湖北省恩施州2022-2023学年数学八下期末调研试题含解析

2022-2023学年八下数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．下列选择中，是直角三角形的三边长的是()A．1，2，3 B．2，5，3 C．3，4，5 D．4，5，62．函数的图象如图所示，则结论：①两函数图象的交点的坐标为（2，2）；②当x>2时，；③当x=1时，BC=3；④当x逐渐增大时，随着的增大而增大，随着的增大而减小．则其中正确结论的序号是()A．①② B．①③ C．②④ D．①③④3．下列图形中，中心对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．当a满足条件（）时，式子在实数范围内有意义．A．a<−3 B．a≤−3 C．a>−3 D．a≥−35．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12∶13.其中直角三角形有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．今年我市某县6月1日到10日的每一天最高气温变化如折线图所示，则这10个最高气温的中位数和众数分别是()A．33℃33℃ B．33℃32℃ C．34℃33℃ D．35℃33℃7．在中，若斜边，则边上的中线的长为()A．1 B．2 C． D．8．如图，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果可节省（）元．A．4 B．5 C．6 D．79．在直角坐标系中,函数与的图像大数是（）A． B．C． D．10．如图，将△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，若OA＝4，∠AOB＝35°，则下列结论错误的是()A．∠BDO＝60° B．∠BOC＝25° C．OC＝4 D．BD＝411．关于函数，下列说法正确的是（）A．自变量的取值范围是 B．时，函数的值是0C．当时，函数的值大于0 D．A、B、C都不对12．如图，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为（）A．5 B．10 C．20 D．40二、填空题（每题4分，共24分）13．甲、乙两名同学参加“古诗词大赛”活动，五次比赛成绩的平均分都是85分，若两人比赛成绩的方差分别为S2甲=1.25和S2乙=3，则成绩比较稳定的是__________（填甲或乙）．14．化简：＋＝___.15．从甲、乙两班分别任抽30名学生进行英语口语测验，两个班测试成绩的方差是，，则_________班学生的成绩比较整齐.16．如图，矩形全等于矩形，点在上.连接，点为的中点.若，，则的长为__________．17．若关于的分式方程有增根，则的值为__________．18．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF＝CG＝2，BE＝DH＝1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于________．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，在矩形ABCD中，E是对角线BD上一点（不与点B、D重合），过点E作EF∥AB，且EF=AB，连接AE、BF、CF。（1）若DE=DC，求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB=，BC=3，当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为__________。20．（8分）已知一次函数y＝(1m－1)x＋m－1．（1）若此函数图象过原点，则m＝________；（1）若此函数图象不经过第二象限，求m的取值范围．21．（8分）随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：组别家庭年旅游消费金额x(元)户数Ax≤400027B4000<x≤8000aC8000<x≤1200024D12000<x≤1600014Ex>160006（1）本次被调査的家庭有户，表中a=；（2）本次调查数据的中位数出现在组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是度；（3）若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？22．（10分）如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF(1)填空∠B=_______°；(2)求证：四边形AECF是矩形．23．（10分）在正方形ABCD中，点P是直线BC上一点.连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE.（1）如图1.若点P在线段CB的延长线上过点E作EF⊥BC于H.与对角线AC交于点F.①请仔细阅读题目，根据题意在图上补全图形；②求证：EF=FH.（2）若点P在射线BC上，直接写出CE，CP，CD三条线段之间的数量关系（不必写过程）.24．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．25．（12分）（1）如图①，点M是正方形ABCD的边BC上一点，点N是CD延长线上一点，且BM=DN，则线段AM与AN的关系．（2）如图②，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，判断BE，DF，EF三条线段的数量关系，并说明理由．（3）如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∠ABC+∠ADC=180°，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BD=5，EF=3，求四边形BEFD的周长．26．电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法．若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）的函数图象是一条折线（如图所示），根据图象解下列问题：(1)分别写出当0≤x≤100和x＞100时，y与x的函数关系式(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】

根据勾股定理的逆定理，逐一判断选项，即可得到答案．【详解】∵12+22≠32，∴1，2，3不是直角三角形的三边长，∴A不符合题意，∵22+32≠52，∴2，5，3不是直角三角形的三边长，∴B不符合题意，∵32+42=52，∴3，4，5是直角三角形的三边长，∴C符合题意，∵42+52≠62，∴4，5，6不是直角三角形的三边长，∴D不符合题意．故选C．【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．2、D【解析】

