数学思想办法之分类讨论思想

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第3说分类讨论思想

(推举时刻：60分钟)

一、填空题

1．正三棱柱的侧面展开图是边长分不为6和4的矩形，则它的体积为____________．

2．(2012·宿州模拟)若x>0且x≠1，则函数y＝lgx＋logx10的值域为____________．

3．(2012·盐城模拟)过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若AB＝4，则如此的直线共有________条．4.

函数f(x)的图象如图所示，f(x)为奇函数，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则别等式x[f(x)－f(－x)]PF2，则PF1PF2

的值为________．6．(2012·福州模拟)函数f(x)＝mx2＋mx＋1的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是________．

7．已知线段AB和平面α，A、B两点到平面α的距离分不为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为________．

8．函数y＝ax(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2

，则a的值是________．9．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)|cosx|的最大值为____________________．

二、解答题

10．(2012·安徽)设函数f(x)＝22

cos????2x＋π4＋sin2x.(1)求f(x)的最小正周期；

(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g????x＋π2＝g(x)，且当x∈????0，π2时，g(x)＝12

－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．

11.(2012·常州模拟)已知m∈R，求函数f(x)＝(4－3m)x2－2x＋m在区间[0,1]上的最大值．

12．已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax

－1(a∈R)．

(1)当a≤12

时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝14

时，若对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围．

答案

1．43或83

32．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

3．3

4．(－3,0)∪(0,3)

5．2或72

6．[0,4]

7．1或2

8.12或329.92

10．解(1)f(x)＝

22cos????2x＋π4＋sin2x＝

22????cos2xcosπ4－sin2xsinπ4＋1－cos2x2＝12－12

sin2x.故f(x)的最小正周期为π.

(2)当x∈????0，π2时，g(x)＝12－f(x)＝12

sin2x，故①当x∈???

?－π2，0时，x＋π2∈????0，π2.由于对任意x∈R，g????x＋π2＝g(x)，从而g(x)＝g????x＋π2＝12sin???

?2????x＋π2＝12sin(π＋2x)＝－12

sin2x.②当x∈?

???－π，－π2时，x＋π∈????0，π2，从而g(x)＝g(x＋π)＝12

sin[2(x＋π)]

＝12

sin2x.综合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式为

g(x)＝???

12sin2x，x∈????－π，－π2，－12sin2x，x∈???

?－π2，0.

11．解①当4－3m＝0，

即m＝43时，函数y＝－2x＋43

，它在[0,1]上是减函数，

因此ymax＝f(0)＝43.②当4－3m≠0，即m≠43

时，y是二次函数．当4－3m>0，即m0，它在[0,1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处别涉及最小值，故别需讨论区间与对称轴的关系)．

f(0)＝m，f(1)＝2－2m，

当m≥2－2m，又m43时，二次函数y的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m

0，此刻f′(x)0，函数f(x)单调递增．

②当a≠0时，令f′(x)＝0，

即ax2－x＋1－a＝0，

解得x1＝1，x2＝1a

－1.(ⅰ)当a＝12

时，x1＝x2，h(x)≥0恒成立，此刻f′(x)≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减．

(ⅱ)当0－1>1>0，当x∈(0,1)时，h(x)>0，此刻f′(x)0，函数f(x)单调递增；当x∈???

?1a－1，＋∞时，h(x)>0，此刻f′(x)0，此刻f′(x)0，函数f(x)单调递增．

综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增；

当a＝12

时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当0时，函数f(x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)在????1，1a－1上单调递增，函数f(x)在???

?1a－1，＋∞上单调递减．(2)因为a＝14∈?

???0，12，由(1)知当x∈(0,1)时，函数f(x)单调递减；

当x∈(1,2)时，函数f(x)单调递增．

因此f(x)在(0,2)上的最小值为f(1)＝－12

.由于“对任意x1∈(0,2)，存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小

值别大于f(x)在(0,2)上的最小值－12

”．(*)又g(x)＝(x－b)2＋4－b2，x∈[1,2]，因此

①当b0，此刻与(*)矛盾；