中考数学专练：10四边形

中考数学专练：10四边形一．选择题（共12小题）1．（2022•牡丹江二模）如图，点A在x轴正半轴上，点C（4，3），将菱形ABCO绕原点O旋转90°，则旋转后点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣3，8）或（3，﹣8） B．（﹣9，3）或（9，﹣3） C．（﹣3，9）或（3，﹣9） D．（﹣3，﹣9）或（﹣3，9）2．（2022•黑龙江模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：①DE=72AB；②∠EAN＝45°；③AE=23CM；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④3．（2022•建华区二模）如图，矩形ABCD由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点E、C及D、F交于点O，则tan∠DOC的值为（）A．5 B．2 C．3 D．24．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．（2022•肇源县二模）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°6．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝22，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CFA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④7．（2022•集贤县模拟）如图，矩形ABCD中，AB=5，四边形ABC1D1是平行四边形，点D1在BC边上且AD1＝AD，△ABD1的面积是矩形ABCD面积的13，则平行四边形ABC1DA．2 B．3 C．25 D．358．（2022•大庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HEA．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.410．（2022•鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（）A．4 B．5 C．6 D．711．（2022•前进区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．8 C．10 D．1212．（2022•大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108° B．109° C．110° D．111°二．填空题（共11小题）13．（2022•肇东市校级四模）若一个多边形的内角和为1080°，则此多边形一共有条对角线．14．（2022•牡丹江二模）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，AF⊥AE，交CD延长线于点F，∠EAF的平分线AG分别交直线BC，EF，CD于点G，M，N，连接FG，DM．则下列结论中：①CG＝FN；②∠ADM＝∠CDM；③若CE＝2BE，则tan∠CFG=34；④2AN•BE＝EF•CN，正确的有15．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，则AF的长为．16．（2022•南岗区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在BC上，连接AE，点F在AD上，∠AEB＝2∠AFE，过点A作AG⊥BC于点G，若AF﹣BE＝2，EG＝1，则DF的长为．17．（2022•香坊区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，连结AE，tan∠DAE=12，点G为AD上一点，作GF⊥AE交BC于点F．垂足为H，且H为AE的中点，GF为45，则GE18．（2022•南岗区校级二模）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝23，BD=7，则▱ABCD的面积为19．（2022•南岗区校级二模）如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，FC＝3，则线段AE的长为．20．（2022•哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为．21．（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为．22．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．23．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）三．解答题（共10小题）24．（2022•黑龙江模拟）综合与实践折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，如图①．（1）∠EAF＝°，写出图中两个等腰三角形：（不需要添加字母）；转一转：将图①中的∠EAF绕点A旋转．使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图②．（2）线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为；剪一剪：将图中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图③．