中考数学专项训练-三角形的面积

中考数学专项训练——三角形的面积一、综合题1．如图，在中，，，DE是BC的垂直平分线，交BC于点D，交AB于点E，于F．（1）若．①求AF的长；②求AE的长；（2）若，求证：为直角三角形．2．如图所示，已知二次函数经过点B（3，0），C（0，3），D（4，-5）（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）若P是抛物线上一点，且S△ABP=S△ABC，这样的点P有几个请直接写出它们的坐标．3．在中，（1）如图①，已知，求的长；（2）如图②，，垂足为点，已知，求的长．4．如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合，若长方形的长BC为8，宽AB为4，求：（1）求EG的长．（2）求△GED的面积．5．如图，长方形ABCD的边长分别为AB=12cm，AD=8cm，点P、Q从点A出发，P沿线段AB运动，点Q沿线段AD运动（其中一点停止运动，另一点也随着停止），设AP=AQ=xcm在这个变化过程中，图中阴影部分的面积y(cm2)也随之变化.（1）写出y与x的关系式（2）当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y是如何变化的？请说明理由6．如图所示，AB＝AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于E，D，连接ED，BE.（1）试判断DE与BD是否相等，并说明理由；（2）如果BC＝6，AB＝5，求BE的长.7．已知直线与直线交于点．（1）求的坐标；（2）若直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的面积．8．如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，.（1）在平面直角坐标系中画出，并求出的面积；（2）在（1）的条件下，把先关于y轴对称得到，再向下平移3个单位得到，则中的坐标分别为(，)，(，)，(，)；（直接写出坐标）（3）已知为轴上一点，若的面积为4，求点的坐标.9．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上连接AB,AB的长为a，其中a是不等式的最大整数解（1）求AB的长（2）动点P以每秒2个单位长度的速度在AB上从A点向B点运动，设B[的长度为d，运动时间为t，请用含t的式子表示d；（3）如图2，在（2）的条件的下，BD平分交y轴于点D，点E在AB上，点G在BD上，连接，且，点E与点G的纵坐标的差为2，连接OP并还延长交过B点且与x轴垂直的直线于M，当t为何值时，，并求的值．10．如图1，在中，，，点、分别在边、上，，连结，点、、分别为、、的中点.（1）观察猜想图1中，线段与的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连结、、，判断的形状，并说明理由；（3）拓展延伸把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.11．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点(与点A、D不重合)，∠EBM=45°，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G、交CD于点M．（1）如图1，联结BD，求证：，并写出的值；（2）联结EG，如图2，若设，求y关于的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当M为边DC的三等分点时，求的面积．12．已知：点在反比例函数的图像上，正比例函数的图象经过点和点．（1）求点的坐标；（2）求正比例函数的解析式和点的坐标；（3）在轴上求一点，使的面积等于．13．如图，直线l1的解析表达式为：y＝﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．（1）求点D的坐标；（2）求直线l2的解析表达式；（3）求△ADC的面积；（4）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣5，0），B（5，0），D（2，7），连接AD交y轴于C点．（1）求C点的坐标；（2）动点P从B点出发以每秒1个单位的速度沿BA方向运动，同时动点Q从C点出发也以每秒1个单位的速度沿y轴正半轴方向运动（当P点运动到A点时，两点都停止运动）．设从出发起运动了x秒．①请用含x的代数式分别表示P，Q两点的坐标；②当x＝2时，y轴上是否存在一点E，使得△AQE的面积与△APQ的面积相等？若存在，求E的坐标；若不存在，说明理由．15．如图，矩形OABC放置在平面直角坐标系上，点AC分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标是(4，m)，其中m>4，反比例函数y=(x>0)的图象交AB交于点D．（1）BD=(用m的代数式表示)（2）设点P为该反比例函数图象上的动点，且它的横坐标恰好等于m，连结PB，PD．①若△PBD的面积比矩形OABC面积多8，求m的值。②现将点D绕点P逆时针旋转90得到点E，若点E恰好落在x轴上，直接写出m的值．16．课本再现：（1）下图所示的是北师大版九年级上册数学课本上的一道题：如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程．（2）知识应用：

如图，在矩形中，点M，N分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点处．

①如图2，P为线段上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线，的垂线，垂足分别为E和F，以，为邻边作平行四边形，若，，求的周长．②如图3，当点P在线段的延长线上运动时，若，．请用含m，n的式子直接写出与之间的数量关系．17．如图，直线y＝2x＋6与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于点A（m，8），与x轴交于点B，平行于x轴的直线y＝n（0＜n＜6）交反比例函数的图象于点M，交AB于点N，连接BM．（1）求m的值和反比例函数的解析式；（2）观察图象，直接写出当x＞0时不等式2x＋6－＞0的解集；（3）直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？18．定义：若连结三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形，我们称这条线段为该三角形的智慧线，这个三角形叫做智慧三角形.

