局部等差数列与全局等差数列

局等数与局差列兼2011江省考学第等差数列有一个常见的性质，那就是其下标成等差数列的子数列仍构成等差数列，比如说，若数列{}n

成等差数列，则子数{a

2

}

，{

3

}

等仍成等差数列；但反过来，一个数列的某些下标成等差数列的子数列为等差数列蕴整个数列成等差数列呢？这样一个有趣问题的特例，恰被选作2011年苏省高考数学卷的压轴题下面我们来研究这个有趣的问题．为行文方便，先给出一个定义：定：穷数列

{}n

中，若以前p(2)

项的任意一项作为首项，每隔p项构成的子数列

{

kp

:kN}其

,

为常数，

s,

）均为等差数列，即下面的

个子数列⑴

a,a1

p

,a

2p

,a

3p

,

kp

,

，⑵

a,a2

p

,

2

,

3p

,

kp

,

，(

)

a,ap

2p

,a,a,,a34

,

，均为等差数列，则称数列

{}n

为

局部等差数列，相对地，若数{a}n

为等差数列，则称数列

{}n

为全局等差数列．注

局部等差数列的定义等价于：数{a}n

中，

a

n

n

n

n

对任意的n

成立．下面我们将证明在满足一定的条件下，局部等差数列蕴含全局等差数列．定设p,两个互素的正整数p

数

{}是部差数列又是n

局部等差数列，则数列

{}n

必为全局等差数列．证：因

,

为两个互素的正整数，由初等数论中不定方程的理论可知，不定方程lZ

必有正整数解对

(,)

则对满足条件

q

的任意两个正整数s和t程(mn对．

必有正整数解对

(mn即qn

必有正整数解而数列

{}n

既是

局部等差数列又是

局部等差数列即：数列

{}n

中，子数列

⑴

a,a1

p

,a

2p

,a

3p

,

kp

,，⑵

a,a2

p

,

2

,

3p

,

kp

,，

a,p

2p

,a,a,,a34

,都成等差数列；并且，子数列,a1

q

,

2

,

3

,

,，

a,a2

q

,

2

,

3

,a

,，(q

,a,,,aq2q

kq

,

，也都成等差数列．设等差数列⑴、⑵、的公差依次为x,x,x，差数列12p

、

、q

的公差依次为

y,1

q

．对任意的正整数r，若r

，则令x,1p，其中srm；若rq，则令srtr(m．

ytr

，其中先证

且yy1p1

q

．事实上，对满足条的任意两个正整数s和，

qn

必有正整数解对

(m)

，此时有a

pqpm

a

，

a

qn

，则：a

qx，a

pq

qn

py

t

，所以qxpys

t

，⑴由

,t

的任意性可知，

xx12

p

且

y12

q

成立．设

xx，yy12q

，由式⑴py；再设方程qv

的组整解为

v0

，有a

npu

n

，

a

n

n

，

a

n

n

0

，所

n

x数n0

，

（：

v0

为程

qv

的组解则通为pl

,lZ

，uxvy(ql)xv)yux)(pyxy00000

常）故数列

{}n

为全局等差数列，证毕．注定理中的条件“,q则：

为两个互素的正整数”既是充分的，也是必要的．不妨设p

，⑴若q

是

的倍数时显

局部等差数列蕴含了q

局部等差数列而仅是p

局部等差数列并不能保证该数列为全局等差数列，反例只要使

,a12

3

不成等差数列即可，而这是可以做到的当p可取a

2k

a

2

2，k当p时,a12

3

分别是三个无公共项的等差数列的首项，可取任意值；⑵若

pqp

时，可以构造数列

{}n

为：

j

mk

j

,j,m，kN，容易验证，数列

{}p部差数列和q部等差数列但不是全局等差数列．n下面我们来看一下上面定理的一个应用，即当

时的特例，它被作为年江苏省高考数学卷的第20题解答这个问题颇有一难度．题：M为分正整数组成的集合，数列

{}首项a，n项的和为．知nn对任意的整数

kM

，当整数

时，

n

n

2(S)n

都成立．⑴略；⑵设

M

，求数列

{}n

的通项公式．解：略；⑵由题意知：①当整数

3

时

n

n

S)n

都成立

S

n

n

n

),n3

，两式相减，得：

a

2

3

，即：

n

n

a

n

n

,n

，也即数列

{:n为3部等差数列；n②当整数

时

n

n

S)n

都成立

S

n

n

S

n

),n4

，两式相减，得：

n

n

2

n

,4

，即：

n

n

n

n

,

，也即数列

{:nn

为

局部等差数列；③由①②及上面的定理可知，数{a:n2}n

为等差数列，并设其公差为，此可知：S而2时a)12

(2)2

d

，而在①的

n

n

2(S)n3

中令

，有：即：

2()，7(1a)a))]22

，故：a

，⑴④由①②中的

3

时，

n

n

2(Sn3

和

时，