陕西022-2023学年高三上学期期初联考文科数学试卷及答案

陕西师范大学附属中学、渭北中学等2022-2023学年高三上学期期初

联考文科数学试题

一、单选题

1.已知集合A={x卜=,B=|y|y=x2-l|,则4仆8=（）

A.[-2,2]B.[-1,2]C.{-2,-1,0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.已知复数z满足（z+l+i）i=2+3i,则|z|=（）

A.2B.3C.yfl3D.2上

3.算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大

的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳

所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才北周甄鸾为此作注，大意是：把木板

刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态,

自右向左，分别是个位、十位、百位、L,上面一粒珠（简称上珠）代表5,下面一粒珠（简称下

珠）是1,即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨

一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）

梁、彳上珠

档一卜“M"储"I

卜下珠

框、田而ffl

4.已知空间中的两个不同的平面a,夕，直线平面夕，则是“机〃1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

5.如图，角a,力的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆。分别交于4

B两点,则0408=（）

A.cos(a-p)B.cos(a+9)

C.sin(a-0D.sin(cr+y?)

6.下列四个函数：①y=2x+3；②尸/③y=2'；④丫=%,其中定义域与值域相同的函数的

个数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.在AABC中，内角A,B,C所对边分别为a,b,c,若A=g，6=4,AABC的面积为36,

则sin8=()

A.叵5夜3如

13B・普1T13

8.我国南北朝时期的数学家祖晒提出了一条原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是：夹在两个平

行平面之间的几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等,

那么这两个几何体的体积相等.根据祖随原理，对于3。打印制造的零件，如果能找到另一个与其高

相等，并在所有等高处的水平截面的面积均相等的几何体，就可以通过计算几何体的体积得到打印

的零件的体积.现在要用3。打印技术制造一个高为2的零件，该零件的水平截面面积为S,随高度

分的变化而变化，变化的关系式为S（A）=^（4-A2）（0<A<2）,则该零件的体积为（）

44_8)-16乃c32万

A.—B.—C.——D.——

3333

9.若f(x)=2|sinx|cosx,则()

B.图像关于（

A.图像关于直线x=利称对称

J7171）上单调递增

C.最小正周期为乃D.在一"

10.己知定义在R上的偶函数/(x)在区间(-8,0)上递减.若a=/(207)力=/(-ln2),c=/(log32),

则a,b,c的大小关系为()

A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

11.函数〃"=48$（3+何（4>0,0>0,-万<8<0）的部分图象如图所示，为了得到

g(x)=Asing的图象，只需将函数y=〃x)的图象

A.向左平移1个单位长度B.向左平移二个单位长度

612

C.向右平移2个单位长度D.向右平移白个单位长度

612

12.如图，己知椭圆耳和双曲线与在x轴上具有相同的焦点F2,设双曲线4与椭圆片的上半

部分交于A,8两点，线段AK与双曲线当交于点C.若|A用=2忸用=可。用，则椭圆片的离心率

是()

二、填空题

13.近几年来移动支付越来越普遍，不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同.某学校兴趣小组

为了了解移动支付在大众中的熟知度，要对15—75岁的人群进行随机抽样调查，可供选择的抽样

方法有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，则最合适的抽样方法是.

14.已知向量工注满足|词=2,方=(2,2),S.\a+2b\=6,则|-+6|=.

15.已知关于x的不等式“V+法+c>O(a,"ceR)的解集为{x[3<x<4},则二炉的取值范围为

a+b

三、双空题

2"-。,无<1,

16.设函数〃x)=<

4(x-a)(x-2a),x>1.

①若4=1,则“X）的最小值为.

②若/（力恰有2个零点，则实数。的取值范围是.

四、解答题

17.在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,6,c,且2acos8-ccos8=Z?cosC.

（1）求角8的大小:

⑵若点〃为BC的中点、，且皿="求的值器的值

18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某城市自2020

年起全面推行家庭医生签约服务.已知该城市居民约为1000万，从0岁到100岁的居民年龄结构的

频率分布直方图如图1所示.为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18

周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示.

