应力状态与应变状态分析

1/1应力状态与应变状态分析第8章典型习题解析

1.试画出下图所示简支梁A点处的原始单元体。

图8.1

解：（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。再取A点偏上和偏下的一对与xz平行的平面。截取出的单元体如图(d)所示。(2)分析单元体各面上的应力:

A点偏右横截面的正应力和切应力如图(b)、(c)所示，将A点的坐标x、y代入正应力和切应力公式得A点单元体左右侧面的应力为：

zMyIσ=b

IQSzz

*=

τ

由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ；前后边面为自由表面，应力为零。在单元体各面上画上应力，得到A点单元体如图(d)。

2.图(a)所示的单元体,试求（1）图示斜截面上的应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面的位置及该平面上的正应力，并画出该单元体。解：（1）求斜截面上的正应力

?30－σ和切应力?30－τ

由公式

MPa5.64)60sin()60()60cos(2100

5021005030-=??++-=

?-σ

MPa95.34)60cos()60()60sin(2100

5030=?--+?=

?-τ

（2）求主方向及主应力

8

.010050120

22tan-==--

=yxxσστα?-=66.382α

?=?

-=67.7033.1921αα

最大主应力在第一象限中，对应的角度为

070.67α=?，主应力的大小为

1

5010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa22σ=

??--??=－＋－－＋

由

yxσσσσαα+＝＋2

1

可解出

2

1

(50)100(121.0)71.0MPaxyασσσσ=+=-+-=-－

因有一个为零的主应力，因此

)33.19(MPa

0.7133?--＝第三主方向＝ασ

画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面的法线方向

25

.1120100

502tan==

'α?='34.512α

?='?

='67.11567.2521αα

主切应力为

'

2

'

1

MPa04.96)34.51cos()60()34.51sin(2100

50ααττ-=-=?-+?--=

此两截面上的正应力为

MPa0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100

502100501

=?--?--++-=

'ασ

MPa0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100

502100502

=?--?--++-=

'ασ

主切应力单元体如图所示。

由

y

xMPaσσσσαα+==+=+''500.250.252

1

，可以验证上述结果的正确性。

3.试用图形解析法，重解例2。解：（1）画应力圆

建立比例尺，画坐标轴τσ、。对图(a)所示单元体，在τσ

-平面上画出代表xxτσ、的点A(-50,-60)和代表

yyτσ、的点B(100,60)。连接A、B，与水平轴σ交于C点，以C点为圆心，CB（或CA）

为半径，作应力圆如图所示.

(2)斜截面上的应力

在应力圆上自A点顺时针转过?60，到达G点。G点在τσ、坐标系内的坐标即为该斜截面上的应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G点的水平和垂直坐标值：

64.5ασ=-MPa

τ

α

=34.95MPa

(3)主方向、主应力及主单元体

图所示应力圆图上H点横坐标OH为第一主应力，即

1121.04MPaOHσ==

K点的横坐标OK为第三主应力，即

371.04MPaOKσ==-

由应力圆图上可以看出，由B点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y

轴顺时针转

0α，且

00238.66,19.33αα=?=?

应力圆图上由A顺时针转到K点(?=∠66.38ACK)，则在单元体上由x轴顺时针转过?33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图(b)所示。

（4）主切应力作用面的位置及其上的应力

图所示应力圆上N、P点分别表示主切应力作用面的相对方位及其上的应力。在应力圆上由B到N，逆时针转过?34.51，单元体上maxτ作用面的外法线方向为由y

轴逆时针转过?67.25，且

MPa04.96minmax==-=CBττ

minmaxττ和作用面上的正应力均为25MPa,主切应力作用面的单元体仍如图(c)所示。

4.如图所示两端封闭的薄壁筒同时承受内压强p和外力矩m的作用。在圆筒表面a点用应变仪测出与x轴分别成正负45?方向两个微小线段ab和ac的的应变ε45?＝629.4×10–6