（3）求证：BM2+DN2＝MN2；（4）如图④，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，D是BC边上任意一点（不与点B，C重合）连接AD．以A为顶点，AD为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰三角形AED和等腰三角形AFD，DE，DF分别交AB，AC于点M，N，连接EF，分别交AB，AC于点P，Q．设AM＝a，AB＝b，则AD＝（用a，b表示）．25．（2022•哈尔滨模拟）在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，连接BF、DE、EF，EF交AD于点G，交BC于点H，EG＝FH．（1）如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）如图2，点A是BE的中点，请写出面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形和两个四边形．26．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG＝BF，连接CE、DE、DG．（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于3CG的线段．27．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形．（2）连接CE，若CE＝EF，直接写出长度等于2AE的线段．（不包括AD）28．（2022•南岗区校级二模）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形．29．（2022•南岗区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F在BC上，连接EF，若DE＝CF．（1）求证：四边形ABFE为菱形；（2）连接AF，若AF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有30°的角．30．（2022•南岗区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，点E为AC中点，连接DE，过点E作EF∥AB交BC于点F．（1）如图1，求证：四边形DBEF是菱形；（2）如图2，连接BE，请直接写出图中与∠ABE互余的所有角．31．（2022•前进区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC与x轴重合，OA与y轴重合，BC＝2，D是OC上一点，且OD，DC的长是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个根（OD＞DC）．（1）求线段OD，OC，AD的长；（2）在线段AB上有一动点P（不与A、B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过P点作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，求四边形DEPF的面积S与时间t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．32．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y=kx（k≠0）图象的一支经过点（3）平面内是否存在点M，N（M在N的上方），使以B，D，M，N为顶点的四边形是边长比为2：3的矩形？若存在，请直接写出在第四象限内点N的坐标；若不存在，请说明理由．33．（2022•黑龙江）在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点，连接PG、PC．（1）如图1，当点G在BC边上时，写出PG与PC的数量关系．（不必证明）（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

2023年黑龙江省中考数学专练：10四边形参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2022•牡丹江二模）如图，点A在x轴正半轴上，点C（4，3），将菱形ABCO绕原点O旋转90°，则旋转后点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣3，8）或（3，﹣8） B．（﹣9，3）或（9，﹣3） C．（﹣3，9）或（3，﹣9） D．（﹣3，﹣9）或（﹣3，9）【解答】解：∵点C（4，3），∴OC=4∵四边形ABCO是菱形，∴BC＝OC＝OA＝5，∴B（9，3），若将菱形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，旋转后点B的对应点B'的坐标是（﹣3，9）；若将菱形ABCO绕原点O顺时针旋转90°，旋转后点B的对应点B'的坐标是（3，﹣9）．∴旋转后点B的对应点B'的坐标是（﹣3，9）或（3，﹣9），故选：C．2．