四边形PECF是正方形，

.\PF=CF,

在RtZkAPB中，PB=AB*cosZABP=8xcos30°=8x=4V3,

“CFCF

在RtACFB中BF='=不=V3CF,

tan乙4BCtan30号

VPB=PF+BF,

PB=CF+BF,

BP：4V3=CF+V3CF,

解得：CF=6-2V3;

(3)解：①YAB为。O的直径，

.•./ACB=/ADB=90。，

VCA=CB,

.\ZADC=ZBDC,

同(1)得：四边形DEPF是正方形，

APE=PF,ZAPE+ZBPF=90°,NPEA=/PFB=90。，

.•.将△APE绕点P逆时针旋转90。，得到AATF,PA'=PA,如图3所示:

图3

则A，、F、B三点共线，NAPE=NA，PF,

ZA,PF+ZBPF=90°,即ZAfPB=90°,

11

SAPAE+SAPBF=SAPA'B=2PA'・PB=x(70-x),

在RtAACB中，AC=BC=也AB=乎x70=35或，

，SAACB=IAC2=|x(35V2)2=1225,

.*.y=SAPA，B+SAACB=|x(70-x)+1225=-1x2+35x+1225；

②当AP=30时，AT=30,PB=AB-AP=70-30=40,

在RtAATB中，由勾股定理得：AB=yjA'P2+PB2=A/302+402=50，

：SAATB=IA'B・PF=1PB-AT,

.1.1x50xPF=1x40x30,

解得:PF=24,

22

S四边形PEDF=PF=24=576(n?),

.•.当AP=30m时.室内活动区(四边形PEDF)的面积为576m%

【解析】【解答】解：(1)VZACB=90°,DE±AC,DF±BC,

四边形CEDF是矩形，

：CD平分NACB,DE_LAC,DF±BC,

；.DE=DF,

.••四边形CEDF是正方形，

，CE=CF=DE=DF,

故答案为：CF、DE、DF；

【分析】(1)证明四边形CEDF是正方形，即可得出结果；

(2)连接OP,由AB是半圆。的直径，所=2为1,得出NAPB=90。，ZAOP=60°,则NABP

=30°,同(1)得四边形PECF是正方形，得PF=CF,在Rtz\APB中，PB=AB«cosZABP=4

V3,在R3CFB中，BF=+=V3CF,推出PB=CF+BF,即可得出结果；

tanZ/iDC

(3)①同(1)得四边形DEPF是正方形，得出PE=PF,NAPE+NBPF=90。，ZPEA=ZPFB=

90°,将△APE绕点P逆时针旋转90。，得到^APF,PA'=PA,则A，、F、B三点共线，ZAPE=

/A'PF,证NA'PB=90°,得出SAPAE+SAPBF=SAPA，B=JPA'・PB=1x(70-x),在RmACB中，

AC=BC=35V2,SAACB=|AC2=1225,由y=S&PA*+SAACB,即可得出结果；②当AP=30

时，AT=30,PB=40,在RtZiATB中，由勾股定理得AB=+PB2=7302+402=50,

由SAATB=|A'B・PF=|PB«A'P,求PF,即可得出结果.

19.（11分）（2018•陕西）如图

A

MH

/>•B

图①图②图③

（1）（1分）【问题提出】

如图①，在△ABC中，ZA=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为.

（2）（5分）【问题探究】

如图②，。0的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点，P是上一动点，求PM的最大

值.

（3）（5分）【问题解决】

如图③所示，AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中，AB=6km,AC=3km,ZBAC=60°,

BC所对的圆心角为60。.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分

站点E、F.也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要

将物资在各物资站点间按PTETF—P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、

EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值

（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）.

【答案】（1）5

（2）解：如图（2）所示，连接MO并延长交。O于N,连接OP,

V（2）

显然，MP<OM+OP=OM+ON=MN,ON=13,OM=V132-122=5，MN=18,

...PM的最大值为18

（3）解：如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P'P"连

接PP'、P'E,PE,P"F,PF,PP"

由对称性可知PE+EF+FP=P，E+EF+FP"=P，P",且P\E、F、P"在一条直线上，所以P'P"

即为最短距离，其长度取决于PA的长度，

如图（4）,作出弧BC的圆心0,连接A0,与弧BC交于P,P点即为使得PA最短的点，

VAB=6km,AC=3km,ZBAC=60°,

.♦.AABC是直角三角形，ZABC=30°,BC=3遮，

BC所对的圆心角为60。，，A0BC是等边三角形，ZCBO=60°,B0=BC=3V3,

.•./ABO=90。，A0=3V7,PA=3夕—3百，

NP'AE=NEAP,ZPAF=ZFAP",

AZPZAP"=2ZABC=120°,P'A=AP",

AZAPT=ZAP"F=30°,

VPT"=2P'AcosNAP'E=V3P'A=3V21-9,

所以PE+EF+FP的最小值为3VH-9km

【解析】【解答］解：（1）如图（1）,设外接圆的圆心为0,连接OA,0B,

芭⑴

：o是等腰三角形ABC的外心，AB=AC,

.\ZBAO=ZOAC=1ZBAC=1x120°=60°,

VOA=OB,

/.△AOB是等边三角形，

.♦.OB=AB=5,

故答案为：5；

【分析】（1）如图（1）,设外接圆的圆心为O,连接OA,OB,等腰三角形的三线合一得出

NBAO=NOAC=1ZBAC=|xl20=60°,根据有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形得出

