山东省济南2021-2022学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省济南二十中九年级（上）月考

数学试卷（10月份）

一.选择题（共20小题）

1.从左面观察如图所示的几何体，看到的平面图形是（）

【答案】B

【解析】

【分析】依据从该几何体的左面看到的图形，即可得到左视图.

【详解】解：由图可得，几何体的左视图是:

【点睛】本题主要考查了三视图，解题时注意：视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相

连的两个闭合线框常不在一个平面上.

2.在10倍放大镜下看到的三角形与原三角形相比，三角形的周长（）

A没有发生变化B.放大了10倍C.放大了30倍D.放大了100倍

【答案】B

【解析】

【分析】由10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10,根据相似三角形的性质，周长

比等于相似比.

【详解】解：•.•在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，相似比为10:1,

根据相似三角形的性质，三角形的周长比等于相似比，

...三角形的周长被放大了10倍.

故选择：B.

【点睛】本题考查相似三角形的性质在实际中的运用，掌握相似三角形的性质是解题关键.

3.A、B两地的实际距离AB=250米，如果画在地图上的距离A'B'=5厘米，那么地图上的距离与实际距离

的比为（）

A.1：500B.1：5000C.500：1D.5000：1

【答案】B

【解析】

【分析】地图上距离与实际距离的比就是在地图上的距离4B'与实际距离AB的比值.

【详解】解：：250米=25000cm,

AB:AB^5：25000=1：5000.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一.

4.一个几何体由大小相同的小立方块搭成，它的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置小

立方块的个数，则该几何体的左视图为（）

【答案】A

【解析】

【分析】从左面看，注意“长对正，宽相等、高平齐“，根据所放置的小立方体的个数判断出左视图图形即

可.

【详解】解：从左面看所得到的图形三列，最左边这列有2个小正方形，中间列有4个小正方形，最右边

列有3个小正方形，

从左面看所得到的图形为A选项中的图形.

故选：A.

【点睛】本题考查几何体的三视图的知识，从正面看的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上

面看到的图象是俯视图.掌握以上知识是解题的关键.

5.一个多边形的边长为2,3,4,5,6,另一个和它相似的多边形的最长边为24,则这个多边形的最短边

长为()

A.6B.8C.12D.10

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】解：设这个多边形的最短边是X,

•••两个多边形相似，

.624

・・一，

2x

解得：x=8.

故选：B.

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键.

6.一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为

()

营三el

主视图左视图

俯视图

A.10B.12C.14D.18

【答案】B

【解析】

【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解

答该题.

【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子.主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，

而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，

故选：B.

【点睛】本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用.

7.如图，已知△")石和△ABC的相似比是1:2,且△")石的面积是1,则四边形。3CE的面积是

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△A8C的面积，进而可得答案.

【详解】：△ADE和AABC的相似比是1:2,AAZ)上的面积是1，

1_

4

・・・△")石的面积是1，

SAABC=4,

••S叫边杉OBCE=S/、ABC"SAAO£=3,

故选：B

【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题

关键.

8.如图，已知△OCC与△OAB是以点。为位似中心的位似图形，若C(1,2),D(3,0),B(9,0),

则点A的坐标为()

6)C.(3,5)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】根据位似变换的性质得到VOCD:VQ43,根据相似三角形的性质求出点A的坐标，得到答

案.

【详解】解：：△08与AOAB是以点。为位似中心的位似图形,

J.NOCD-.NOAB,

•••点。与点3点的坐标分别是：（3,0）,（9,0）

.♦.△OCD与△0A8的相似比为1：3,

:点C的坐标为（1,2）,

.•.点A的坐标为（3,6）,

故选：B.