（2022•黑龙江模拟）如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：①DE=72AB；②∠EAN＝45°；③AE=23CM；A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【解答】解：①∵四边形ABD是菱形，∴AB＝AD＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，∴AE2＝AB2﹣BE2＝AB2﹣（12BC）2＝AB2﹣（12AB）2=3∴DE=AE2+A②如图，连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，∵四边形ABD是菱形，∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC，△ADC都是等边三角形，AD∥BC，∵AE⊥BC，∴BE＝CE，∠BAE＝∠CAE＝30°，设BE＝CE＝a，则AB＝BC＝AC＝2a，∴AE=AB∵△DEF，△ADC都是等边三角形，∴AD＝CD，ED＝FE＝DF，∠ADC＝∠EDF＝60°，∴∠ADC﹣∠EDC＝∠EDF﹣∠EDC，∴∠ADE＝∠CDF，在△DAE和△DCF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△DAE≌△DCF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°+30°＝90°，∴∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠ACD+∠DCF＝150°，∵AC≠CF，∴∠CAF≠∠CFA≠15°，∴∠EAN＝∠EAC+∠CAF≠45°，故②错误；③∵AH⊥CD，AC＝AD，∴∠AHM＝∠FCM＝90°，CH＝DH＝a，∵M是AF的中点，∴AM＝FM，在△AMH和△FMC中，∠AHM=∠FCM=90°∠AMH=∠FMC∴△AMH≌△FMC（AAS），∴HM＝CM=12∴3CM=32a=∴AE＝23CM，故③正确；④在△AHM与△FCM中，∠AHM=∠FCM=90°HM=CM∴△AHM≌△FCM（ASA），∴AM＝MF，∴M是AF的中点，故④正确．综上所述：结论正确的序号有①③④．故选：D．3．（2022•建华区二模）如图，矩形ABCD由6个边长为1的小正方形组成，连接小正方形的顶点E、C及D、F交于点O，则tan∠DOC的值为（）A．5 B．2 C．3 D．2【解答】解：如图，连接EG，CG，∵EG2+CG2＝2+8＝10＝CE2，∴△CEG是直角三角形，∴∠CGE＝90°，∴tan∠GEC=CG由网格可知：EG∥FD，∴∠DOC＝∠GEC，∴tan∠DOC＝tan∠GEC＝2，故选：B．4．（2022•绥化一模）如图，在一张矩形纸片ABCD中AB＝4，BC＝8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的点H处，点D落在点G处，连接CE，CH．有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF＝5．以上结论中，其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①∵FH与EG，EH与CF都是原来矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，∴FH∥CG，EH∥CF，∴四边形CFHE是平行四边形，由翻折的性质得，CF＝FH，∴四边形CFHE是菱形，故①正确；②∵四边形CFHE是菱形，∴∠BCH＝∠ECH，∴只有∠DCE＝30°时EC平分∠DCH，故②错误；③点H与点A重合时，设BF＝x，则AF＝FC＝8﹣x，在Rt△ABF中，AB2+BF2＝AF2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得x＝3，点G与点D重合时，CF＝CD＝4，∴BF＝4，∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4，故③正确；④如图，过点F作FM⊥AD于M，则ME＝（8﹣3）﹣3＝2，由勾股定理得，EF=MF2+ME综上所述，结论正确的有①③，共2个．故选：B．5．（2022•肇源县二模）如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF＝20°，则∠AEF的度数（）A．35° B．40° C．45° D．50°【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，BA=BC∠ABE=∠CBE=45°∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．6．（2022•大庆三模）如图，已知四边形ABCD为正方形AB＝22，点E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①矩形DEFG是正方形；②2CE+CG=2AD；③CG平分∠DCF；④CE＝CFA．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，∠DNE=∠FMEEN=EM∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形；故①正确；∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，AD=CD∠ADE=∠CDG∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠DCF＝90°，∴CG平分∠DCF，故③正确；∴AC＝AE+CE＝CE+CG=2AD，故②当DE⊥AC时，点C与点F重合，∴CE不一定等于CF，故④错误，故选：A．7．（2022•集贤县模拟）如图，矩形ABCD中，AB=5，四边形ABC1D1是平行四边形，点D1在BC边上且AD1＝AD，△ABD1的面积是矩形ABCD面积的13，则平行四边形ABC1DA．2 B．3 C．25 D．