频率

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

年龄（单位：岁）

图1

图2

(1)估计该城市年龄在50岁以上且己签约家庭医生的居民人数；

(2)据统计，该城市被访者的签约率约为44%.为把该城市年满18周岁居民的签约率提高到55%

以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率？并根据已有数据陈述理由.

19.如图，在四棱锥P-ABCO中，底面ABCQ为菱形，其中=A£)=2,Nfi4L»=60。，点M

在线段PC上，且PM=2MC,N为的中点.

(1)求证：平面PN8；

(2)若平面皿)，平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.

20.已知函数/(x)=sinx-ae*T(awR).

⑴定义，(x)的导函数为"(x),/"x)的导函数为/⑵(x)……以此类推，若尸。叫o)=o,求实数

。的值；

(2)若aNLxNO,证明：/(x)<0.

21.已知抛物线。：9=20犬5>0),O是坐标原点，尸是C的焦点，M是C上一点，|人加卜4,

NOFM=120。.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)设点。(%,2)在C上，过。作两条互相垂直的直线QA,QB,分别交C于A,8两点(异于Q点).证

明：直线A3恒过定点.

x=1+V5cos0

22.在平面直角坐标系x。)，中，曲线M的参数方程为〈厂(〃为参数，9e[0,2幻，直

><=1+<5sin0

线4的参数方程为[='(，为参数，ae(0,5)),直线/2,4,垂足为。.以0为坐标原点，x

[y=tana-t2

轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)分别写出曲线M与直线4的极坐标方程；

(2)设直线4、分别与曲线〃交于A、C与8、。，顺次连接A、B、C、。四个点构成四边形ABCD,

求AB'+BC2+CD'+0At

23.已知函数〃X)=,+4+2,一1|.

(1)当a=2时，求不等式〃X)W4的解集；

(2)若上叩,2],使得不等式〃力>/成立，求实数。的取值范围.

参考答案：

1.D

【分析】解不等式4-9NO,xeZ可得集合A,由二次函数的值域可得集合B,再进行交集运算

即可求解.

【详解】由4-X2NO得：-2VxV2,因为xwZ,所以A={—2,-1,0,1,2},

由5={、»=/_1}得：B={y|y>-1},

所以AcB={-1,0,1,2},

故选：D.

2.C

【分析】将已知条件表示出z,在根据模长公式求解即可.

【详解】设z=a+Ai(a,0eR),则由(z+l+i)i=2+3i,得

(a+匕i+l+i)i=[(a+l)+(6+l)i]i=—(b+l)+(a+1)i=2+3i,由复数相等的充要条件，得

3'解得。=2,b=—3,故z=2—3i,所以目

故选:C.

3.A

【分析】求得算盘所表示的所有数，并找出对应的质数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件

的概率.

【详解】由题意可知，算盘所表示的数可能有：7、16、25、52、61、70,

21

其中是质数的有：7、61,故所求事件的概率为

63

故选：A.

【点睛】本题考查利用古典概型的概率公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础题.

4.B

【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断充分性和必要性得到答案.

【详解】两个不同的平面a，夕，直线相_L平面耳，

当时，皿<=。或"?||£，不充分；当"?||a时，aV/3,必要.

故选：B.

5.A

【解析】利用任意角的三角函数定义写出AB两点的坐标，再求向量数量积即可

【详解】由图可知A（cosa,sina）,B（cos/?,sin/?）

所以OA-OB=cosacos夕+sinasinP=cos（a-夕），

故选：A.

6.C

【解析】根据基本初等函数的性质，逐个判断函数的定义域和值域，即可得出结果.

【详解】①函数y=2x+3的定义域为R,值域也为R；即定义域和值域相同；

②函数的定义域为（3,0）5°，”），值域也为（F，0）5。，”）；即定义域和值域相同；

③指数函数y=2"的定义域为R,值域为（0,+8）,即定义域和值域不同；

④基函数y=x3的定义域为［0,”），值域也为［0,叱），即定义域和值域相同；

故选：C.

7.A

【解析】由面积公式可得c=3,由余弦定理可得："+/-2Z?ccosA=13,得〃=JR,再由正

弦定理可得答案

【详解】S=-hcsinA=>/3c=^,所以c=3,

2

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=13,得。=

又由正弦定理可得：三=名，所以sinB=^^4=2区,

sinAsinBa13

故选：A.