【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的性质是解题的关键.

ahc

9.如果三角形的三边长a,b,c满足一二一=一，且三角形的周长为33cm,那么小Ac的值为

245

（）

A.8cm>10cm>15cmB.5cm^12cm>16cm

C.5cm>10.5cm>15cmD.6cm>12cm^15cm

【答案】D

【解析】

cihc

【分析】设一二—=—=%,可得小b,c,再由三角形的周长为33cm,即可列式求解

245

【详解】解：没'=?=3=k,

245

则a=2Z,〃=4Z:,c=5Z,

•・•三角形的周长为33cm,

2左+4Z+5攵=33,

:•k=3,

。=6,〃=12,c=15,

即三角形的三边长a,b,c的值为6cm、12cm>15cm.

故选：D.

【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据比例表示出mhfc.

10.如图，小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（）

B

AC

【答案】B

【解析】

【分析】设小正方形的边长为1,根据勾股定理求出已知AABC三边的长，同理可求出选项中各阴影三角

形的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案.

【详解】解：；小正方形的边长均为1

•••利用勾股定理可得：AB=J『+32=Vi5,cfi=Vir71r=V2.

根据网格图形可知AC=2,

.••△ABC三边分别为2,、石，回

同理:

A项中阴影三角形各边的长分别为：V5.1.272；

B项中阴影三角形各边长分别：夜，1,、6；

C项中阴影三角形各边长分别为：3、6,不；

D项中阴影三角形各边长分别为：2,亚,V13;

•.•只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为近，

故选：B.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，还考查了勾股定理与网格图形的知识.掌握相似三角形的判定

定理是解题的关键.

11.如图，在AABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①NACP=/B；②

ZAPC=ZACBi@AC2^APAB；@ABCP^APCB,不熊制定AAPC与AAC6相似的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】D

【解析】

【分析】根据相似三角形的判定方法解题：A4,S45,SSS对应角相等，对应边成比例，据此解题.

【详解】解：①在A4PC与AACB中,

ZACP=NB,ZA=ZA，

.-.AAPC-MCB(A4)

正确，故①不符合题意；

②在AAPC与AACB中，

ZAPC=ZACB,NA=NA，

.•.AAPC〜MCB(A4)

正确，故②不符合题意；

③在AAPC与AACB中，

AC2=APAB

APAC

即an——=

AC~AB

又•.•NA=NA

AAPC〜AACB(SAS)

正确，故③不符合题意；

④在AAPC与A4C8中，NA=NA

ABCP=APCB

„ABCB

即n——=——，

APCP

不符合相似三角形判定法则，错误，故④符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

12.如图，已知△ABC,则下列4个三角形中，与AABC相似的是()

【答案】c

【解析】

【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题

干中的三角形的度数相比较即可得出答案.

【详解】•.•由图可知，AB=AC=6,ZB=75°,

；./C=75°,NA=30°,

A选项中三角形各角的度数分别为75°,52.5°,52.5°,

B选项中三角形各角的度数都是60°,

C选项中三角形各角的度数分别为75°,30°,75°,

D选项中三角形各角的度数分别为40°,70°,70°,

只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，

故选：C.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大.

BD1

13.如图，在AABC中，。是BC上一点，连接AO,——=-，/是AO的中点，连接班1并延长交AC于

CD3

点E,则二的值为（）

【答案】B

【解析】

【分析】做力G〃BE,交AC于点G,得至IJAE=EG,空=空=1，问题得解.

CDCG3

【详解】解：如图，做OG〃BE,交AC于点G,

为A。中点，

：.AF=DF,

：.AE=EG,

BD1

——=一，DG//BE,

CD3

.BDEGJ

••而一而一3'

AE1

——=-.

EC4

故选：B

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理，正确添加辅助线是解题关

键.

14.如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子,然后向后退，直到他刚好在镜子

中看到旗杆的顶部.若眼睛距离地面45=1.5m,同时量得5c=2m,CD=12m,则旗杆高度DE=

()

E

.___________________L

BC口

A.6mB.8mC.9mD.16m

【答案】C

【解析】

【分析】根据镜面反射的性质可得AABCSAEDC,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.