35【解答】解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的13∴12∴BD1=23又∵AD1＝AD，∴BD1=23AD设BD1＝2x，则AD1＝3x，在Rt△ABD1中，BD12+AB2＝AD12，∴（2x）2+（5）2＝（3x）2，解得：x＝±1（负值舍去），∴BD1＝2，AD1＝3，∵点D1在BC边上，∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×1故选：C．8．（2022•大庆模拟）如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①AE＝AD；②∠AED＝∠CED；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HEA．4个 B．3个 C．2个 D．1个【解答】解：①设AB＝a，则AD=2a∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝45°，∴BA＝BE．在Rt△ABE中，AE=2a∴AE＝AD，故①正确；②∵DH⊥AH，∠DAE＝45°，AD=2a∴DH＝AH＝a，∴DH＝DC，∴DE平分∠AEC，∴∠AED＝∠CED，故②正确；③∵AH＝AB＝a，∴∠ABH＝∠AHB，∵AB∥CD，∴∠ABF+∠DFB＝180°，又∠AHB+∠BHE＝180°，∴∠BHE＝∠HFD，∠HEB＝∠FDH＝45°，在△DHF和△EBH中，∠BHE=∠HFD∠HEB=∠FDH=45°∴△DHF≌△EBH（AAS），∴BH＝HF，故③正确；④∵△BHE≌△HFD，∴HE＝DF，HE＝AE﹣AH=2a﹣a∴CF＝a﹣（2a﹣a）＝2a−2a∵BC=2a，CF＝2a−2a，HE=2a∴BC﹣CF＝2HE，故④正确；综上所述，正确的是①②③④共4个，故选：A．9．（2022•肇东市模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC=6∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM=12根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP=AB×AC∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM=12故选：D．10．（2022•鸡冠区校级一模）如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E在边CD上，DE＝2；作EF∥BC．分别交AC、AB于点G、F，M、N分别是AG，BE的中点，则MN的长是（）A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠BCD＝90°∵EF∥BC，∴∠BFE+∠ABC＝180°，∴∠BFE＝90°，∴四边形BCEF为矩形，连接FM，FC，如图：∵N是BE的中点，四边形BCEF为矩形．∴点N为FC的中点，BE＝FC．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，又∵∠AFG＝90°，∴△AFG为等腰直角三角形．∵M是AG的中点，∴AM＝MG，∴FM⊥AG，∴△FMC为直角三角形，∵点N为FC的中点，∴MN=12∵四边形ABCD是边长为8的正方形，DE＝2，∴BC＝CD＝8，CE＝6，在Rt△BCE中，由勾股数可得BE＝10，∴FC＝10，∴MN=12故选：B．11．（2022•前进区一模）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AB＝4，BC＝3，则四边形CODE的周长是（）A．5 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝OD，OC＝OA，∠ABC＝90°，∴OC＝OD，∴四边形CODE是菱形∵AB＝4，BC＝3∴AC=AB∴OC=∴四边形CODE的周长＝4×5故选：C．12．（2022•大庆）如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处．若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（）A．108° B．109° C．110° D．111°【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质得：∠EBD＝∠ABD，∴∠ABD＝∠CDB＝∠EBD，∵∠1＝∠CDB+∠EBD＝56°，∴∠ABD＝∠CDB＝28°，∴∠A＝180°﹣∠2﹣∠ABD＝180°﹣42°﹣28°＝110°，故选：C．二．填空题（共11小题）13．（2022•肇东市校级四模）若一个多边形的内角和为1080°，则此多边形一共有20条对角线．【解答】解：根据题意，得（n﹣2）•180＝1080，解得n＝8．共有对角线12故答案为：20．14．（2022•牡丹江二模）如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，AF⊥AE，交CD延长线于点F，∠EAF的平分线AG分别交直线BC，EF，CD于点G，M，N，连接FG，DM．