中考数学一轮复习练习课时22　解直角三角形及其应用

课时22解直角三角形及其应用基础巩固1．(2022天津)tan45°的值等于()A．2 B．1 C．eq\f(\r(2),2) D．eq\f(\r(3),3)2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝eq\f(3,5)，AB＝10，则BC的长为()A．3 B．4 C．6 D．83．如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(3，4)，则射线OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值为()第3题图A．eq\f(4,3) B．eq\f(4,5) C．eq\f(3,5) D．eq\f(3,4)4．(2022福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为()第4题图(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm5．(2022贵港)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则cos∠BAC的值是()第5题图A．eq\f(\r(5),5) B．eq\f(\r(10),5) C．eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(4,5)6．(2022乐山)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(5)，点D是AC上一点，连接BD.若tanA＝eq\f(1,2)，tan∠ABD＝eq\f(1,3)，则CD的长为()第6题图A．2eq\r(5) B．3 C．eq\r(5) D．27．如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度(或坡比)为i＝1∶2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米(点A，B，C，D，E在同一平面内)，在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为()第7题图(参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19)A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝eq\r(6)，BC＝eq\r(3)，则∠A的度数为__________.9．【跨学科】(2022凉山州)如图，CD是平面镜，光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B，若入射角为α，反射角为β(反射角等于入射角)，AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为__________.第9题图10．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为__________海里．(结果保留根号)第10题图11．(2022青海)随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．(结果保留整数．参考数据：eq\r(2)≈1.414，eq\r(3)≈1.732)第11题图12．(2022宜昌)知识小提示：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足53°≤α≤72°.如图，现有一架长4m的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上．(1)当人安全使用这架梯子时，求梯子顶端A与地面距离的最大值．(2)当梯子底端B距离墙面1.64m时，计算∠ABO等于多少度？并判断此时人是否能安全使用这架梯子？(参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin66°≈0.91，cos66°≈0.41，tan66°≈2.25)第12题图

能力提升13．(2022河北)如图，某水渠的横断面是以AB为直径的半圆O，其中水面截线MN∥AB.嘉琪在A处测得垂直站立于B处的爸爸头顶C的仰角为14°，点M的俯角为7°.已知爸爸的身高为1.7m.(1)求∠C的大小及AB的长；(2)请在图中画出线段DH，用其长度表示最大水深(不说理由)，并求最大水深约为多少米(结果保留小数点后一位)．(参考数据：tan76°取4，eq\r(17)取4.1)第13题图

14．图1是大家熟悉的柜式空调，关闭时叶片竖直向下．如图2，当启动时，出风口叶片会同步开始逆时针旋转到最大旋转角90°时返回，旋转速度是每秒10°，同时空调风从叶片口直线吹出．AB是由5个叶片组成的出风口，经过测量，点A、点B距地面高度分别是170cm，145cm，在空调正前方100cm处站着一个高70cm的小朋友(用线段EF表示).(1)从启动开始多长时间后，小朋友头顶E处能感受到空调风；(2)若叶片从闭合旋转到最大角度的过程中，小朋友的头顶E处能有多长时间感受到空调风；(3)当选择上下扫风模式时，叶片会旋转到最大角度后原速返回．从启动到第一次返回起始位的过程中，该小朋友头顶E处从第一次感受到空调风到再次感受到空调风中间间隔了__________s．(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)第14题图思维拓展15．(2022绥化)定义一种运算：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ.例如：当α＝45°，β＝30°时，sin(45°＋30°)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，则sin15°的值为__________.

课时22解直角三角形及其应用1．B2.D3.B4.B5.C6.C7.D8.45°9.eq\f(4,3)10．25eq\r(6)11．解：如答图1，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于点F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于点E.答图1又AB∥CD，∴四边形AECF是矩形．∵∠BCD＝60°，∴∠BCE＝90°－60°＝30°.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝4，CE＝eq\f(\r(3),2)BC＝4eq\r(3).∵∠ADC＝135°，∴∠ADF＝180°－135°＝45°.∴△ADF是等腰直角三角形．∴DF＝AF＝CE＝4eq\r(3).∵FC＝AE，即4eq\r(3)＋2＝AB＋4，∴AB＝4eq\r(3)－2.∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)×(2＋4eq\r(3)－2)×4eq\r(3)＝24.答：垂尾模型ABCD的面积为24.12．解：(1)53°≤α≤72°，当α＝72°时，AO取最大值．在Rt△AOB中，sin∠ABO＝eq\f(AO,AB)，∴AO＝AB·sin∠ABO＝4×sin72°≈4×0.95＝3.8(米).∴梯子顶端A与地面的距离的最大值为3.8米．(2)在Rt△AOB中，cos∠ABO＝eq\f(BO,AB)＝1.64÷4＝0.41.∵cos66°≈0.41，∴∠ABO＝66°.∵53°≤∠ABO≤72°，∴人能安全使用这架梯子．13．解：(1)由题意，得∠CAB＝14°，∠CBA＝90°.∴∠C＝180°－∠CAB－∠CBA＝76°.在Rt△ABC中，AB＝BC·tanC＝1.7×tan76°≈6.8(m).答：∠C＝76°，AB的长为6.8m.(2)如答图2，过点O作OH⊥MN于点D，交半圆O于点H，此时DH即为最大水深，连接OM.答图2∵OA＝OM，∠BAM＝7°，∴∠OMA＝∠OAM＝7°.∵AB∥MN，∴∠AMD＝∠BAM＝7°.∴∠OMD＝∠OMA＋∠AMD＝14°.∴∠MOD＝90°－∠OMD＝76°.在Rt△MOD中，MD＝OD·tan∠MOD＝OD·tan76°≈4OD.设OD＝x，则MD＝4x.∵AB＝6.8，∴OM＝OH＝OA＝eq\f(1,2)AB＝3.4.在Rt△MOD中，由勾股定理，得OD2＋MD2＝OM2，∴x2＋(4x)2＝3.42.∵x＞0，∴x＝eq\f(\r(17),5)≈0.82.∴OD＝0.82.∴DH＝OH－OD＝3.4－0.82＝2.58≈2.6(m).答：最大水深约为2.6m.14．解：(1)如答图3，连接AE，过点E作EM⊥AC于点M.由题意可知CF＝100＝ME，AC＝170，BC＝145，EF＝70＝MC，答图3∴AM＝170－70＝100.在Rt△AEM中，AM＝100，ME＝100，∴∠MAE＝∠AEM＝45°.∴从启动开始，到小朋友头顶E处能感受到空调风所用的时间为45÷10＝4.5(s).答：从启动开始4.5s后，小朋友头顶E处能感受到空调风．(2)如答图3，