2023高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形热点探究训练2三角函数与解三角形中的高考热点问题文北师大版

PAGEPAGE1热点探究训练(二)三角函数与解三角形中的高考热点问题1．(2022·江苏高考)在△ABC中，AC＝6，cosB＝eq\f(4,5)，C＝eq\f(π,4).(1)求AB的长；(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))的值．[解](1)因为cosB＝eq\f(4,5)，0<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5).2分由正弦定理知eq\f(AC,sinB)＝eq\f(AB,sinC)，所以AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(6×\f(\r(2),2),\f(3,5))＝5eq\r(2).5分(2)在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以A＝π－(B＋C)，于是cosA＝－cos(B＋C)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,4)))＝－cosBcoseq\f(π,4)＋sinBsineq\f(π,4).7分又cosB＝eq\f(4,5)，sinB＝eq\f(3,5)，故cosA＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(\r(2),10).9分因为0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\f(7\r(2),10).因此，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝cosAcoseq\f(π,6)＋sinAsineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),10)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(7\r(2),10)×eq\f(1,2)＝eq\f(7\r(2)－\r(6),20).12分2．(2022·山东高考)设f(x)＝2eq\r(3)sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的递增区间；(2)把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图像向左平移eq\f(π,3)个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))的值．[解](1)f(x)＝2eq\r(3)sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2＝2eq\r(3)sin2x－(1－2sinxcosx)＝eq\r(3)(1－cos2x)＋sin2x－1＝sin2x－eq\r(3)cos2x＋eq\r(3)－1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\r(3)－1，3分由2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以f(x)的递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))k∈Z)).6分(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＋eq\r(3)－1，8分把y＝f(x)的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋eq\r(3)－1的图像，再把得到的图像向左平移eq\f(π,3)个单位，得到y＝2sinx＋eq\r(3)－1的图像，即g(x)＝2sinx＋eq\r(3)－1，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝2sineq\f(π,6)＋eq\r(3)－1＝eq\r(3).12分3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.cosB＝eq\f(\r(3),3)，sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9)，ac＝2eq\r(3)，求sinA和c的值．[解]在△ABC中，由cosB＝eq\f(\r(3),3)，得sinB＝eq\f(\r(6),3)，2分因为A＋B＋C＝π，所以sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(\r(6),9)，4分又sinC<sinB，所以C<B，可知C为锐角，所以cosC＝eq\f(5\r(3),9)，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(6),3)×eq\f(5\r(3),9)＋eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),9)＝eq\f(2\r(2),3).8分由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(\f(2\r(2),3)c,\f(\r(6),9))＝2eq\r(3)c，又ac＝2eq\r(3)，所以c＝1.12分4．(2022·郑州二次质量预测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos2C－cos2A＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋C))·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－C)).(1)求角A的值；(2)假设a＝eq\r(3)且b≥a，求2b－c的取值范围．【导学号：66482189】[解](1)由得2sin2A－2sin2C＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)cos2C－\f(1,4)sin2C))，3分化简得sinA＝eq\f(\r(3),2)，故A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3).5分(2)由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(a,sinA)＝2，得b＝2sinB，c＝2sinC，7分故2b－c＝4sinB－2sinC＝4sinB－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3sinB－eq\r(3)cosB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B－\f(π,6))).9分因为b≥a