【详解】解：•.AB_L3D,DE上BD,

ZABC=ZEDC=90°,

又；ZACB=NDCE,

:.AABCS^EDC,

.ABBC

,•=,

DECD

.1.52

••二,

DE12

:.DE=9（加），

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用.应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形

对应边成比例即可解答.

15.如图，某测量工作人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度.测量人员眼睛处点A与

标杆顶端处点F,旗杆顶端处点E在同一直线上，点B,C,D也在同一条直线上.己知此人眼睛到地面距

离AB=1.6米，标杆高FC=3.2米，且3c=1米，8=5米，则旗杆的高度为（）

A.8.4米B.9.6米C.11.2米D.12.4米

【答案】C

【解析】

【分析】作AHLED交FC于点G,把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应边成比例列

出方程，解方程即可.

【详解】解：作47LED交FC于点G,如图所示：

E

BD

FC上BD,EDA.BD，A/7J_ED交FC于点G,

：.FG//EH,

\AH±ED,BD±ED，ABVBC，EDVBC,

四边形ABDH、ABCG是矩形，

:.AH=BD，AG^BC,

AB=1.6,FC=3.2,BC=\,CD=5,

.•.FG=3.2-1.6=1.6,BD=\+5=6,

QFG//EH,

FGAG1.61

…丽一石‘而一％

解得：EH=9.6,

££）=96+1.6=11.2（加）

答：旗杆的高ED是11.2米，

故选：C.

【点睛】本题考查了相似三角形的应用；通过构造相似三角形.利用相似三角形对应边成比例是解决问题

的关键.

16.如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案，其中。为位似中心，且。4=20。，若图案中鱼

身（△ABC）的面积为S,则鱼尾（ADEF）的面积为（）

A.VSB.而

D.一S

42

【答案】C

【解析】

【分析】根据三角形的位似比等于相似比，再根据相似三角形的性质，即可求解.

【详解】解：:△ABC与△£>£：/是位似三角形，04=20，

.•.△ABC与的相似比为2：1,

「△ABC的面积为S,

.•.△QEF的面积为‘S,

4

故选C.

【点睛】本题主要考查位似三角形，熟练掌握三角形的位似比等于相似比以及相似三角形的面积比等于相

似比的平方，是解题的关键.

17.如图，4民。。相交于点后，且AC〃E尸〃D3,点在同一条直线上.已知

AC=P,M=r,O5=g,则p,%r之间满足的数量关系式是（）

111112111112

A.—+—=B.——+—=一C.-D.—+—=

rqpprqpqrqrp

【答案】c

【解析】

—-EFBFEFCF心

【分析】由题意易得KEF。*CDB，则有---=----，-----=-----，然

ACBCBDBC

EFEF,

—+—=1,进而问题可求解.

【详解】解：：ACHEF//DB,

△BEFsaBAC,ACEFSACDB,

.EFBFEFCF

"AC-BC,而一正’

EFEFBFCF,

----1----=----1-----1,

ACBDBCBC

AC=P,EF=r,DB=q,

rr.111

/,—1--=1,即一+—=一

pqpqr

故选c.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键.

18.如图，在AABC中，NACB=90°，A3=2，延长到点。，使BD=3CD,若E是AC的中

点，则OE的长为（）

B.V2

【答案】D

【解析】

【分析】根据题设已知线段的长度，判断△ABCSAEDC,利用相似比即可求得.

【详解】VZACB=90°,

/.ZECD=90°,

E是AC的中点，

AC=2CE.

-：BD=3CD,

：.BC=2CD,

.ACBC

••==2,

CECD

:・AABCS^EDC,

：.DE=-AB=\.

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明△ABCS^EDC是解题的关键.

19.如图，在平行四边形ABC。中，尸是AO上一点，且A尸=2ED，连结正并延长交8的延长线

于点G,则的值为（）

EG

【答案】C

【解析】

【分析】先根据平行四边形的性质得到AB〃cn,则可判断△ABFS/XOGF,于是根据相似三角形的性质

AQAP4D7

得-~■=•一-=2,然后得到AB=8=2£)GCG=3DG,则一-=再判断△ABEsaCGE,则

DGDFCG3

npAR

—,即可得到答案.

