力矩定律转动惯量

1

一力矩力矩=力力臂P*O:力臂

为由点O到力的作用点P的矢径.力对转轴的力矩

单位：牛顿米2P*O:力臂

刚体绕Oz

轴旋转,力作用在刚体上点P,

且在转动平面内,为由点O到力的作用点P的径矢.

对转轴Z的力矩

一力矩力矩的大小:力矩的方向:——右手定则3O讨论

1）若力不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和其中对转轴的力矩为零，故对转轴的力矩为43）刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消O结论：刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零.5xo

例1一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固定轴转动，已知细棒与桌面的摩擦系数为,求棒转动时受到的摩擦力矩的大小．dxx解：取一小段如图6O二转动定律2）刚体质量元受外力，内力1）单个质点外力矩内力矩O7外力矩内力矩OO

刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比

，与刚体的转动惯量成反比.

转动定律定义转动惯量:8lo解：刚体平衡的条件

例2一长为l，重为W的均匀梯子，靠墙放置，墙光滑，当梯子与地面成角时处于平衡状态，求梯子与地面的摩擦力。

以支点O为转动中心，梯子受的合外力矩：9三转动惯量

物理意义：转动惯性的量度.

质量离散分布刚体的转动惯量转动惯性的计算方法

质量连续分布刚体的转动惯量：质量元10

对质量线分布的刚体：：质量线密度

对质量面分布的刚体：：质量面密度

对质量体分布的刚体：：质量体密度：质量元

质量连续分布刚体的转动惯量11例3.由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。思考：A移至2m处J=?12O´O

解设棒的线密度为，取一距离转轴OO´

为处的质量元

例4一质量为、长为

的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量.O´O如转轴过端点垂直于棒13ORO

例5一质量为、半径为的均匀圆盘，求通过盘中心O

并与盘面垂直的轴的转动惯量.解设圆盘面密度为，在盘上取半径为，宽为的圆环而圆环质量所以圆环的转动惯量14四平行轴定理PORO

转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置.

质量为

的刚体，如果对其质心轴的转动惯量为，则对任一与该轴平行，相距为

的转轴的转动惯量CO注意15竿子长些还是短些较安全？

飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？16例6:右图所示刚体对经过棒端O且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）O解：棒绕O点的转动惯量为圆盘绕O点的转动惯量为17例7：质量M，半径R的匀质圆盘，挖去半径r、质量m的一小圆盘。剩余部分关于过O点，垂直于盘的转动惯量为____________。解：M的转动惯量为m关于过O点的转动惯量为剩余部分关于过O点，垂直于盘的转动惯量为18例8：一长为L质量可略直杆，两端各固定有质量2m

和m

的小球，杆可绕垂直其中点O的水平光滑固定轴在铅直平面内转动。初始时杆与水平方向成角，静止，如图。释放后，当杆转到水平位置时，该系统受到的合外力矩M的大小=______，角加速度的大小=________。解：19例9：转动惯量为

J

的飞轮，受与角速度的平方成正比的阻力矩

M的制动作用，比例系数为

k(k>0)。当=o

3

时，经过的时间

t=_____,飞轮的角加速度

=_______。解：∴t=2J

ko，=k2

J=ko2

9J。20例10

电风扇在开启电源后，经t1时间达到了额定转速，此时相应的角速度为0

，当关闭电源后，经过t2时间风扇停转．已知风扇转子的转动惯量为J，并假设摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常量，求电机的电磁力矩．解：设电机的电磁力矩为M，摩擦阻力矩为Mf在开启电源后关闭电源后21例11、质量M=16kg、半径为R=0.15m的实心滑轮,一根细绳绕在其上，绳端挂一质量为m=8kg的物体。求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。解：mMmmgT22AMBF=Mg（A）αA＝αB;（B）αA>αB;（C）αA<αB;（D）无法确定.

例12

如图所示,A、B为两个相同的定滑轮,A滑轮挂一质量为M的物体,B滑轮受力F=Mg,设A、B两滑轮的角加速度分别为αA和αB,不计滑轮的摩擦,这两个滑轮的角加速度的大小关系为:AB23例13：如图系统从静止释放。求两滑轮间绳内的张力。

对四个物体分别列方程有：T1mg=ma2mgT2=2maTr

T1r=0.5mr2T2rTr=0.5mr2

又a=r

解得:T=11mg/8mgT1T1TT2T2mgT2解：24

例14

质量为的物体A

静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R、质量为的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为的物体B

上.滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计.问：（1）两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体B

从

再求线加速度及绳的张力.静止落下距离

时，其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为ABC25ABCOO

解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.26

解（1）隔离物体分别对物体A、B

及滑轮作受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律、转动定律列方程.27如令，可得（2）

B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC28

（3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩，转动定律29例15、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。mg0.5lcos解:重力矩由转动定律得:3031P.98例3

一长为质量为匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链O

相接，并可绕其转动.由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O

转动.试计算细杆转动到与竖直线成角时的角加速度和角速度.解细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定律式中得32P.98例5

一长为质