一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解；根据图象可求得x＞2时y1＞y2；根据x＝1时求出点B点C的坐标从而求出BC的值；根据图像可确定一次函数和反比例函数在第一象限的增减性．【详解】解：①联立一次函数与反比例函数的解析式，解得，，∴A（2，2），故①正确；②由图象得x＞2时，y1＞y2，故②错误；③当x＝1时，B（1，4），C（1，1），∴BC＝3，故③正确；④一次函数y随x的增大而增大，反比例函数k＞0，y随x的增大而减小．故④正确．∴①③④正确．故选D．【点睛】本题主要是考查学生对两个函数图象性质的理解．这是一道常见的一次函数与反比例函数结合的题目，需要学生充分掌握一次函数和反比例函数的图象特征．理解一次函数和反比例函数的交点坐标就是一次函数与反比例函数组成的方程组的解．3、C【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合．【详解】解：∵第一、二、三个图形是中心对称图形；第四个图形不是中心对称图形，∴共3个中心对称图形．故选C．4、D【解析】

根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，即可求得答案．【详解】解：根据题意知，要使在实数范围内有意义．则，解得：，故选：D．【点睛】本题主要考查二次根式的意义，掌握二次根式中被开方数为非负数是解题的关键．5、C【解析】①已知∠A＝∠B＋∠C，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，得2∠A＝180°，所以∠A＝90°，它是直角三角形；②三个内角之比为3∶4∶1．则这三个内角分别为41°，60°，71°，它是锐角三角形；③④可由勾股定理的逆定理判定是直角三角形．因此①③④是直角三角形，故选C.6、A【解析】试题分析：众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中33℃出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为33℃．中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为31℃，32℃，32℃，33℃，33℃，33℃，34℃，34℃，35℃，35℃，∴中位数是按从小到大排列后第5，6个数的平均数，为：33℃．故选A．7、D【解析】

再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BD=AC．【详解】∵BD是斜边AC边上的中线，∴BD=AC=×=.故选D.【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．8、C【解析】

观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式，再分别求出当x=1和x=5时，y值，用10×5-44即可求出一次购买5千克这种苹果比分五次购买1千克这种苹果节省的钱数．【详解】解：设y关于x的函数关系式为y=kx+b，当0≤x≤2时，将（0，0）、（2，20）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=10x(0≤x≤2)；当x>2时，将（2，20），（4，36）代入y=kx+b中，，解得：，∴y=8x+4（x≥2）．当x=1时，y=10x=10，当x=5时，y=44，10×5-44=6（元），故选C．【点睛】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出线段OA和设AB的函数关系式是解题的关键．9、B【解析】

根据四个选项图像可以判断过原点且k＜0，，-k＞0即可判断.【详解】解：A.与图像增减相反，得到k＜0，所以与y轴交点大于0故错误；B.与图像增减相反，得到k＜0，所以与y轴交点大于0故正确；C.与图像增减相反，为递增一次函数且不过原点，故错误；D.过原点，而图中两条直线都不过原点，故错误.故选B【点睛】此题主要考查了一次函数图像的性质，熟记k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小；常数项为0，函数过原点.10、D【解析】

由△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD知∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，据此可判断C；由△AOC、△BOD是等边三角形可判断A选项；由∠AOB=35°，∠AOC=60°可判断B选项，据此可得答案．【详解】解：∵△OAB绕O点逆时针旋转60°得到△OCD，

∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=CO=4、BO=DO，故C选项正确；

则△AOC、△BOD是等边三角形，∴∠BDO=60°，故A选项正确；

∵∠AOB=35°，∠AOC=60°，∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=60°-35°=25°，故B选项正确.