EGCG

【详解】解：根据题意，

西边形A8CO是平行四边形,

J.AB//CD,

RABFsXDGF,

ABAF

••--------------2n,

DGDF

：.AB=CD=2DG，

CG=CD+DG=3DG,

,AB_2

*'CG-3'

,JAB//CD,

AABE^ACGE,

.BEAB_2

EG-CG-3：

故选：C.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的

判定和性质进行解题.

20.如图，在AABC中，BC=120,高AD=6(),正方形一边在3c上，点£/分别在

AB,AC±,A£＞交EF于点N,则AN的长为()

A.15B.20C.25D.3()

【答案】B

【解析】

【分析】证明△AEFs^ABC,根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得.

【详解】解：；四边形EFGH是正方形，

EF〃BC,

.,.△AEF^AABC,

.EF_AN

设AN=x,则EF=FG=DN=60-x,

.60-x_x

120-60

解得：x=20

所以,AN=20.

故选：B.

【点睛】本题考查了正方形以及相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键.

二.填空题(共10小题)

21.若线段a,h,c,d成比例，其中a=3cm,h=6cm,c=4cm,则kcm.

【答案】8

【解析】

【分析】根据成比例线段的概念，得b=c：d.再根据比例的基本性质，求得d的值.

【详解】解：•••四条线段a、b、c、d成比例，

a:b=c:d,

Va=3cm,b=6cm,c=4cm,

3：6=4：d,

解得:d=8cm.

故答案为：8.

【点睛】本题考查了比例线段的定义，注意根据已知条件写比例式的时候，一定要注意顺序.然后根据比

例的基本性质进行求解.

22.在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm变成3cm,则

这次复印出来的图案的面积是cn?.

【答案】18

【解析】

【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比

的平方求解即可.

【详解】解：•••在一张由复印机通过放大复印出来纸上，一个面积为2cm2图案的一条边由原来的1cm

变成3cm,

相似比=1：3,

工面积比=(1：3)2=1：9,

这次复印出来的图案的面积=2x9=18(cm2).

故答案是：18.

【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键.

Ap

23.如图，在△ABC中，点E在上，且BE=3EC.。是AC的中点，AE,BD交于点、F,则——的值为

EF

4

【答案】一

3

【解析】

EH3

【分析】过E点作交80于点从根据平行线分线段成比例定理，由得到J=及,

CD4

FH3AF

由于AQ=C。，则父=巳，然后利用平行线分线段成比例定理得到黑的值.

AD4EF

【详解】过E点作EH〃AC交8。于点儿如图:

A

EH//AC,

.EHBE

"~CD~~BC'

,:BE=3EC,

.EH3CE3

"CD-4CE-4(

•.•。为AC的中点，

：.AD=CD,

.EHEH3

••布一茄一屋

,/EH//AD,

.AFAD_4

4

故答案为一.

3

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

24.一个偌大的舞台，当主持人站在黄金分割点处时，不仅看起开美观，而且音响效果也非常好，若舞台

的长度为8米，那么，主持人到较近的一侧应为米.

【答案】12-4石

【解析】

【分析】根据黄金比为止二1进行计算，即可得到答案.

2

【详解】如图,

ACR

设舞台AB的长度为8米，C是黄金分割点，AOBC,

则AC=避二1

AB=4(75-1)米,

2

，BC=AB-AC=8-4(^5-1)=12-4石米,

故答案为12-475.

【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段

的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值0.618叫做黄金比.

25.如图，AABC是测量小玻璃管内径的量具，AB的长为18cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口。E

正好对着量具上20等份处（£>、E分别在AC、BC上，且OE〃/18）,那么小玻璃管内径OE是cm.