则下列结论中：①CG＝FN；②∠ADM＝∠CDM；③若CE＝2BE，则tan∠CFG=34；④2AN•BE＝EF•CN，正确的有②③④【解答】解：如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，AC=2AD∵AE⊥AF，∴∠EAF＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAF，又∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADF＝90°，∴△ABE≌△ADF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∴△EAF是等腰直角三角形，∵AG平分∠EAF，∴∠AEF＝∠AFE＝∠EAG＝∠FAG＝45°，AG⊥EF，∴AM＝EM＝FM=22AE，∠DAC＝∠∴AEAM=2=AC∴△EAC∽△MAD，∴∠ADM＝∠ACB＝45°，∴∠ADM＝∠CDM＝45°，故②正确；∵AE＝AF，∠EAG＝∠FAG，AG＝AG，∴△EAG≌△FAG（SAS），∴FG＝EG，设BE＝x＝DF，∵CE＝2BE＝2x，∴CD＝BC＝3x，FC＝4x，∵FG2＝FC2+CG2，∴（2x+CG）2＝16x2+CG2，∴CG＝3x，∴tan∠CFG=CGCF=此时：AD＝CD＝CG＝3x，∵AD∥CG，∴ADCG∴DN＝CN＝1.5x，∴FN＝2.5x，∴FN≠CG，故①错误；如图，延长AB至H，使BH＝BE，连接EH，∵BE＝BH，∠HBE＝90°，∴EH=2BE，∠H＝45°＝∠ACD∵∠EAG＝∠BAC＝45°，∴∠BAE＝∠CAN，∴△AEH∽△ANC，∴AEAN∴22∴2AN•BE＝CN•EF，故④正确；故答案为：②③④．15．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，连接AF，则AF的长为65或17．【解答】解：如图1，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM=12∴AM＝4，∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠FCD，在△AMC和△CFD中，∠CMA=∠DFC∠MAC=∠FCD∴△AMC≌△CFD（AAS），∴AM＝CF＝4，∴MF＝6÷2+4＝7，∴AF=AM如图2，过A作AM⊥BC于M，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM=12∴AM＝4，∵∠ACM+∠FCD＝90°，∠MAC+∠ACM＝90°，∴∠MAC＝∠FCD，在△AMC和△CFD中，∠CMA=∠DFC∠MAC=∠FCD∴△AMC≌△CFD（AAS），∴AM＝FC＝4，∴FM＝FC﹣MC＝1，∴AF=AM综上所述，AF为65或17．故答案为：65或17．16．（2022•南岗区校级模拟）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点E在BC上，连接AE，点F在AD上，∠AEB＝2∠AFE，过点A作AG⊥BC于点G，若AF﹣BE＝2，EG＝1，则DF的长为3．【解答】解：如图，作EJ平分∠AEB交DA的延长线于点J，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠J＝∠BEJ＝∠AEJ=12∠∴AE＝AJ，设BE＝x，作EH⊥AJ于点H，则∠EHJ＝∠EHF＝90°，∵AG⊥BC于点G，∴∠HAG＝∠AGC＝∠AGE＝90°，∴四边形AGEH是矩形，∴AH＝EG＝1，∵∠AEB＝2∠AFE＝2∠CEF，∴∠CEF=12∠∴∠BEJ＝∠CEF，∵∠BEH＝∠GEH＝90°，∴∠HEJ+∠BEJ＝90°，∠HEF+∠CEF＝90°，∴∠HEJ＝∠HEF，在△EHJ和△EHF中，∠EHJ=∠EHFEH=EH∴△EHJ≌△EHF（ASA），∴HJ＝HF，由AF﹣BE＝2得AF＝BE+2＝x+2，∴AE＝AJ＝HJ+AH＝HF+AH＝AF+AH+AH＝x+4，∵∠ABC＝60°，BG＝BE+EG＝x+1，∴EH＝AG＝BG•tan60°=3（x∵AH2+EH2＝AE2，∴12+[3（x+1）]2＝（x+4）2，整理得x2﹣x﹣6＝0，解得x1＝3，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），∴BG＝4，AF＝5，∵∠BAG＝30°，∴AD＝AB＝2BG＝2×4＝8，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，∴DF的长为3，故答案为：3．17．（2022•香坊区校级模拟）如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，连结AE，tan∠DAE=12，点G为AD上一点，作GF⊥AE交BC于点F．垂足为H，且H为AE的中点，GF为45，则GE【解答】解：如图，过F作FM⊥AD于M，∴∠FMG＝90°，在正方形ABCD中，∠DAB＝∠B＝90°，∴四边形ABFM为矩形，∴MF＝AB＝AD，∵GF⊥AE交BC于点F，∴∠MFG+∠AGF＝∠DAE+∠AGF＝90°，∴∠MFG＝∠DAE，∴△ADE≌△FMG（ASA），∴GF＝AE=45∵tan∠DAE=1∴AD＝2DE，在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，∴DE＝4，AD＝8，∵H为AE的中点，∴AG＝GE，∴设GE＝x，则AG＝x，GD＝8﹣x，在Rt△GED中，GE2＝GD2+DE2∴x2＝（8﹣x）2+42，∴x＝5，∴GE＝5．故答案为：5．18．（2022•南岗区校级二模）在▱ABCD中，∠A＝30°，AD＝23，BD=7，则▱ABCD的面积为53或3【解答】解：过D点作DE⊥AB于E，B在E的右侧，∵∠A＝30°，AD＝23，∴DE=3，AE在Rt△DEB中，BE=B∴AB＝AE+BE＝3+2＝5，∴▱ABCD的面积＝AB•DE＝5×3=5B在E的左侧，∵∠A＝30°，AD＝23，∴DE=3，AE在Rt△DEB中，BE=B∴AB＝AE﹣BE＝3﹣2＝1，∴▱ABCD的面积＝AB•DE=3故答案为：53或3．19．