8.C

【分析】由5（3=万（4-/?）恰好与一个半径为2的半球在高为力的水平截面面积一致，由祖眶原理,

该零件的体积等于该半球的体积，从而可得答案.

【详解】由祖眶原理，该零件在高为/?的水平截面的面积为S（A）=%（4）s</,<2）.

而5（/7）="（4-川）恰好与一个半径为2的半球在高为〃的水平截面面积一致，

所以该零件的体积等于该半球的体积：/=?*23=粤

/J0

故选：C

9.B

【解析】分别取特值可判断ACD不正确，由/(%-%)=-/(工)可判断B正确.

【详解】对于A,由于f(-：TT)=2|sin由fTT)|cos(-Jfr)=l,/(3?7r)=2|sin哼|co3s4T=-l,

444444

所以图像不关于直线x=£对称，A错误；

4

对于B,由于/(^-%)=21sin(^--x)\COS(TT-x)=-21sinx|cosx=-f(x),

所以图像关于对称，正确；

对于c,f(-¥)=2|sin(-¥)|cos(-号)=-1,/(5=2|sin?cos'=l,

444444

所以乃不是函数“X)的周期；

对于D,〃-E)=i>o=/(o),所以/(X)在上不是单调递增.

4k44J

故选：B.

10.B

【分析】由/(X)是偶函数在(-8,0)上递减，故在(0,+8)上递增，然后比较仇C的自变量，进而判

断得结果.

【详解】因为〃x)定义在R上的偶函数在区间(-8,。)上递减，

所以在(0,+8)上递增，

07

«=/(2).b=/(-ln2)"(ln2),C=/(log32),

因为0<logs2<ln2<l<2°-7,/(x)在(0,+8)上递增,

所以f(log32)</(ln2)</(2°7),即c<b<a,

故选：B.

11.B

【详解】A=2=T,T=n,。=2,2><。+9=0，解得：S=，所以

g(x)=2sin2x=2cos2x---

根据平移原则，可知函数向左平移专个单位，故选B.

12.C

【分析】设1例1=2|%1=3|/|=6,可得|跖|-|%|=20=3,（。为则双曲线》的实半轴）,C£|=5,

又做2+AC?=GC?,AFtlAF2,则居|="+62=3石,即可求椭圆£的离心率.

【详解】解：如图，设|A^I=2|B5|=3|C入|=6,则|A£|=|8峰|=3,|AC|=4,

v|A月|=|8用=6,:\BFi\-\BF2\=2a=3,（a为则双曲线心的实半轴），

根据双曲线定义可得1%|-|"|=2〃=3,|C片|=5,

22

在△Af；C中，AF-+AC=F,C,AFtlAF2,

则|下耳|=J32+6?=3百,

则椭圆巴的离心率是=^=乎.

8耳+BF293

【解析】根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的特点进行判断即可.

【详解】不同年龄段的人对移动支付的熟知程度不同，故最合适的抽样方法是分层抽样.

故答案为：分层抽样

14.2G

【分析】根据5的坐标求出W，然后将卜+2同平方后求出4石=0,最后将卜+同平方即可求K+同.

【详解】因为很=（2,2）,所以忖=2夜，

|«+2^|=同2+4无5+4,|=4+4江-5+32=36,所以@出=0，

所以卜+5『=同2+26.5+时=4+0+8=12,卜+司=26.

故答案为：2G.

15.［4^,+oo)

【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，应用韦达定理把"c用〃表示，化待

求式为一元函数，再利用基本不等式得结论.

-2=3+4=7,

【详解】由不等式解集知由根与系数的关系知°

£=3x4=12,

：.b=Ta,c=12a,则=以4七5=_24a+—>2J(-24a)x—=4>/5,

a-\-b-6a-6aV-6a

当且仅当-24“=-1-,即°=_@时取等号.

-6a12

故答案为：［4逐,+8).

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必

须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等''是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值

就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方

16.-1［；,1)U12收)

【分析】①代入。=1,根据指数函数和二次函数单调性即可求最值；

②分0<2a<l,0<a<\<2af生1四种情况讨论#x)零点即可.