，ε–45?＝－66.9×10–6

，试求压强P和外力矩m。已知薄壁筒的平均直径d＝200mm，厚度t＝10mm，E＝200GPa，泊松比μ＝0.25。

解：（1）a点为平面应力状态,在a点取出如图(c)所示的原始单元体，其上应力：

22,,42xyxpdpdm

ttdtσστπ=

==-

（2）求图8.4(c)斜单元体efgh各面上的正应力：

245245

32283228xy

xxyxpdm

tdtpdmtdtσσστπσσστπ-+=-=

+

+=+=-

（3）利用胡克定律，列出应变ε45?、ε–45?表达式

()()()()()()2454545245454511321181132118pdmEEtdtpdmEEtdtεσμσμμπεσμσμμπ??=

-=-++??????-=-+????＝

-

将给定数据代入上式

6

6

3213200210629.4100.751.252001081020010pmπ-?????=??+??

?????

6

6

321320021066.9100.751.252001081020010pmπ-????-?=??-??

?????

得内压强和外力矩

p＝10MPa，m＝35kNm

5.直径d=20mm、L=2m的圆截面杆,受力如图。试绘杆件中A点和B点的单元体受力图,算出单元体上的应力的数值,并确定这些点是否为危险点。

（c）

(a)（b）（d）

解：以下图为图各单元体受力图：

应力计算:

图（a）的A点:

aN

63.69MPAσ=

=-

图（b）的A点:

a

3

80

50.96MPd

16

τ=

=π图（c）的A点:

aN

127.38MPAσ=

=

B点

:

点

A点

A点

A)

(a)

(c)

(b点

B)

(d点

Bτ

τ

τ

aN

127.38MPAσ=

=,a

38050.96MPd16

τ==π图（d）中A点(压应力):

3

a

33z

M201025.48MP1W3.14(2010)32

-?σ===???B点:

*za

zQS4Q0.17MPIb3Aτ===

(b）中的A为危险点，（c）中的A、B为危险点，（d）中的A，B点均为危险点,相比之下A点的应力较大。

6.已知应力状态如图所示(应力单位:MPa)。试用图解法求:

(1)(a)、(b)中指定斜截面上的应力;并用解析法校核之;

(2)(c)、(d)、(e)上主应力的大小与方向,在单元体上画出主平面的位置,求最大切应力。

(a)300

斜截面单元本;(b)450

斜截面单元体;(c)纯切应力单元体;(d)压拉切单元体(e)拉压切单元体。

解：(a)按比例画出应力圆如下图,可得α=300

的斜截面的正应力和切应力为E点的坐标为

30a

45MP?σ=

30a

8.5MP?τ=

解析法校核：

xyxy

xa

xyxa

30505030

cos2sin2cos6045MP22225030sin2cos28.5MP22αασ+σσ-σ+-σ=

+

α-τα=

+=σ-σ-τ=α+τα===(b)用比例画出应力圆,E点的坐标为

45a

5MP?σ=

45a

25MP?τ=

解析法校核：

xyxy

xaxy

xa5050cos2sin2cos9020sin905MP22

22

50

sin2cos2sin9025MP2

2

αασ+σσ-σσ=+

α-τα=

+-=σ-στ=

α+τα=

?=

(c）应力圆如下图,与σ轴的交点即为主应力的对应点，从应力圆上可按比例直接量得

两个主应力之值分别为：

11a232a

OA50MP,0,OA50MPσ==σ=σ==-

主平面的方位可由应力圆上量得,因

112DOA90

?=∠=-

最大主应力作用面与x平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转的):

45

?=-

13

maxa

50MP2σ-στ=

=最大切力；

(d）应力圆与σ轴的交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：

11a

22a3OA70MPOA30MP,0σ==σ==σ=最大主应力作用面与x平面之夹角为(可由应力圆上得):

12FCA