（1）如图1，在智慧三角形ABC中，AD⊥BC，AD为该三角形的智慧线，CD＝1，AC＝2，则BD长为，∠B的度数为.（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，F是斜边BC延长线上一点，连结AF，以AF为直角边作等腰直角三角形AFE（点A，F，E按顺时针排列），∠EAF＝90°，AE交BC于点D，连结EC，EB.当∠BDE＝2∠BCE时，求证：ED是△EBC的智慧线.（3）如图3，△ABC中，AB＝AC＝5，BC2＝80.若△BCD是智慧三角形，且AC为智慧线，求△BCD的面积.

答案解析部分1．【答案】（1）解：①②由①可知，DE是BC的垂直平分线，即（2）证明：设，则解得：为直角三角形．2．【答案】（1）解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由题意可得函数经过B（3，0），C（0，3），D（4，-5）三点，将三点坐标代入得：，解得所以二次函数的解析式为y=-x2+2x+3；（2）解：由题意得，当y=0时，-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，∴A点坐标为（-1，0），∵B（3，0），C（0，3），∴AB=4，OC=3，S△ABC=4×3÷2=6，即△ABC的面积是6；（3）解：设P点的纵坐标为n，∵S△ABP=S△ABC，∴S△ABP=3，即AB•|n|=3，AB=4，代入解得n=±，∴=﹣x2+2x+3，解得：x=或-=﹣x2+2x+3，解得：x=，∴这样的点P有4个，它们分别是（，），（，），（，﹣），（，﹣）3．【答案】（1）在中，根据勾股定理（2）在中，根据勾股定理，4．【答案】（1）解：∵折叠，∴，设，则，根据勾股定理，，则，解得，∴，∵折叠，∴，∵ABCD是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∵折叠，∴；（2）解：如图，过点G作于点H，∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴，则，∴．5．【答案】（1）解：，长方形的面积为，所以；（2）解：当AP等于2cm时，即时，，当AP等于8cm时，即时，，所以当AP由2cm变到8cm，图中阴影部分的面积y由变到.6．【答案】（1）解：相等，DE＝BD，理由如下：连接AD，则AD⊥BC，在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD（等腰三角形三线合一），∴，＝∴DE＝BD；（2）解：∵AB＝5，BD＝BC＝3，∴AD＝4，∵AB＝AC＝5，而△ABC的面积＝BC•AD＝AC•BE，∴AC•BE＝CB•AD，∴BE＝4.8.7．【答案】（1）解：根据题意，解得，点坐标为（2）解：当时，，，点A的坐标为，当时，，，点B的坐标为，的面积是8．【答案】（1）解：画出如图所示：的面积是：；（2）0；-2；-2；-3；-4；0（3）解：∵P为x轴上一点，的面积为4，∴，∴当P在B的右侧时，横坐标为：当P在B的左侧时，横坐标为，故P点坐标为：或.9．【答案】（1）解不等式不等式得，a＜11，∵a是不等式的最大整数解，∴a＝10，∵AB的长为a，∴AB的长为10；（2）由（1）知，AB＝10，由运动知，AP＝2t，∴d=BP＝AB−AP＝10−2t（0≤t≤5）；（3）如图2，在EA上截取EN＝EG，∵∠AED＝∠GED，DE＝DE，∴△DEN≌△DEG（SAS），∴∠BND＝∠DGE，∠EDN＝∠EDB＝45，∴∠BDN＝∠EDB＋∠EDN＝90，∴∠BND＋∠DBN＝90，∴∠DGE＋∠DBN＝90，∵BD平分∠ABO交y轴于点D，∴∠DBN＝∠DBO，∴∠DGE＋∠DBO＝90，∵∠BDO＋∠DBO＝90，∴∠DGE＝∠BDO，∴EG∥OD，∵点E与点G的纵坐标的差为2，∴EG＝2，∵S△OBP：S△BPM＝3：2，∴S△OBM：S△BPM＝5：2，∴，∴，∴，∴AP＝6，∴t＝6÷2＝3秒，=．10．【答案】（1）PM＝PN；PM⊥PN（2）解：△PMN是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＋∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；（3）解：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM＋AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2＋5＝7，∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．