《思想极限与极限思想》常平镇中心小学叶丽谦

思想的极限与极限思想——《圆的面积》教学设计东莞市常平镇中心小学叶丽谦【教学内容】人教版《义务教育教科书·数学》六年级上册，第67页。【教材分析】《圆的面积》是在圆的认识、面积概念、直边图形的面积计算等知识的基础上教学的，“曲边图形”的面积推导是第一次出现，要它转化成“直边图形”有一定难度。教材为了减轻难度，首先让学生在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，看有什么发现。目的之处在于学生通过观察、想象等分份数无限加倍时的状态，形象直观地感悟“化曲为直”的过程，体会极限思想的神奇，不但推导出圆的面积计算公式，而且逐步由感性认识上升为理性认识，有效发展了学生的逻辑思维能力。【学情分析】学生之前已了解圆的特征、学会计算圆周长的计算以及学习过由线段围成的平面图形的面积计算公式。而圆这样的曲线图形的面积计算，学生是第一次接触到，如何推导圆的面积公式还是有一定的难度。但是六年级学生已初步具有类推、转化等思想方法，学好本课内容将会对学生的空间观念、解决问题能力等有很大的提高。【设计理念】本课教学仅仅围绕“使学生获得数学的基本思想”这一重要课程目标，整体把握落实“化曲为直，感悟极限，归纳抽象”的核心目标来开展教学。这是学生第一次亲历从有限到无限的认识过程，因此“圆的面积”教学是渗透极限思想的良好契机。第一次是从数方格中渗透，在估计圆的面积大小中感悟到度量单位越小，圆的面积越精确。第二次是从剪拼成直边图形中渗透，在突破难点时感悟“无限逼近”和“等积变换”的含义，发展空间观念。第三次是从分割成直边图形中渗透，体会到圆内接正多边形的边数越多，其面积越接近圆的面积。通过这一主线来完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。【教学目标】知识与技能目标：引导学生推导出圆面积的计算公式，并能运用圆面积知识解决一些简单实际的问题，构建数学模型。过程与方法目标：经历圆的面积计算公式的推导过程，体会“转化”和“极限”的数学思想，发展空间观念。情感态度与价值观目标：感悟数学知识的内在联系，增强合作交流的意识，培养学习数学的兴趣。【教学重点】掌握圆的面积计算公式，能够正确地计算圆的面积。【教学难点】理解圆的面积计算公式的推导过程。【教学准备】【教学过程】创设情景，提出问题（一）课件播放月亮和白玉盘的图片谈话：“少时不识月，呼作白玉盘”，从数学的眼光看，为什么诗人李白会把月亮呼作玉盘？关于这个图形，你学过哪些知识？你还想知道什么？正月十五的月亮白玉盘学情预设：因为学情预设：因为月亮与白玉盘都是圆形，故称月亮为玉盘。关于圆，我们知道圆有无数条半径和直径、圆是个轴对称图形、圆的周长=2πr或πd……怎么求圆所占平面的大小？这节课一起来研究圆的面积。板书课题：圆的面积。学情预设：部分学生可能通过预习自学或课外阅读等途径知道圆的面积计算公式，老师先给予认可，再问：为什么这么算？学情预设：部分学生可能通过预习自学或课外阅读等途径知道圆的面积计算公式，老师先给予认可，再问：为什么这么算？【【设计意图：通过创设生活情境，渗透热爱大自然、保护环境的意识。揭题时，尊重优生已有的知识经验，自然地引入新课。】二、复习旧知，思考问题（一）回顾：以前推导图形面积时用的方法。1、长方形：数方格2、平行四边形：剪拼法转化成长方形3、三角形：两个完全一样的三角形拼成平行四边形4、梯形：两个完全一样的梯形拼成平行四边形（二）小结：1、数方格2、转化【【设计意图：回顾方法，唤醒已有的思考方法和活动经验，为学生自主探究圆的面积做铺垫。】三、合作探究，解决问题师：请利用手中的学具，尝试得到圆的面积。（一）数方格,从测量中发现极限思想1、出示：半径为2cm的圆在边长为2cm的小方格图里。谈话：这个圆占了4个小方格，也就是4×4=16cm²，能否说明这个圆的面积就是16cm²？学情预设：学生会发现圆的面积小于4r学情预设：学生会发现圆的面积小于4r²，因为圆在小方格中所占的面积大小不满一格，无法得到准确结果，而且误差很大。学情预设：小方格分得越小，计算出方格的面积就越接近圆的面积。学情预设：小方格分得越小，计算出方格的面积就越接近圆的面积。