第十五讲 重叠问题

第15讲重叠问题一、

知识要和基本方法在解答题目时要涉及重叠部分的数量的问题，我们把这类问题称为重叠问题．解答重叠问题一般用公式法或图象法．公式法运用斥原理一：＝＝A＋问题．

－

，一公式可计算出两个集合圈的有关运用容斥理二：A＋B＋－＋，这一公式可计算出三个集合圈的有关问题．图象法不是利用容斥原理的公式计算，而是根据题意画图，并借助图形帮助分析，逐个地计算出各个部分，从而解答问题．二、例精讲例某班40位学在一次数学测验中，答对第一题的有23，答对第二题的有27，两题都答对的有人，问有几个同学两题都不对？解如果把答对第一题的人数和答对第二题的人数相加，减去两题都答对的学生数就能求出全班至少答对一题的人数再用全班学生数减去全班至少答对一题的人数，就能求出有多少位同学两题都不对．根据容斥原理一得：40

－

（2327

－

17

＝

－

＝

7（人）答：有7学生两题都没有做对．例某班有学生人，其中21人参加数学竞赛，13人参加作文竞赛，有7既参加数学竞赛又参加作文竞赛．那么（1）只参加数学竞赛的有多少人？（2）参加竞赛的一共有多少人？（3）没有参加竞赛的一共有多少人？解根据题意先作图（图－1图15-1（1）从图上可清楚看出只参加数学竞赛的有217＝（人（2）根据容斥原理一得：参加竞赛的共有21＋－727人（3）没有参加竞赛的一共有

－

27

＝

21（人

例3在100个学生中，音乐爱好者有人，体育爱好者有75人，那么既爱好音乐，又爱好体育的人最少有多少人？最多有多少人？解如图15－2，100都是或者音乐爱好者，或者体育爱好者时，这两者都爱好的人数为最小值即56＋75

－

100

＝

（个图当所有的音乐爱好者都是体育爱好者时，这两者都爱好的人为最大值即56人．例4某校对五年级名同学进行学习兴趣调查，结果有人喜欢语文，有38喜欢数学，52喜欢外语．而且喜欢语文和数学（但不喜欢外语）的有6人，喜欢数学和外语（但不喜欢语文）的有4人，三科都喜欢的有人，而且每人至少喜欢一科．问有多少同学只喜欢语文？解如图15－3：设只喜欢语文、外语的有人．图根据容斥原理二得：100＝5852－（61212＋x＋12＋4＋12解得x14．586－－14＝（人）答：只喜欢语文的同学有人．例5分母是的最简真分数有多少个？它们的和是多少？解我们知道最简真分数即是分子与分母互质且分子比分母小的分数．因为1001＝7×13．在1至1000中：7倍数有［］＝142（个）11倍数有［11］＝（个）13倍数有［13］＝（个）7

×

11倍数有［

÷

77

＝

12个）7

×

13倍数有［

÷

91

＝

10个）11

13倍数有［

÷

143］

＝

6（个）7×1113的倍数有［1001］＝0（个）根据容斥原理得：能被7整除，能11整除或被13整除的数共有142＋907612－10－6＋0＝（个那么，1中，不能被整除、不能被整除，也不能被13

除的数共有；－280720（个就是说分母是的最简真分数有个．1001N由于若（N＜1001）是最简真分数，那么也是最简真分数．这10011001样720最简真分数的和等于

÷

2

＝360．答：分母是1001最简真分数有720．它们的和是360．例某大学英语专业开设第二外语，学校规定学生在法语、日语、俄语中至少选一门，该班有学生人，选学法语的有，选学日语的有19人，选学俄语的有10人，其中人同时选学法语和俄语，5人同时选学日语和俄语，没有同学同时选学三门的，同时选学法语和日语的有多少人？解设同时选学法、日语有x人．图根据题意得：21＋（19－x＋（－－5）34解得：x7所以，同时选学法语和日语的有7人．例7某班学生中％喜欢游泳80％喜欢玩游戏机84％喜欢下棋％喜欢看小说．该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？解该班学生中：不喜欢游泳的有1

－％

＝

22不喜欢玩游戏机的有180＝％不喜欢玩下棋的有184＝％不喜欢看小说的有188＝12％那么至少不喜欢其中一种活动的学生最多占全班学生人数的：22＋20＋16％＋12％

＝70所以该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是1－％＝30％．练习题A组1某班学生在一次期末语文和数学考试中语文得优的有15数学得优的有24，其中语文、数学都得优的有人．全班得优的共有多少人？250学生答A、B两题，其中没答A题的有12名，而答A题，没答对B的有30，那么A、两都答对的有多少人？3．某班中30人参加足球与排球活动，参加球活动的有16，参加排球活动的有21两项活动都参加的共有多少人？只参加足球活动一项的有多少人？只参加排球活动一项的有多少人？