11．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EDB＝∠GCB＝45°，∠ABD＝∠CBD＝45°，又∠EBM＝45°，∴∠GBC＋∠DBM＝45°，∠EBD＋∠DBM＝45°，∴∠GBC＝∠EBD，又∠EDB＝∠GCB＝45°，∴△DEB∽△CGB，∴DE：CG＝BD：BC＝；（2）解：如图2，作EH⊥AC于H，则AH＝EH＝x，∵△DEB∽△CGB，∴，∴CG＝（6−x），∴HG＝AC−AH−CG＝3，∵EG2＝EH2＋HG2，∴；（3）解：当CM＝CD＝2时，∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥AB，∴，∴CG＝，∴DE＝3，则AE＝3，∴AH＝EH＝，∵AD∥BC，∴，∴AF＝2，∴GF＝AC−AF−CG＝，∴S△EGF＝×FG×EH＝，当CM＝CD＝4时，，∴CG＝，∴DE＝，则AE＝，AH＝EH＝，∵，∴AF＝，∴GF＝AC−AF−CG＝，∴S△EGF＝×FG×EH＝．综上,S△EGF=或12．【答案】（1）解：∵点P（m，4）在反比例函数的图像上，∴4m=-8∴m=-2∴P的坐标为（-2，4），（2）解：设正比例函数解析式为y=kx（k≠0），∵正比例函数图象经过点P，∴-2k=4，∴k=-2，∴正比例函数的解析式为y=-2x∵正比例函数图象经过点Q（4，n），∴n=-8∴点Q的坐标为（4，-8），（3）解：∵S△MPQ=S△QOM+S△POM，∴∵△MPQ的面积等于18，∴6OM=18，解得OM=3，∵点在x轴上点M在原点左边时，点M（-3，0），点M在原点右边时，点M（3，0），综上所述，点M的坐标为（-3，0）或（3，0）．13．【答案】（1）解：由y＝﹣3x+3，令y＝0，得﹣3x+3＝0，∴x＝1，∴D（1，0）；（2）解：设直线l2的解析表达式为y＝kx+b，由图象知：x＝4，y＝0；x＝3，，代入表达式y＝kx+b，∴∴∴直线l2的解析表达式为；（3）解：由解得，∴C（2，﹣3），∵AD＝3，∴S△ADC＝×3×|﹣3|＝；（4）解：P（6，3）14．【答案】（1）作DE⊥x轴，∵A（﹣5，0），D（2，7），∴AE＝DE＝7，AO＝5，∵△CAO，△DAE为直角三角形，∴∠CAO＝45°，∴△CAO是等腰直角三角形，∴CO＝AO＝5，∴C（0，5）；（2）①P（5﹣x，0），Q（0，5+x）；②存在．设E的坐标为（0，y）当x＝2时，△APQ＝（5+3）×7÷2＝28，情况一：E在y轴的正半轴（y﹣7）×5÷2＝28y＝18.2∴E（0，18.2）情况二：E在y轴的负半轴（7﹣y）×5÷2＝28y＝﹣4.2∴E（0，﹣4.2）则点E的坐标为：（0，18.2）或（0，﹣4.2）．15．【答案】（1）m-4（2）解：①如图，

S矩形OABC=4m,S△PBD=（m-4）×（m-4）,

∴S△PBD-S矩形OABC=（m-4）×（m-4）-4=8,

整理得：(m-4)2=24.

解得：m=±2+4，

∵m>4,

∴m=2+4,

②如图,过点P作PF⊥x轴于F，过点D作DG⊥FP交FP的延长线于G，

∴∠DGP=∠PFE=90∘，

∴∠DPG+∠PDG=90∘，

由旋转特点知,PD=PE,∠DPE=90∘，

∴∠DPG+∠EPF=90∘，

∴∠PDG=∠EPF，

∴△PDG≌△EPF(AAS)，

∴DG=PF，

∵DG=AF=m−4，

∴P(m,m−4)，

∵点P在反比例函数y=，

∴m(m−4)=16，

∴m=2+2或m=2−2(舍).16．【答案】（1）解：如图1，连接，

∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴，，∴，∴；（2）解：①∵四边形是矩形，∴，，，连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图2所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH=AB，由折叠的性质得：DM=BM，，∴，∴，∴，∴，在中，由勾股定理可得，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴平行四边形的周长，②GF与GE之间的数量关系为：，理由如下：连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示：由折叠的性质得：，∴，∴，∴，∵