/、2'—l,x<1,

【详解】①。=1时，/x=〃1V-力

3

X<1时，y(jc)e(-l,0),X>1时，式刈次5)=—1,

的最小值为一1；

②好0时，2x-a>0,4(x—a)(x—2a)在这1时也为正，y(x)无零点；

故”>0,

令2"-4=0得，x=log2a,令4(x-a)(x-2a)=0得，x=a或2a,

当0<2aVl,即0<a<g时，加0不可能有两个零点，

当OV〃V1W2〃，即时，x=2a为零点,

V2'-a>0,故2、-。=0也有解，即x=log2。也为/U)零点，故於)有两个零点满足题意；

当定1时，或2〃均为/(%)的零点，故2*-。=0在x<l时无解，贝Ij21-。&0=佗2；

综上，〃w[g/)U【2,+8).

故答案为：-1；[1,1)U[2,-HX)).

TC2

17.(1)-；(2)1

【详解】分析：第一问利用正弦定理将题中的条件2acosB-ccos6=6cosC转化为2sin4cos8=

sinCcosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA,从而求得cosB=g,结合三角形内角的取值范围，求得

B=；,第二问利用余弦定理，得至ijAO2=pLq[+c2-2x与cosB=!a2+c2-《ac,将4)=力代

3(21242

入上式，整理得到q=3,结合正弦定理求得吗=q=3.

c3sinCc3

详解：(1)在AABC中，•/2«cosB-ccosB=bcosC

由正弦定理得2sin/lcosB=sinCcosB4-sinBcosC=sin(B+C)=sinA,

VAG(O,7T),.,.sin/1^0,则cos3=J,VBG(O,^),-B=~^

(2)在AAS。中，由余弦定理得A。？=仕〃]+c2-2x^cos^=\a2+c2-ac,

[2)242

在AABC中，由余弦定理得)2=+c2-2accosB=a2+c2-ac,

•/AD=b,a14-c2-ac=—ci2+c2-\cic,整理得。片二]〃。，=,

4242c3

由正弦定理得当=0=J

sinec3

点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意对正弦定理和余弦定理的正确使

用，建立关于边或角所满足的关系，在求角的过程中，得到cosB=g,在求角的时候，必须将角的

范围写上.

18.(1)195.99万；(2)应着重提高30-50这个年龄段的签约率，理由见解析.

【解析】(I)根据题中频率分布直方图与各年龄段被访者的签约率，分别计算50岁以上各年龄段

的居民人数，再求和，即可得出结果；

(2)根据题中条件，先确定年龄在18-30岁的人数，年龄在30-50岁的人数，以及年龄在50岁以

上的人数，即可确定结果.

【详解】(1)该城市年龄在50-60岁的签约人数为：1000x0.015xl0x55.7%=83.55万；

在60-70岁的签约人数为：1000x0.010xl0x61.7%=61.7万；

在70-80岁的签约人数为：1(XX)X0.004*10X70.0%=28万；

在80岁以上的签约人数为：1000x0.003xI0x75.8%=22.74万：

故该城市年龄在50岁以上且已签约家庭医生的居民人数为：83.55+61.7+28+22.74=195.99万；

(2)年龄在10-20岁的人数为：1000x0.005x10=507?；

年龄在20-30岁的人数为：1000x0.018x10=180万.

所以，年龄在18-30岁的人数大于180万，小于230万，签约率为30.3%；

年龄在30-50岁的人数为1000x0.037x10=370万，签约率为37.1%.

年龄在50岁以上的人数为：1000x0.032x10=320万，签约率超过55%,上升空间不大.

故由以上数据可知这个城市在30-50岁这个年龄段的人数为370万，基数较其他年龄段是最大的,

且签约率非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到以上，应着重提高30-50这个年

龄段的签约率.

19.(1)证明见解析

【分析】（1）证明耽人AD,8N_LA£）得到4?_L平面PNB.

32

（2）根据题意得到PN1BN,计算S邱K=|，V…=VM-PNR=-VJWB，计算得到答案.

