高考数学一轮复习专题七平面向量1平面向量的概念线性运算及基本定理专题检测含解析新人教A版

PAGEPAGE8平面向量的概念、线性运算及基本定理专题检测1.向量a=(2,-9),b=(-3,3),则与a-b同向的单位向量为 ()A.513,-12C.1213,-5答案A∵向量a=(2,-9),b=(-3,3),∴a-b=(5,-12),设与a-b同向的单位向量为e=(x,y),则a-b=λe(λ>0),|e|=1,∴x=5λ,y=-12λ,x2+y2=1,解得λ=13,x=513,y=-122.(2017河北石家庄二中月考,7)M是△ABC所在平面内一点,23MB+MA+MC=0,D为AC的中点,则|MD|A.12B.13C.1答案B连接MD.因为23MB+MA+MC=0,D为AC所以-23MB=MA+MC=2MD,所以MD=-故M在中线BD上,且为靠近D的一个四等分点,故|MD||3.(2018辽宁丹东五校协作体联考,8)P是△ABC所在平面上的一点,满足PA+PB+PC=2AB,若S△ABC=6,则△PAB的面积为()A.2B.3C.4D.8答案A∵PA+PB+PC=2AB=2(PB-PA),∴3PA=PB-PC=CB,∴PA∥CB,且方向相同.∴S△ABCS△PAB=BCAP=|CB||PA|4.(2019广西名校高三联考,9)在△ABC中,点F为AB边上靠近点A的三等分点,点E为AC边上靠近点A的三等分点,BE与CF相交于点O,则AO= ()A.14AB+13ACC.13AB+13AC答案D连接EF,由AB=3AF,AC=3AE可得EF∥BC,且BC=3EF,由△EOF∽△BOC,得OEOB=EFBC,则BO=3OE,故有BO=3则AO-AB=3(AE-AO),即AO=14AB+34AE=5.(2018四川成都三诊,6)已知O为△ABC内一点,且AO=12(OB+OC),AD=tAC,若B,O,D三点共线,则t的值为 (A.14B.13C.12答案B以OB,OC为邻边作平行四边形OBFC,连接OF,与BC相交于点E,则E为BC的中点.∵AO=12(OB+OC∴OB+OC=2AO=2OE,∴点O是线段AE的中点.∵AD=tAC,B,O,D三点共线,∴点D是BO与AC的交点.过点O作OM∥BC交AC于点M,则点M为AC的中点,∴OM=12EC=14BC,DMDC∴DM=13MC∴AD=23AM=13∴t=136.(2018安徽淮南一模,8)已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且AM=xAB,AN=yAC(x,y>0),则3x+y的最小值是 ()A.83B.43+233C.答案B设BC的中点为D,则AG=23AD=13AB+13∵M,G,N三点共线,∴13x+1又x>0,y>0,∴3x+y=(3x+y)13x+13y=43+y3x+x当且仅当y3x=xy,即x=13∴3x+y的最小值是43+2337.(2018海南海口模拟,10)点O为△ABC内一点,且存在正数λ1,λ2,λ3使λ1OA+λ2OB+λ3OC=0,设△AOB,△AOC的面积分别为S1,S2,则S1∶S2= ()A.λ1∶λ2B.λ2∶λ3C.λ3∶λ2D.λ2∶λ1答案C取λ1=16,λ2=13,λ3=∵λ1OA+λ2OB+λ3OC=0,∴16OA+13∴OA+2OB+3OC=0,设2OB=OB1,3OC=OC则O是三角形AB1C1的重心,故三角形AOB1和三角形AOC1的面积相等,又S△AOB=12S△AOB1,S△AOC=13S△AOC1,∴△AOB与△AOC的面积之比是12∶1思路分析利用特值法和数形结合的方法求解.疑难突破抓住三角形重心O的几何意义,并灵活利用数形结合是突破难点的关键.8.(2018湖南湘东五校4月联考,15)在正方形ABCD中,M,N分别是BC,CD的中点,若AC=λAM+μAN,则实数λ+μ=.

