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构造法是一种富有创造性的解题方法，是函数思想的重要表达。对于某些数学问题，当用直接法难以解决时，若用构造法在条件和结论之间构造出一座解决问题的“桥梁”，那么问题便迎刃而解，解题过程简捷领略。本文撷取几例探讨如何构造函数巧证不等式。

例1：证明x∈（0，+∞）时，x＞ln（1+x）。

分析：查看x＞ln（1+x）的布局，构造函数f（x）=x-ln（1+x），然后利用函数的单调性证明不等式。

证明：构造函数f（x）=x-ln（1+x）

∵x∈（0，+∞）时，f"（x）=1-=＞0

∴f（x）在（0，+∞）上是增函数

又f（x）在x=0处连续且f（0）=0

∴x∈（0，+∞）时，f（x）=x-ln（1+x）＞f（0）=0

∴x∈（0，+∞）时，x＞ln（1+x）

点评：此题利用“作差对比法”构造函数，化归为研究函数的单调性，简捷解题。

例2：设f（x）是R上的连续函数，且x∈时得志2f（x）+xf"（x）>x2。

求证：x∈R时（x）>0。

分析：查看条件：“2f（x）+xf"（x）>x2?圯x>0时，2xy（x）+x2f（x）>x3”的布局可类比联想到的导函数，从而转化为研究函数F（x）=x2f（x）的性质，使原不等式得证。

证明：构造函数F（x）=x2f（x），那么F"（x）=2xf（x）+x2f"（x）

∵x∈R时，2xf（x）+xf"（x）>x2

∴x=0时f（0）>0且x>0时F"（x）=2xf（x）+x2f"（x）>x3>0

x＜0时F"（x）=2xf（x）+x2f（x）

∴F（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数

∴x≠0时x2f（x）>f（0）=0

从而x≠0时F（x）>0，又f（0）>0

∴x∈R时f（x）>0

点评：此题从“布局”入手，类比联想，以构造函数为突破口，高明解题。

例3：已知a1a2……an∈R+，且a1+a2+……+an=1。

求证：a12+a22+……+an2≥（n∈N且n≥2）。

分析：结论“a12+a22+……+an2≥”，可转化为“4-4n（a12+a22+……+an2）≤0”，从而可联想构造一个关于x的二次函数。

证明：构造函数f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+……+（x-an）2，那么由已知得：f（x）=nx2-2（a1+a2+……+an）x+a12+a22+……+an2=nx2-2x（a12+a22+……+an2）

∵x∈R时恒有f（x）=（x-a1）2+（x-a2）2+……+（x-an）2≥0成立

∴△4-4n（a12+a22+……+an2）≤0

从而有a12+a22+……+an2≥。

点评：此题从命题的结论入手，高明构造二次函数，使不等式的证明柳暗花明，这一构造思想具有丰

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