2023高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4节数系的扩充与复数的引入课时分层训练文北师大版

PAGEPAGE4课时分层训练(二十六)数系的扩充与复数的引入A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．(2022·南昌一模)在复平面内，复数(1＋eq\r(3)i)·i对应的点位于()【导学号：66482219】A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[复数(1＋eq\r(3)i)i＝－eq\r(3)＋i在复平面内对应的点为(－eq\r(3)，1)，位于第二象限，应选B.]2．(2022·全国卷Ⅰ)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，那么a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题意知a－2＝1＋2a，解得3．(2022·山东高考)假设复数z＝eq\f(2,1－i)，其中i为虚数单位，那么eq\o(z,\s\up12(－))＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up12(－))＝1－i.]4．(2022·全国卷Ⅰ)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，那么|x＋yi|＝()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，应选B.]5．设z1，z2是复数，那么以下命题中的假命题是()A．假设|z1－z2|＝0，那么eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)B．假设z1＝eq\x\to(z2)，那么eq\x\to(z1)＝z2C．假设|z1|＝|z2|，那么z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)D．假设|z1|＝|z2|，那么zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)D[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，假设z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，那么|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命题．]6．假设i为虚数单位，图4­4­3中复平面内点Z表示复数z，那么表示复数eq\f(z,1＋i)的点是()【导学号：66482220】图4­4­3A．E B．FC．G D．HD[由题图知复数z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示复数eq\f(z,1＋i)的点为H.]7．复数z＝1＋eq\f(2i,1－i)，那么1＋z＋z2＋…＋z2019＝()A．1＋i B．1－iC．i D．0D[z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i1＋i,2)＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝eq\f(1×1－z2020,1－z)＝eq\f(1－i2020,1－i)＝eq\f(1－i4×505,1－i)＝0.]二、填空题8．(2022·江苏高考)复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，那么z的实部是________．5[因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.]9．a∈R，假设eq\f(1＋ai,2－i)为实数，那么a＝________.－eq\f(1,2)[eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2＋i＋2ai－a,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(1＋2a,5)i.∵eq\f(1＋ai,2－i)为实数，∴eq\f(1＋2a,5)＝0，∴a＝－eq\f(1,2).]10．复数z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，那么eq\f(y,x)的最大值为________.【导学号：66482221】eq\r(3)[∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由图可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).]B组能力提升(建议用时：15分钟)1．复数z1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，那么以下命题中错误的选项是()A．zeq\o\al(2,1)＝z2B．|z1|＝|z2|C．zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝1D．z1，z2互为共轭复数C[依题意，注意到zeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2＝eq\f(1－3,4)－eq\f(\r(3),2)i＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此选项A正确；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此选项B正确；注意到eq\x\to(z1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此选项D正确；注意到zeq\o\al(3,1)＝zeq\o\al(2,1)·z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝1，同理zeq\o\al(3,2)＝1，因此zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝0，选项C错误．综上所述，选C.]2．设f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的个数为()【导学号：66482222】A．1 B．2C．3 D．无数个C[f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，∴集合中共有3个元素．]3．集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假设M∩N＝{3}，那么实数m3或6[∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m解得m＝6或m＝3.]4．复数z1＝cos15°＋sin15°i和复数z2＝cos45°＋sin45°i，那么z1·z2＝________.【导学号：66482223】eq\f(1,2)＋eq