_]-----1----1-----Lx---1------a

6050403020100

【答案】12

【解析】

【分析】利用平行证明△CDEs/sCAB,根据相似三角形对应边成比例的性质即可求。E长.

【详解】'.'DE//AB,

：./\CDE^/\CAB,

.CDDEHn（60-20）DE

..----=----,即--------L=-----

CAAB6018

解得：DE=12cm

故答案为：12

【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定及其性质：相似

三角形对应边成比例.

26.如图，在矩形ABC。中，AD>AB,AB=2.点E在矩形ABC。的边BC上，连结AE,将矩形4BC。

沿AE翻折，翻折后的点8落在边4。上的点尸处，得到矩形COFE.若矩形COFE与原矩形48CC相

似，则4。的长为_.

【解析】

【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可.

【详解】•/矩形COFEs矩形ADCB,

CDDF口“2AD-2

：.一=——,即一=------,

ADCDAD2

整理得，AD--2AD-4=0,

解得,AD\=1-5/5（舍去），AD2—1+^/5，

故答案为：1+石.

【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键.

27.在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度.如图，数学小组发现大树离教学楼有5m,

高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m,此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的

墙上，墙上的影子离为2m,那么这棵大树高m.

bBl

【答案】9

【解析】

【分析】根据同一时刻影长与物高成比例，先求出CE,再求AB即可.

【详解】解：延长AD交BC延长线于E,

根据同一时刻影长与物高成比例可得CE：CD=1：1.4,

VCD=2m,

10

CE=­m,

7

.1045

..BE=BC+CE=5H——m,

77

ABE：AB=1:1.4,

；.AB=9m.

故答案为：9.

A

【点睛】本题考查平行投影问题，掌握平行摄影的原理是同一时刻影长与物高成比例是解题关键.

28.如图，小明在A时测得某树的影长为1.5m,B时又测得该树的影长为6m,若两次日照的光线互相垂

【答案】3

【解析】

【分析】根据题意画出示意图，根据相似三角形的性质求解即可;

【详解】根据题意做出示意图，则COLEF,EC1CF,DE=1.5m,DF=6m，

CDLEF,

•••乙EDC=ACDF=90°，

NE+NECO=90。，

V乙ECD+4DCF=90°,

NE=ZDCF,

:,4EDC〜△OF，

.EDDC

''~DC=~FD

,DC2=ED・FD=9，

•«DC=3/77»

即树的高度为3m.

故答案是3.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用和平行投影的知识点，准确分析计算是解题的关键.

29.如图，在平直角坐标系中，AABO的顶点都在坐标轴上，04=4.若ACQ。是以原点。为位似中

心，AA5O的位似图形（C为点A的对应点），且△CZ）O与AABO相似比为则点C的坐标为

【答案】（2,0）或（一2,0）

【解析】

OC1

【分析】根据位似图形的性质，可得到一-=从而得到OC=2，即可求出点C的坐标.

OA2

【详解】解：•••AC。。是以原点O为位似中心，AABO的位似图形（C为点A的对应点）,

.•.点C在X轴上，

KDO与AABO相似比为g,

.OC1

••--=一，

OA2

■:OA—4，

***OC=2，

.♦.点C的坐标为（2,0）或（一2,0）.

故答案为：（2,0）或（一2,0）.

【点睛】本题主要考查了位似图形与坐标，熟练掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似

中心，相似比为鼠那么位似图形对应点的坐标的比等于％或一k是解题的关键.

30.如图，ABLBD，CDLBD,AB=6,CD=4,BD=14.点P在BD上移动，当以P,C,。为顶点的

三角形与4ABP相似时，则尸3的长为.

［答案］8.4或2或12

【解析】

【分析】分两种情况：AA3P〜△PDC和ZVLBP〜△CDP,然后分别利用相似三角形的性质即可得出

答案.