故选D．【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等及等边三角形的判定和性质．11、C【解析】

根据该函数的性质进行判断即可．【详解】A.根据可得，自变量的取值范围是，错误；B.将代入函数解析式中，无意义，错误；C.当时，，正确；D.A、B错误，C正确，故选项D错误；故答案为：C．【点睛】本题考查了函数的性质问题，掌握函数的定义以及性质是解题的关键．12、C【解析】由已知，点D、E、F分别为∠ABC三边的中点，根据三角形中位线定理，得AB、BC、AC分别是FE、DF、DE的两倍．因此，由△DEF的周长为10，得△ABC的周长为1．故选C．二、填空题（每题4分，共24分）13、甲【解析】

根据方差的意义即可求得答案．【详解】∵S甲2=1.25，S乙2=3，

∴S甲2＜S乙2，

∴甲的成绩比较稳定，

故答案为：甲．【点睛】此题考查方差的意义，掌握方差的意义是解题的关键，即方差越大其数据波动越大，即成绩越不稳定．14、1【解析】分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可．解答：解：原式==1．点评：本题考查了分式的加减运算．最后要注意将结果化为最简分式．15、乙【解析】

根据方差的性质即可求解.【详解】∵，，则＞，∴乙班学生的成绩比较稳定.故填乙【点睛】此题主要考查方差的性质，解题的关键是熟知数据的稳定性.16、【解析】

延长CH交FG的延长线于点N，由条件可以得出△CDH≌△NFH，就可以得出CH=NH，CD=NF，求出NG的长，根据勾股定理求出CN的长，从而可求出CH的长.【详解】解：延长CH交FG的延长线于点N，∵FG∥CD,∴∠CDH=∠NFH.∵点为的中点，∴DH=FH.在△CDH和△NFH中，∵∠CDH=∠NFH，DH=FH，∠CHD=∠NHF,∴△CDH≌△NFH，∴CH=NH，CD=NF=10，∴NG=4,∴CN=,∴CH=2.故答案为：2.【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，菱形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，特殊角的三角函数值的运用．解答时证明三角形全等是解答本题的关键．17、【解析】

增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x-1）（x+1）=0，得到x=1或-1，然后代入化为整式方程的方程，满足即可．【详解】方程两边都乘（x-5），得1-a=x-5，∴x=7-a∵原方程有增根，∴最简公分母x-5=0，解得x=5，∴7-a=5；∴a=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了分式方程的增根，难度适中．确定增根可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定可能的增根；②化分式方程为整式方程；③把可能的增根代入整式方程，使整式方程成立的值即为分式方程的增根．18、1【解析】

连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB-BE=4-1=3，CH=CD-DH=4-1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6-×2×3-×1×（6-2）-×2×3-×1×（6-2），=24-3-2-3-2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=1．故答案为1．考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质．三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）【解析】

（1）由CD//EF,CD=EF可证四边形CDEF是平行四边形，由于DE=DC可证四边形CDEF是菱形（2）当四边形ABFE周长最小时此时AE⊥BD,利用勾股定理可求BD、AE、ED的长度，进而求四边形CDEF的周长即可【详解】证明：（1）在矩形ABCD中CD∥AB,CD=AB,∵EF∥AB，EF=AB∴CD//EF,CD=EF∴四边形CDEF是平行四边形，又∵DE=DC∴四边形CDEF是菱形（2）在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AD=BC=3∴当四边形ABFE周长最小时,AE⊥BD此时;BD=,∠AED=90°由（1）可知四边形CDEF是平行四边形四边形CDEF的周长为故：当四边形ABFE周长最小时，四边形CDEF的周长为【点睛】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键.20、（1）1；（1）-＜m≤1．【解析】

（1）把坐标原点代入函数解析式进行计算即可得解；（1）根据图象不在第二象限，k＞0，b0列出不等式组求解即可．【详解】（1）∵函数的图象经过原点，∴m-1=0，解得m=1；（1）∵函数的图象不过第二象限，∴，由①得，m＞-，由②得，m1，所以，-＜m1．【点睛】本题考查了两直线平行的问题，一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，综合题但难度不大，熟记一次函数的性质是解题的关键．21、（1）90，19；（2）B，24；（3）1320户【解析】