（1）

VPA=PD,N为A力的中点，:.PN八AD,

•.,底面ABCQ为菱形，ZfiAD=60°,APA^AB,AN=AN,/PAN=/BAN,

:.&PNA叁岫NA,则8N_LA。，,:PN?BNN,，AT>_L平面PNB.

（2）

VPA^PD=AD=2,:*PN=NB=6

•••平面小£>!■平面ABC。，平面平面=PN八AD,

：.PNA平面ABCD,BNu平面ABCD,：.PNVBN,

''Sj>NB=/X石=

AD±平面PNB,AD//BC,：.BC±平面PNB,

22132

,PM=2MC,.•=%_川8=2=§.

20.(l)a=e

(2)证明见解析

【分析X1)利用列举归纳法，可得fM(x)的周期为4,则得/<2O2l,(x)=cosx-ae-,由/<202,,(0)=0,

即可求得。值；

(2)分析可得要证人处<0,只需证sinxvef再利用导数分别证得e「.x,x.sinx,即可证明结

论成立.

(1)

解：由题意得：f(>>(x)=cosx-aex~',/⑵(x)=-sinx-ae*-',

f(3)(x)=-cosx-aex~',/<4,(x)=sinx-ae'-1,/<5)(x)=cosx-ae'~'

的周期为4,

故y(202i>(X)=cosx-ae*-1.

V/<202l,(0)=cos0-ae-'=l--=0,

e

：.a=e.

(2)

证明：要证/(x)<0,即证sinxvaef

又a..l,则

故只需证sinx<e'i,

令g(x)=e*T-x,x.O,则g，(x)=e，-'-1,

在(0,1)上，g'3<0,g(x)单调递减，在(1,例)上，g'(x)>0,g(x)单调递增，

所以g(x)..g(D=0,所以e"-'..x,

令/?(x)=x-sinx,则〃(x)=l-cosx,0,

所以在(0,+8)上，〃(x)单调递增，

所以h(x)..〃(0)=0,所以*.sinx,

所以sin遇*e1,因为左右两边的不等号不能同时取到，

所以sinx<e*-',

所以f(x)<0,得证.

21.(I)y2=4x

(2)证明见解析

【分析】(1)由抛物线的方程可得焦点的坐标及准线方程，由1=4及抛物线的性质可得M的

横坐标，再由/的/=120。.可得M的纵坐标，将M的坐标代入抛物线的方程可得。的值，进而

求出抛物线的方程；

(2)由题意可得直线A3的斜率不为0,设直线A3的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之

积，求出数量积如切片的表达式，由数量积为0可得参数的关系，代入直线A3的方程可得直线恒

过定点.

(1)

解：由|EM|=4,NOFM=120。，可得M+2,±2G),

代入C:12=2p4+2)=p2+4p.

解得〃=2或〃=-6(舍)，

所以抛物线的方程为：/=4x.

(2)

解:由题意可得<2(1,2),直线48的斜率不为0,

设直线A8的方程为*=冲+篦,设&不乂),巩孙丫2)，

y2=4x

由〈，得丫2一4冲一4〃=0,从而A=16m2+16〃>0,

x=my+n

fy.+y9=4m

则4.

所以％+/=W(X+%)+2〃=4机2+2〃，

22

Xj%2=(，町+ti)(my2+ii)=ntyxy2+mn^yx+y2)+n=n,

^QAIQB,

UUL1LU

.•0.08=(%-1)(々_1)+3_2)(%_2)=0,

故可赴一(%+忍)+1+弘卫―2(乂+%)+4=0,

整理得A?一4加一6〃一8加+5=0.即(-3)2=40+1)2,

从而〃-3=2(机+1)或〃-3=-2(机+1),

即〃=2，"+5或"=-2m+1.

若〃=-2%+1,则》=冲+〃=冲-2加+1=«(丫-2)+1,过定点(1,2),与。点重合，不符合；

若〃=2m+5,则x=my+"=叼，+2，“+5=机()，+2)+5,过定点(5,—2).

综上，直线A8过异于。点的定点(5,-2).

jr-jr

22.⑴曲线M极坐标方程为夕2-20COS。-2Psin8=3,直线《的极坐标方程。=万+a且ae(03).

(2)40.

【分析】(1)首先将M、4化为普通方程，再应用公式法求曲线M