4．一个班常识、数学期中考试得分的共人，其中常识得分的12人，数学得100分的人，两门课程都得分的有多少人？5．某班50．参加学书法兴趣小组的，学绘画兴趣小组28，其中两种都学的15，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？6育苗小学四年级学生到野外采集标本采集昆虫标本的有32采集植物标本的有27，两种标本都采集的有7人．全班学生共有多少人？7京华小学五年级学生采集标本采集昆虫标本的有25采集植物标本的有19两种标本都采集的有8人班共人没采集标本的有多少人？8．工厂有批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235，会开铣床的有218人，会开刨床的有人，既会开车床又会开铣床的有人既会开车床又会开刨床的有人既会开铣床又会开刨床的有人，三种床都会开的有人，求全厂共有多少工人？B组9．在110不能被57除的自然数共有多少个？10外语学校共有英语、法语、日语教师共27，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人能教英日语的有5人能教法日语的有3人能教英法语的有4，三种都能教的有2人，只能教法语的有多少人？11．某班有学生50人，有人学会骑车，有人学会游泳，已学会骑车的有人，两样都会的有人，没有一样也不会的学生，那么会游泳的有多少人？12图155A、分别代表面积为10、、的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起盖住的面积是22，且A与B、B与C与A公共部分的面积分别是6、4、5，求A、B三个图形公共部分（即阴影部分）的面积．图13学校教导处对100同学进行调查，结果他们喜欢看球赛和电影、戏剧．其中58喜欢看球赛38喜欢看戏剧，人喜欢看电影，还知道：既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有6人既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有人三种都喜欢看的有人，只喜欢看电影的有多少人？14求从11995能被5整除，也能被或整除的自然数的个数．15某学校有学生1050人其中600订《语文报450人订《数学报有210订《科技报校学生中有350人订阅两种报刊有人订阅三种报刊，那么这个学校有多少人没有订阅任何报刊？16在自然数中，不超过105，且与互质的数共有多少个？测试题1有50同学在操场上活动其中有名是女生活动的项目是短跑和打球，如果有31同学打球，有名男生短跑，那么女生打球的有多少人？

2．某小学年级共有名学生，其中爱好体育、文学和数学竞赛的共有人，有15人既对体育又对数学竞赛感兴趣，有10人既爱好体育又对文学感兴趣，还有8既爱好文学又对数学竞赛感兴趣，三项都感兴趣的有4人，问三项都不感兴趣的有多少人？3．某班共30男生，其中人参加足球队12参加篮球队10参加排球队，已知没有一个人同时参加3个队，且每人至少参加一个队，6人既参加足球队又参加篮球队，有2人既参加篮球队又参加排球队，那么既参加足球队又参加排球队的有多少人？4．甲、乙丙都在读同一本故事书，书中有个故事．每一个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75故事，乙读了个故事，丙读了52故事．那么甲、乙、丙三人共同读过的故事至少有多少个？5．有一根厘米的绳子，从一端开始每隔厘米做一个记号，每隔米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共剪成了多少段？6．甲、乙丙给100盆花浇水，甲浇了盆，乙浇了盆，丙浇了盆，至少有多少盆花被浇了三次水？7．前锋小有48名学生参加剪纸、绘画、唱比赛．有24参加剪纸比赛；18人参加绘画比赛；其中人既参加剪纸比赛，又参加绘画比赛．问只参加独唱比赛的有多少人？8．某大学外语教师人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50既教英语又教日语有人既教英语又教法语有15既教日语又教法语有人有7英语日语和法语三门课都会教则不教这三门课的外语教师有多少人？9班共有学生52人中30会游泳35人骑自行车人会打乒乓球，那么，这个班至少有多少学生这三项运动都会？10求小于1001与1001质的所有自然数的和．11．夏日的一大，有十个同学去吃冷饮．向服务员交出需要冷饮的统计，数字如下：有个人要可可，有个人要咖啡有5个人要果汁，有个人既要可可又要果汁，有3人既要咖啡又要果汁，有2个人既要可可又要咖啡，有一个人既要可可啡又要了果汁一定有多少个人什么冷饮也没有要？12某校参加数学竞赛的有120名男生，名女生．参加语文竞赛的有120名女生，80名男生，已知该校共有260名学生参加了竞赛，其中75男生两科竞赛都参加了么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是多少人？13求从11994不能被5整除，也不能被或整除的自然数的个数．14全班有25学生，其17会骑自行车，13会游泳，8会滑冰，这三项运动项目没有人全会．至少会这三项运动之一的学生数学成绩都及格了，但又都不是优秀．如果全班有6个人数学不及格，问