（2022•南岗区校级二模）如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，AE平分∠BAF，若AF＝5DF，FC＝3，则线段AE的长为3152【解答】解：如图，延长DC、AE交于点G，∵E是BC的中点，∴BE＝EC，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAE＝∠G，在△ABE和GCE中，∠AEB=∠CEG∠BAE=∠G∴△ABE≌△GCE（AAS），∴AB＝CG，AE＝EG，∵AE是∠BAF的角平分线．∴∠BAE＝∠EAF，∴∠G＝∠EAF，∴AF＝FG，∴EF⊥AG，设DF＝x，则FG＝AF＝5DF＝5x，∴AB＝CD＝CG＝5x﹣3，∴CD＝DF+CF＝x+3，∴5x﹣3＝x+3，解得x＝1.5，∴AF＝5×1.5＝7.5，∴∠D＝90°，∴AD＝√7.52﹣1.52=7.52在Rt△ADG中，DG＝DF+FG＝1.5+AF＝1.5+7.5＝9，∴AG=(36)∴AE＝EG=12AG故答案为：31520．（2022•哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为25．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，∴AE=AO∴BE＝AE＝5，∴BO＝8，∴BC=BO2+CO∵点F为CD的中点，BO＝DO，∴OF=12BC＝2故答案为：25．21．（2022•黑龙江）在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，点E在边CD上，且CE＝4，点P是直线BC上的一个动点．若△APE是直角三角形，则BP的长为313或154【解答】解：若△APE是直角三角形，有以下三种情况：①如图1，∠AEP＝90°，∴∠AED+∠CEP＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴∠CEP+∠CPE＝90°，∴∠AED＝∠CPE，∴△ADE∽△ECP，∴ADCE=DE∴CP=5∵BC＝AD＝12，∴BP＝12−5②如图2，∠PAE＝90°，∵∠DAE+∠BAE＝∠BAE+∠BAP＝90°，∴∠DAE＝∠BAP，∵∠D＝∠ABP＝90°，∴△ADE∽△ABP，∴ADAB=DE∴BP=15③如图3，∠APE＝90°，设BP＝x，则PC＝12﹣x，同理得：△ABP∽△PCE，∴ABPC=BP∴x1＝x2＝6，∴BP＝6，综上，BP的长是313或15故答案为：313或1522．（2022•黑龙江）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAD＝60°，AD＝3，AH是∠BAC的平分线，CE⊥AH于点E，点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是326【解答】解：连接OE，过点O作OF⊥AB，垂足为F，并延长到点O′，使O′F＝OF，连接O′E交直线AB于点P，连接OP，∴AP是OO′的垂直平分线，∴OP＝O′P，∴OP+PE＝O′P+PE＝O′E，此时，OP+PE的值最小，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝3，∠BAC=12∠BAD，OA＝OC=12AC，OD＝OB=∵∠BAD＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AD＝3，∴OD=12BD∴AO=A∴AC＝2OA＝33，∵CE⊥AH，∴∠AEC＝90°，∴OE＝OA=12AC∴∠OAE＝∠OEA，∵AE平分∠CAB，∴∠OAE＝∠EAB，∴∠OEA＝∠EAB，∴OE∥AB，∴∠EOF＝∠AFO＝90°，在Rt△AOF中，∠OAB=12∠∴OF=12OA∴OO′＝2OF=3在Rt△EOO′中，O′E=E∴OP+PE=3∴OP+PE的最小值为32故答案为：3223．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是AB＝CD（答案不唯一）．（只需写出一个条件即可）【解答】解：添加的条件是AB＝CD，理由如下：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故答案为：AB＝CD（答案不唯一）．三．解答题（共10小题）24．（2022•黑龙江模拟）综合与实践折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE，AF，连接EF，如图①．（1）∠EAF＝45°，写出图中两个等腰三角形：△AEF，△EFC，△ABC，△ADC（不需要添加字母）；转一转：将图①中的∠EAF绕点A旋转．使它的两边分别交边BC，CD于点P，Q，连接PQ，如图②．（2）线段BP，PQ，DQ之间的数量关系为PQ＝BP+DQ；剪一剪：将图中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图③．（3）求证：BM2+DN2＝MN2；（4）如图④，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC，D是BC边上任意一点（不与点B，C重合）连接AD．以A为顶点，AD为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰三角形AED和等腰三角形AFD，DE，DF分别交AB，AC于点M，N，连接EF，分别交AB，AC于点P，Q．设AM＝a，AB＝b，则AD＝ab（用a，b表示）．