答案4解析如图,∵AM=AB+BM=AB+12BC=DC+AN=AD+DN=BC+12由①②得BC=43AN-23AM,DC=∴AC=AB+BC=DC+BC=43AM-23AN+43AN-又∵AC=λAM+μAN,∴λ=23,μ=23,∴λ+μ=9.(2018中原名校9月联考,15)如图,在△ABC中,点M是BC的中点,N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,则|AP||答案4解析设AB=a,AC=b,BP=μBN,∵A、P、M共线,∴存在唯一实数λ,使得AP=λAM.又M为BC的中点,∴AM=12(AB+AC)=12(a+b∴AP=12λ(a+b)又AP=AB+BP=AB+μBN=AB+μ(AN-AB)=AB+μ23AC-AB=(1-μ)根据平面向量基本定理得1-μ=12λ,23∴AP=45AM,PM=∴|AP|∶|PM|=4∶1,即|AP|思路分析选{AB,AC}为一组基底,设AB=a,AC=b,BP=μBN,由A,P,M共线得AP=12λ(a+b),同理得AP=(1-μ)a+23μb,利用平面向量基本定理构造λ,μ的方程组,求得λ与μ的值,从而得出|10.(2018福建福州二模,16)如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,若BD=xBA+yBC(x,y∈R),则x-y的值为.

答案-1解析如图,延长DC,AB,交于点E,因为∠DCA=2∠BAC,所以∠BAC=∠CEA.又∠ABC=90°,所以BA=-BE.因为BD=xBA+yBC,所以BD=-xBE+yBC.因为C,D,E三点共线,所以-x+y=1,即x-y=-1.思路分析根据∠ABC=90°,∠DCA=2∠BAC,可延长DC,AB,交于点E,把BA转化为-BE,再利用C、D、E三点共线求解.解题关键作出适当的辅助线,将问题转化为三点共线的问题进行求解.规律总结已知OC=xOA+yOB,若A,B,C三点共线,则x+y=1;反之亦成立.11.(2016甘肃天水校级期中)已知O是△ABC的外心,且AB=5,AC=8,存在非零实数x,y,使AO=xAB+yAC,且x+2y=1,则cos∠BAC=.

答案4解析如图所示,取AC的中点D,则AC=2AD,∴AO=xAB+2yAD,∵x+2y=1,∴O,D,B三点共线,连接BO.∵O是△ABC的外心,∴OD⊥AC,∴BD⊥AC,且D为AC的中点,在Rt△ABD中,AB=5,AD=4,∴cos∠BAC=cos∠BAD=45解后反思考查三角形外心的定义,三点共线的充要条件,向量数乘的几何意义,以及三角函数的定义.可作出图形,并取AC的中点D,由AO=xAB+2yAD,x+2y=1,得出O,D,B三点共线是解题关键.12.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),12)已知平行四边形ABCD,|AB|=2|AD|=2,且AB·AD=1,AE=EB,DF=2FC,则AF·DE=;若DE和AF交于点M,且AM=xAB+yAD,则x+y=.

答案16;解析AF·DE=(AD+DF)·(AE-AD)=AD+23AB·12AB-AD=13|AB|2-|AD|2-16AD·AB=16.AF=23AB+AD,设AF=1λAM,则AM=2λ3AB+λAD,mAE+(1-m)AD=AM=13.(2017河北百校联盟4月联考,14)已知在△ABC中,点D满足2BD+CD=0,过点D的直线l与直线AB,AC分别交于点M,N,AM=λAB,AN=μAC.若λ>0,μ>0,则λ+μ的最小值为.

答案3+2解析连接AD.因为2BD+CD=0,所以BD=13BC,AD=AB+BD=AB+13BC=AB+13(AC-AB)=23AB+13AC.因为D、M、N三点共线,所以存在x∈R,使AD=xAM+(1-x)AN,则AD=xλAB+(1-x)μAC,所以xλAB+(1-x)μAC=23AB+13AC,根据平面向量基本定理,得xλ=23,(1-x)μ=13,所以x=23λ,1-x=13μ,所以23λ+13μ=1,所以λ+μ=13(思路分析利用2BD+CD=0及向量的线性运算可得AD=23AB+13AC,然后利用D、M、N三点共线再次得到AD的表达式,从而利用平面向量基本定理得出λ与μ的关系,最后利用基本不等式求出λ方法归纳如果a,b不共线,那么“λ1a+μ1b=λ2a+μ2b”的充要条件为“λ1=λ2且μ1=μ2”,我们常用这个结论得出不含向量的方程组.14.(2018河南许昌、平顶山两市联考,21)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,M为平面上任意一点,A,B,C三点满足MC=13MA+(1)求证:A,B,C三点共线,并求|BA|(2)已知A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,x∈(0,π),且函数f(x)=OA·OM+2m-23解析(1)∵MC=13MA+∴MC-MB=13(MA-MB∴BC=13BA.又∵BC,BA有公共点∴A,B,C三点共线.∵BC=13BA,∴|(2)∵A(1,sinx),B(1+sinx,sinx),M1+23sinx,sinx,O(0,0),∴OA∴OA·OM=1+23sinx+sin2x,又AB=(sinx,0),x∈(0,π),∴|AB|=sinx∴f(x)=OA·OM+