(1)根据图表数据与百分率对应求得总人数，从而求得a值；（2）结合图表及数据可求得中位数和E所在的圆心角度数；（3）根据样本估计总体.【详解】(1)∵A组共有27户，对应的百分率为30%∴总户数为：（户）∴（户）；(2)∵共有90户，中位数为第45,46两个数据的平均数，27+19=46，∴中位数位于B组；E对应的圆心角度数为：(3)旅游消费8000元以上的家庭为C、D、E组，大约有：2700×=1320(户)．【点睛】本题考查统计的相关知识，解题关键在于梳理统计图当中的条件信息.22、（1）60；（2）见解析【解析】分析：（1）根据菱形的性质可得AB=BC，然后根据AB=AC，可得△ABC为等边三角形，继而可得出∠B=60°；（2）根据△ABC为等边三角形，同理得出△ACD为等边三角形，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，可得AE⊥BC，CF⊥AD，然后根据AF∥CE，即可判定四边形AECF为矩形．详解：（1）（1）因为四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∵AC=AB，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=60°，；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC，∵E.F分别是BC.AD的中点，∴CE=BC，AF=AD，∴AF=CE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AB=AC，E是BC的中点，∴AE⊥BC，即∠AEC=90°，∴四边形AECF是矩形.点睛：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定，解答本题的关键是掌握菱形的四条边都相等的性质，注意掌握矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形．23、（1）①见解析；②见解析；（2）​EC=2（CD-PC）或EC=2（CD+PC）【解析】

（1）①构建题意画出图形即可；②想办法证明△APB≌△PEH即可；（2）结论：当点P在线段BC上时：CE=2(CD-CP)．

当点P在线段BC的延长线上时：CE=【详解】解：（1）①补全图形如图所示.②证明：∵线段PA绕点P顺时针能转90°得到线段PE，∴PA=PE，∠APE=∵四边形ABCD是正方形，∴∠4=∠ABC=90AB=BC∵EF⊥BC于H，∴ΔAPB≅ΔPEH∴PB=EH，AB=PH，∴BC=PH∴PB=CH，∴CH=EH.∵∠ACB=1∴CH=FH，∴EH=FH；（2）当点P在线段BC上时：CE=2理由：在BA上截取BM=BP．则△PBM是等腰直角三角形，PM=2PB．易证△PCE≌△AMP，可得EC=PM，∵CD-PC=BC-PC=PB，∴EC=PM=2PB=2（CD-PC），当点P在线段BC的延长线上时：CE=2

理由：在BA上截取BM=BP．则△PBM是等腰直角三角形，PM=2PB．易证△PCE≌△AMP，可得EC=PM，∵CD+PC=BC+PC=PB，∴EC=PM=2PB=2（CD+PC）.故答案为​EC=2（CD-PC）或EC=2（CD+PC）.【点睛】本题考查旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.24、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD【解析】

（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【详解】(1)证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADCB=CD∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC=∠DAC，在△ABF和△ADF中,AB=AD∠BAF=∠DAF∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFB=∠AFD，∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE，∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；(2)证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠BAC=∠DAC，∴∠BAC=∠ACD，∴∠DAC=∠ACD，∴AD=CD，∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形；(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∵CF=CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD=∠EFD.25、（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由见解析；（2）BE+DF=EF；（3）四边形BEFD的周长为1．【解析】

（1）利用正方形条件证明△ABM≌△ADN，即可推出结论,（2）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G,证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题,（3）过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．证明△ABE≌△ADG得AE=AG，∠EAF=∠GAF进而证明△AEF≌△AGF,得EF=FG即可解题.【详解】（1）结论：AM=AN，AM⊥AN．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADN=∠BAD=90°，∵BM=DN，∴△ABM≌△ADN，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN，∴∠AMN=∠BAD=90°，∴AM⊥AN，（2）如图②中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠B=∠BAD=∠ADC=90°．∴∠B=∠ADG=90°，∠BAE+∠EAD=90°．∵AG⊥AE，∴∠DAG+∠EAD=90°．∴∠BAE=∠DAG．在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG．∴AE=AG，BE=DG．∵∠EAF=45°，AG⊥AE，∴∠EAF=∠GAF=45°．在△FAE和△FAG中，，∴△AEF≌△AGF．∴EF=FG．∵FG=DF+DG=DF+BE，∴BE+DF=EF．（3）如图③中，过点A作AG⊥AE交CD延长线于点G．∵AB=AD，∠ABC+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC