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文档简介
应用探索例
(2019湖南长郡中学第五次月考,11)已知P是边长为3的等边三角形
ABC外接圆上的动点,则|
+
+2
|的最大值是
()A.2
B.3
C.4
D.5
解题导引思路一:设外接圆的圆心为O,则
+
+2
=
+
+
+
+2(
+
)=4
+
+
+2
,正三角形外接圆的圆心为O(亦为三角形的重心),则
+
+
=0,从而把所求转化为求4
+
模的最大值;思路二:可以考虑以△ABC外接圆的圆心为原点,OA所在直线为y轴,过
O与OA垂直的直线为x轴建立坐标系,设P(
cosθ,
sinθ),以θ为参量,转化为求三角函数最值问题.解析解法一:设△ABC的外接圆的圆心为O.由正弦定理得圆的半径为R
=
×
=
.由正三角形外接圆的圆心也是其重心得
+
+
=0,故
+
+2
=4
+
.|4
+
|≤|4
|+|
|=5R=5
,当且仅当
与
同向,即PC为圆O的直径时,取得最大值5
.解法二:设O为△ABC外接圆的圆心,以O为原点,OA所在直线为y轴,过O与
OA垂直的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
连接OB,OC.易知|
|=|
|=|
|=
,∴A(0,
),B
,C
,设P(
cosθ,
sinθ)(0≤θ<2π).则
=(-
cosθ,
-
sinθ),
=
,
=
,∴
+
+2
=
,∴|
+
+2
|=
=
=
≤5
,当sin
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