【详解】若AABP~APDC,

.ABPD

••一9

BPCD

设BP=x,

AB=6,CO=4,BD=14,

614—x

二—=-----,

x4

解得玉=2,^2=12；

若AABP〜ACDP,

.ABCD

••=,

BPPD

设3P=x，

AB=6,CD=4,BD=14,

•6_4

x14-x'

解得x=8.4,

综上所述，BP的长度为8.4或2或12,

故答案为：8.4或2或12.

【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质并分情况讨论是解题的关键.

三.解答题（共5小题）

31.如图，每一个小方格正方形的边长均为一个单位长度，AABC的顶点的坐标分别为A（-2,-2）,B

（-5,-4）,C（­1»-5）.

（1）请在网格中画出AABC关于原点。的中心对称图形AA/CI.

（2）以点0为位似中心，位似比为2:1,将A4BC放大得到A42&C2,请在网格中画出AA2&C2（不要

超出方格区域）.

（3）求AAJ?2c2的面积.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）22

【解析】

【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征分别找到点A、B、C的对称点％、G，然后顺次连

接4、4、G即可；

（2）把A、B、C的横纵坐标都乘以-2得到%、&、Q的坐标，然后顺次连接为、约、即可；

（3）利用△人生6所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解.

【详解】解：（I）如图，△AMG为所作；

（2）如图，△A282c2为所作;

【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比

为女,那么位似图形对应点的坐标的比等于%或一左.也考查了中心对称.

32.如图，在△aB中，点C、。在A3上，PC=PD=CD,ZA^ZBPD,求证：&APCs»BPD.

【解析】

【分析】根据PC=PO=C£>,可得出△「口>为等边三角形，即可得出NPCD=NPDC,进而得出

ZACP=APDB,再根据相似三角形的判定推出即可.

【详解】证明：；PC=PQ=CQ,

；..PCD为等边三角形,

：.ZPCD=ZPDC=60°,

：.ZACP=NPDC=12。。,

NA=NBPD,

△APCs^PBD.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两

个角分别对应相等，那么这两个三角形相似.

33.如图，尸为平行四边形ABC。的边A3的延长线上的一点，BF分别交于C。、AC于G、E,若

EF=32,GE=8,求BE.

【答案】16.

【解析】

【分析】利用平行四边形的性质得出△AFESACBE,4DFGS丛CBG,再利用相似三角形的性质即可解

答.

【详解】解：设8E=x,

V£F=32,GE=8,

FG=32-8=24,

••平行四边形ABC。

,.AD//BC,

△AFEsACBE,

EFAF

商一正'

32DF+ADDF「

KiJ—==——+1①

xBCBC

DG//AB,

ADFGs^CBG,

DFFG

BCBG

DF24小、

——=——代入①

BC8+x

%=二+1,

x8+x

解得：x=±16（负数舍去）,

故BE=16.

G

DC

E

【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出

△AFE^/\CBE,ADFGs4CBG是解题关键.

34.如图，在RtZ\ABC中，/C=90。，AC=20cm,BC=15cm,现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向

运动，动点Q从点C出发，沿CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，

它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动.设运动时间为t秒.求：

(1)当t=3秒时，这时，P,Q两点之间的距离是多少？

(2)若4CPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式.

(3)当t为多少秒时，以点C,P,Q为顶点的三角形与aABC相似？

【解析】

【分析】(I)在Rtz^CPQ中，当t=3秒，可知CP、CQ的长，运用勾股定理可将PQ的长求出；

(2)由点P,点Q的运动速度和运动时间，又知AC,BC的长，可将CP、CQ用含t的表达式求出，代入

直角三角形面积公式S“CPQ=：CPXCQ求解；

CPco

(3)应分两种情况：当RtZ\CPQsRdCAB时，根据一,可将时间t求出；当RdCPQsRt^CBA

CACB

时，根据乌=孚，可求出时间t.

CBCA

【详解】由题意得AP=4t,CQ=2t,则CP=20-4t,

(1)当t=3秒时,CP=20-4t=8cm,CQ=2t=6cm,

由勾股定理得PQ=yjcP2+CQ2=^82+62=