△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出答案；

（2）如图（2）所示，连接MO并延长交。O于N,连接OP,根据三角形三边之间的关系及等量代

换得出MPWOM+OP=OM+ON=MN,当PM=MN时，PM最大，根据垂径定理及勾股定理得出

OM的长，根据线段的和差即可得出结论；

（3）如图（3）所示，假设P点即为所求点，分别作出点P关于AB、AC的对称点P\P”连接

PP'、P'E,PE,P"F,PF,PP"由对称性可知PE+EF+FP=P'E+EF+FP"=PT",且PPE、

F、P"在一条直线上，所以P'P"即为最短距离，其长度取决于PA的长度，如图（4）,作出弧BC

的圆心O,连接AO,与弧BC交于P,P点即为使得PA最短的点，首先判断出AABC是直角三角

形，及NABC=30。，BC的长度，BC所对的圆心角为60。，进而判断出AOBC是等边三角形，根据

等边三角形的性质得出NCBO=60。，BO=BC,进而得出/ABO=90。，Aode长，PA的长，NP'AE

=/EAP,ZPAF=ZFAP",故/P'AP"=2/ABC=120。，P'A=AP",/AP'E=/AP"F=

30°,根据余弦函数,由PP"=2PxAcosZAPT=V3P'A,从而得出答案。

20.（11分）（2017•陕西）综合题

（1）（1分）问题提出

如图①，△ABC是等边三角形，AB=12,若点O是△ABC的内心，则OA的长为；

图①

（2）（5分）问题探究

如图②，在矩形ABCD中，AB=12,AD=18,如果点P是AD边上一点，且AP=3,那么BC边

上是否存在一点Q,使得线段PQ将矩形ABCD的面积平分？若存在，求出PQ的长；若不存在，请

说明理由.

图②

（3）（5分）问题解决

某城市街角有一草坪，草坪是由AABM草地和弦AB与其所对的劣弧围成的草地组成，如图③

所示.管理员王师傅在M处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇

水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他

让喷灌龙头的转角正好等于NAMB（即每次喷灌时喷灌龙头由MA转到MB,然后再转回，这样往

复喷灌.）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了.

如图③，已测出AB=24m,MB=10m,△AMB的面积为96m2；过弦AB的中点D作DELAB交

AB于点E,又测得DE=8m.

请你根据以上信息，帮助王师傅计算喷灌龙头的射程至少多少米时•，才能实现他的想法？为什

么？（结果保留根号或精确到0.01米）

【答案】⑴4百

（2）解：存在，如图2,连接AC、BD交于点0,连接PO并延长交BC于Q,则线段PQ将矩形

•••点O为矩形ABCD的对称中心，

；.CQ=AP=3,

过P作PM_LBC于点，贝IJPM=AB=12,MQ=18-3-3=12,

由勾股定理得：PQ=IpM2+MQ2=V122+122=12y/2.

(3)解：如图3,作射线ED交AM于点C

VAD=DB,ED±AB,AB是劣弧，

：.AB所在圆的圆心在射线DC上，

假设圆心为0,半径为r,连接OA,则OA=r,OD=r-8,AD=：AB=12,

在RSAOD中,r2=122+(r-8)2,

解得：尸13,

，OD=5,

过点M作MNJ_AB,垂足为N,

SAABM=96,AB=24,

AB・MN=96,

1X24XMN=96,

•\MN=8,NB=6,AN=18,

VCD#MN,

.,.AADC^AANM,

.DC_AD

"MN=AN'

.DC_12

--8-=T8'

/.DC=竽，

.•.ODCCD,

.♦.点0在4AMB内部，

二.连接MO并延长交通于点F,则MF为草坪上的点到M点的最大距离，

在AB上任取一点异于点F的点G,连接GO,GM,

MF=OM+OF=OM+OG>MG,

即MF>MG,

过O作OHLMN,垂足为H,则OH=DN=6,MH=3,

.••OM=yjMH2+OH2=V32+62=3V5，

/.MF=OM+r=3V5+13-19.71（米），

答：喷灌龙头的射程至少为19.71米.

【解析】【解答］解：（1）如图1,过O作OD_LAC于D,则AD=；AC=*xl2=6,

•••0是内心，△ABC是等边三角形，

AZOAD=~ZBAC=1x60°=30°,

在RtAAOD中，cosZOAD=cos30°=器，

；.OA=6+孚=4百，

故答案为：4V3；

【分析】（1）如图1，过。作ODLAC于D,得出AD=：AC=6,由等边三角形的性质得出

ZOAD=|ZBAC=Jx60°=30°；在RiaAOD中，利用锐角三角函数求出OA的值.

（2）存在，如图2,连接AC、BD交于点0,连接P0并延长交BC于Q,则线段PQ将矩形

ABCD的面积平分，由矩形性质得出CQ=AP=3；过P作PM_LBC于点，求出P,MQ的值；再由

勾股定理得PQ=12V2.

(3)如图3,作射线ED交AM于点C；在RQAOD中，由勾股定理列出式子：r2=122+(r-8)

2,求出k13,OD=5；过点M作MN_LAB,垂足为N,

由SAABM=96,AB=24得出MN=8,NB=6,AN=18；由CD〃MN得出△ADCSAANM,根据相似

三角形的性质得出益=瑞，从而求出DC=竽,

得出ODVCD,点O在AAMB内部；过O作OHJ_MN,垂足为H,由勾股定理得出OM=3A，

从而求出MF.

试题分析部分

1、试卷总体分布分析

总分：128分

客观题（占比）14.0(10.9%)

分值分布

主观题（占比）114.0(89.1%)

客观题（占比）8(40.0%)

题量分布

主观题（占比）