【解答】（1）解：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴△ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF=12（∠BAC+∠∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC，△ABC，△ADC；（2）解：结论：PQ＝BP+DQ，理由：如图②中，延长CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP+∠BAT＝∠BAP+∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB+BT＝PB+DQ，∴PQ＝BP+DQ．故答案为：PQ＝BP+DQ；（3）证明：如图③中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN+∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM+∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2+BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2+DN2＝MN2；（4）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝45°，∴∠ABC＝∠ADE＝67.5°，又∵∠DAB＝∠DAM，∴△DAM∽△BAD，∴ADAB∴AD•AD＝AM•AB＝ab，∴AD=ab故答案为：ab．25．（2022•哈尔滨模拟）在▱ABCD中，点E在BA的延长线上，点F在DC的延长线上，连接BF、DE、EF，EF交AD于点G，交BC于点H，EG＝FH．（1）如图1，求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）如图2，点A是BE的中点，请写出面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形和两个四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，∴∠BEH＝∠DFG，∵EG＝FH，∴EG+GH＝FH+GH，即EH＝FG，在△BEH和△DFG中，∠EBH=∠FDG∠BEH=∠DFG∴△BEH≌△DFG（AAS），∴BE＝DF，又∵BE∥DF，∴四边形EBFD是平行四边形；（2）解：如图，连接BD，交EF于点O，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ABD＝S△CBD=12S平行四边形由（1）可知，四边形EBFD是平行四边形，∴BE＝DF，OB＝OD，OE＝OF，∵点A是BE的中点，∴AB＝AE，S△ADE＝S△ABD=12S平行四边形∵AB＝CD，∴AE＝CF，∴CD＝CF，∴S△BCF＝S△CBD=12S平行四边形∵EG＝FH，∴OG＝OH，在△ODG和△OBH中，OG=OH∠DOG=∠BOH∴△ODG≌△OBH（SAS），∴S△ODG＝S△OBH，∴S四边形ABHG＝S四边形CDGH=12S平行四边形综上所述，面积等于▱ABCD面积的一半的两个三角形为△ADE和△BCF，两个四边形为四边形ABHG和四边形CDGH．26．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC的中点，E是AB的中点，作EF⊥BC于F，延长BC至G，使CG＝BF，连接CE、DE、DG．（1）如图1，求证：四边形CEDG是平行四边形；（2）如图2，连接EG交AC于点H，若EG⊥AB，请直接写出图2中所有长度等于3CG的线段．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AE＝EB，∴EC＝EA＝EB，∵EF⊥BC，∴CF＝FB，∵AD＝DC，AE＝EB，∴DE∥BC，DE=12BC＝∵CG＝BF，∴DE＝CG，DE∥CG，∴四边形四边形CEDG是平行四边形；（2）解：如图2中，∵四边形四边形CEDG是平行四边形，∴DH＝CH，GH＝HE，设DH＝CH＝a，则AD＝CD＝2a，∵∠A＝∠A，∠AEH＝∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AEH，∴AEAH∴AE2＝AD•AH＝2a•3a＝6a2，∴AE=6a在Rt△AEH中，HE=AH∴GH＝HE=3a∴CG=GH∴AE=3CG∵AE＝EB＝CE＝GD，∴所有长度等于3CG的线段是AE、EB、EC、GD．27．（2022•南岗区校级模拟）在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：四边形ADCF是菱形．（2）连接CE，若CE＝EF，直接写出长度等于2AE的线段．（不包括AD）【解答】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，又∵E为AD的中点，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，∠FAE=∠BDEAE=DE∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∴四边形ADCF是平行四边形，又∵∠CAB＝90°，AD是BC边上的中点，∴AD=12BC＝DC＝∴▱ADCF是菱形；（2）解：长度等于2AE的线段为CD、CF、AF、BD（不包括AD），理由如下：由（1）得：四边形ADCF是菱形，AD=12BC＝DC＝∴AD＝AF＝CF＝CD，∴CD＝CF＝AF＝BD＝AD＝2AE．28．（2022•南岗区校级二模）在▱ABCD中，点E在CD边上，点F在AB边上，连接AE、CF、DF、BE，∠DAE＝∠BCF．