与平行线、角有关的辅助线学案

与平行线、角有关的辅助线学案为了解决几何问题，在原图基础之上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成虚线．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知和未知之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．辅助线的作用：①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．例题示范例1：已知：如图，∠BED=∠B+∠D．求证：AB∥CD．①读题标注：②梳理思路：要证AB∥CD，我们需要找相关的同位角、内错角或同旁内角．观察图形发现，AB，CD没有截线，故需要构造截线，然后证明．可尝试延长BE交CD于点G．③过程书写：证明：如图，延长BE交CD于点G．∵∠BED是△DEG的一个外角∴∠BED=∠DGE+∠D∵∠BED=∠B+∠D∴∠DGE=∠B∴AB∥CD飞镖原理：已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．（1）请根据图下方的描述在图上作出辅助线，并进行证明（不需要写过程）；延长BD交AC于点E延长CD交AB于点E连接AD并延长AD到点E连接BC练习题如图，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为______________．如图，∠BAF=46°，∠ACE=136°，CD⊥CE．求证：AB∥CD．已知：如图，直线AB∥CD，∠EFG=130°，∠DGH=40°．你认为EF⊥AB吗？请说明理由．已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD上的点．求证：∠EPF=∠AEP+∠CFP．如图，l1∥l2，∠1=105°，∠2=40°，则∠3=___________．已知：如图，AB∥EF，∠B=25°，∠D=30°，∠E=10°，则∠BCD=________．已知：如图，AB∥ED，α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D．求证：β=2α．已知：如图，CD∥EF，∠1+∠2=∠ABC．求证：AB∥GF．已知：如图，在四边形ABDC中．求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C．已知：如图，AB⊥EF于点O，BD与MN相交于点C，∠1=35°，∠ABC=125°．求证：EF∥MN．已知：如图，a∥b，则∠1+∠2-∠3=_________．已知：如图，∠B+∠E+∠D=360°．求证：AB∥CD．已知：如图，AB∥CD，∠1=∠2．求证：∠3=∠4．已知：如图，AB∥CD．求证：∠1+∠3∠2=180°．已知：如图，∠3=∠1+∠2．求证：∠A+∠B+∠C+∠D=180°．【参考答案】79°证明：如图，延长DC到点G．∵CD⊥CE（已知）∴∠ECG=90°（垂直的定义）∵∠ACE=136°（已知）∴∠ACG=∠ACE-∠ECG=136°-90°=46°（等式性质）∵∠BAF=46°（已知）∴∠ACG=∠BAF（等量代换）∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）解：EF⊥AB，理由如下：如图，延长EF交CD于点M．∵∠DGH=40°（已知）∠DGH=∠FGM（对顶角相等）∴∠FGM=40°（等量代换）∵∠EFG是△FGM的一个外角（外角的定义）∴∠EFG=∠FGM+∠FMG（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠EFG=130°（已知）∴∠FMG=∠EFG-∠FGM=130°-40°=90°（等式性质）∵AB∥CD（已知）∴∠BNE=∠FMG=90°（两直线平行，同位角相等）∴EF⊥AB（垂直的定义）证明：如图，过点P作MN∥AB．∵CD∥AB（已知）∴AB∥MN∥CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）∴∠2+∠4=∠1+∠3（等式的性质）即∠EPF=∠AEP+∠CFP115°45°证明：如图，过点C作MN∥AB．∵AB∥ED（已知）∴MN∥AB∥ED（平行于同一直线的两直线平行）∴∠1+∠D=180°∠2+∠B=180°∠A+∠E=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵α=∠A+∠E，β=∠B+∠C+∠D（已知）∴α=180°，β=360°（等式性质）∴β=2α（等式性质）证明：如图，延长CB交FG于点M，延长FE交CM于点N．∵CD∥EF（已知）∴∠2=∠FNM（两直线平行，同位角相等）∵∠BMG是△FMN的一个外角（外角的定义）∴∠BMG=∠1+∠FNM=∠1+∠2（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC=∠1+∠2（已知）∴∠BMG=∠ABC（等量代换）∴AB∥GF（同位角相等，两直线平行）证明：如图，延长BD交AC于点E．∵∠BDC是△CDE的一个外角（外角的定义）∴∠BDC=∠1+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠1是△ABE的一个外角（外角的定义）∴∠1=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∴∠BDC=∠A+∠B+∠C（等量代换）解：EF∥MN理由如下：如图，延长AB交MN于点G．∵∠1=35°（已知）∴∠BCG=35°（对顶角相等）∵∠ABC是△BCG的一个外角（外角的定义）∴∠ABC=∠BGC+∠BCG（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ABC=125°（已知）∴∠BGC=∠ABC∠BCG=125°35°=90°（等式的性质）∵AB⊥EF（已知）∴∠AOF=90°（垂直的定义）∴∠AOF=∠BGC（等量代换）∴EF∥MN（同位角相等，两直线平行）180°证明：如图，过点E作EF∥AB ．∴∠B+∠BEF=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠B+∠BED+∠D=360°（已知）∴∠FED+∠D=180°（等式性质）∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）证明：如图，延长BE交CD于点G．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠5（两直线平行，内错角相等）∵∠1=∠2（已知）∴∠2=∠5（等量代换）∴BG∥CF（同位角相等，两直线平行）∴∠3=∠4（两直线平行，内错角相等）证明：如图，延长EA交CD于点F．∵AB∥CD（已知）∴∠1=∠4（两直线平行，同位角相等）∵∠4是△CEF的一个外角（外角的定义）∴∠4=∠2+∠ECF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠ECF=180°∠（平角的定义）∴∠4=∠2+180°∠（等量代换）∴∠4+∠3∠2=180°（等式性质）∴∠1+∠3∠2=180°（等量代换）（方法不只一种）证明：如图，延长EG交CF于点H．∵∠3是△GFH的一个外角（外角的定义）∴∠3=∠2+∠GHF（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠3=∠1+∠2（已知）∴∠GHF=∠1（等式性质）∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行）∴∠BMD+∠MNC=180°（两直线平行，