（1）如图1，求证：DE＝BF；（2）如图2，设AE交DF于点G，BE交CF于点H，连接GH，若E是CD边的中点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中以GH为边的所有平行四边形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠ADE＝∠CBF，AD＝BC，在△ADE和△CBF中，∠ADE=∠CBFAD=BC∴△ADE≌△CBF（ASA），∴DE＝BF；（2）解：∵E是CD的中点，∴DE＝CE，∴以GH为边的平行四边形有平行四边形GHFA、平行四边形GHBF、平行四边形GHED、平行四边形GHCE．29．（2022•南岗区校级二模）如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，点F在BC上，连接EF，若DE＝CF．（1）求证：四边形ABFE为菱形；（2）连接AF，若AF＝AB，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有30°的角．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵DE＝CF，∴AE＝BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBF，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBF，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴四边形ABFE是菱形；（2）∵四边形ABFE是菱形，∴AB＝BF，又∵AF＝AB，∴AB＝BF＝AF，∴△ABF是等边三角形，∴∠ABF＝60°，∵四边形ABFE是菱形，∴∠ABF＝∠AEF＝60°，∠ABE＝∠FBE＝∠AEB＝∠BEF＝30°．30．（2022•南岗区校级模拟）如图，在等腰△ABC中，AB＝BC，D为AB的中点，点E为AC中点，连接DE，过点E作EF∥AB交BC于点F．（1）如图1，求证：四边形DBEF是菱形；（2）如图2，连接BE，请直接写出图中与∠ABE互余的所有角．【解答】（1）证明：如图，连接BE，∵AB＝BC，E是AC的中点，∴BE⊥AC，∵点D是AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BF，∵EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，在Rt△ABE中，∵点D是AB的中点，∴DE=12AB＝∴四边形BDEF是菱形；（2）解：图中与∠ABE互余的所有角为：∠A，∠AED，∠C，∠FEC．理由如下：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C，由（1）知：DE∥BF，EF∥BD，∴∠AED＝∠C，∠FEC＝∠A，∴∠A＝∠AED＝∠C＝∠FEC，∵BE⊥AC，∴∠A+∠ABE＝90°，∴与∠ABE互余的所有角有∠A，∠AED，∠C，∠FEC．31．（2022•前进区三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边OC与x轴重合，OA与y轴重合，BC＝2，D是OC上一点，且OD，DC的长是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个根（OD＞DC）．（1）求线段OD，OC，AD的长；（2）在线段AB上有一动点P（不与A、B重合），点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB方向匀速运动，到终点B停止，设运动的时间为t秒，过P点作PE∥BD交AD于E，PF∥AD交BD于F，求四边形DEPF的面积S与时间t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在点P运动的过程中，x轴上是否存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵OD，DC的长是一元二次方程x2﹣5x+4＝0的两个根（OD＞DC）．∴OD＝4，CD＝1，∴OC＝5，AD=OD2+AO（2）∵PE∥BD，PF∥AD，∴四边形PEDF是平行四边形，∵BD=CD∴BD2+AD2＝5+20＝25，∵AB2＝25，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴四边形PEDF是矩形，∵sin∠BAC=PE∴PEt∴PE=55∵PF∥AD，∴∠BPF＝∠BAD，∴cos∠BPF＝cos∠BAD=PF∴PF5−t∴PF=255∴S＝PE•PF=55t×2∴S=−25t2+2（3）存在点Q，使以A、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，设P（t，2），∴PD2＝（4﹣t）2+22，当PD，AP为边，∵四边形APDQ是菱形，∴PD＝AP，则t2＝（4﹣t）2+22，解得：t=5∴AP=5∴DQ＝AP=5∴点Q（32当AD，AP为边，∵四边形APQD是菱形，∴PD＝AP，∴25=t∴AP＝25，∴DQ＝AP＝25，∴DQ＝AP＝25，∴点Q（4+25，0），综上所述：点Q（4+25，0）或（3232．（2022•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD，A在y轴的正半轴上，B，C在x轴上，AD∥BC，BD平分∠ABC，交AO于点E，交AC于点F，∠CAO＝∠DBC．若OB，OC的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OB＞OC．请解答下列问题：（1）求点B，C的坐标；（2）若反比例函数y=kx（k≠0）图象的一支经过点（3）平面内是否存在点M，