2、出示：半径为2cm的圆在边长分别为、1cm、的小方格图。谈话：闭上眼睛想象，当方格边长越来越小，小到如沙粒、尘土一般，继续无穷小的时候，圆所占方格的面积就是圆的面积。但数起来很麻烦，还有其他方法吗？【【设计意图：通过对比用不同面积单位进行测量的结果，体会面积单位越小，所得到的圆的精确度越高。深刻了解度量单位的意义，并初步渗透极限的数学思想。】（二）剪拼法,从操作中体会极限思想1、猜想圆的面积和谁有关。仔细观察，圆的面积可能与什么关？学情预设学情预设：学生可能说出多种猜想，教师先给予认可；如果学生不能说出与半径有关，教师可直接引入下面环节，让学生观察课件演示。教师利用课件变动圆的半径的长短，面积在格子图上不断变化。提问：半径变了，面积变了吗？【【设计意图：提供感性的学习材料让学生大胆地有指向性地猜测圆的面积与半径有关，唤起学生主动参与学习的欲望。】2、探索圆的面积与半径的关系。（1）小组合作，动手操作。在硬纸上画一个圆，把圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似于等腰三角形的小纸片拼一拼，你能发现什么？初步汇报：如何剪拼，把圆转化成什么图形？拼成的图形与原来的圆有什么关系？学情预设：预设1：把一个圆平均分成4份，拼成一个不规则图形，面积不变。预设2：把一个圆平均分成8份，拼成一个不规则图形，近似平行四边形，面积不变。预设3：把一个圆平均分成16份，拼成一个不规则图形，近似平行四边形，面积不变。（2）结合课件，观察反思。提问：如果把圆平均分成64份、128份、512份……无限等分下去，你有什么想法？学情预设：学情预设：分的份数越多，每一份就会越小，拼成的图形就越接近一个长方形，而且面积不变。这样就把求圆的面积转化成了求长方形的面积。提问：这个近似的长方形的长和宽与圆的周长、半径有什么关系？学情预设：从上图可以看出圆的半径是r学情预设：从上图可以看出圆的半径是r，长方形的长近似圆周长的一半，也就是πr，宽近似于r。因为长方形的面积＝长×宽，所以圆的面积＝πr×r＝πr²。【设计意图：借助已有数格子方法的经验类比推理、空间想象，进一步感悟极限思想。适时借助课件演示，帮助学生通过等积变形，经历图形转化，推导圆的面积计算公式。】（3）理顺思路，汇总提升。根据上面的推导过程由上往下形成板书：如果用S表示圆的面积，那么圆的面积计算公式就是：S=πr²。小结：要求圆的面积，必须要知道圆的半径。追问：如果已知圆的直径，怎么求周长呢？学情预设：根据r=，则S=学情预设：根据r=，则S=π（）²。【【设计意图：巩固圆的面积公式，要求圆的面积，要先知道圆的半径。】（4）同桌互说，看书质疑。【【设计意图：语言更能训练思维的逻辑性和严密性，人人都说出来，能更好地理清推导过程。】割圆术,从拓展中领悟极限思想提问：观察圆内接正4边形、正5边形、正6边形、正12边形，你有什么发现？学情预设：圆内接正多边形的边数越多，它的形状就越像圆，分得的每个小三角形的面积越接近小扇形的面积，三角形的底越接近圆的弧。当平均分成无限份时，就会一样了。学情预设：圆内接正多边形的边数越多，它的形状就越像圆，分得的每个小三角形的面积越接近小扇形的面积，三角形的底越接近圆的弧。当平均分成无限份时，就会一样了。提问：用“割圆术”的方法如何得到圆的面积？学情预设：学情预设：三角形的底相当于圆的周长的一部分，假设分得n个小三角形，则一个小三角形的底可以写成×2πr。三角形的高相当于圆的半径r，则一个小三角形的面积就是×2πr×r÷2，再乘三角形的数量n个，最后结果是πr²。小结：无论用什么方法，都能够得到圆的面积S=πr²。【【设计意图：将“割圆术”这个数学文化融入推导圆的面积公式，进一步体会极限思想。】四、联系生活，实践运用1、公园草地上一个自动旋转喷灌装置的射程是10m，它能喷灌的面积是多少？学情预设：学情预设：自动旋转喷灌装置所在位置是圆心，最远的射程就是圆的半径，旋转时喷灌覆盖到的草地面积就是r=10m的圆的面积。【【设计意图：通过实际问题的解决，学生将书本的知识转化为能力。】2、小刚量得一棵树干的周长是。这棵树干的横截面近似于圆，它的面积大约是多少？学情预设：学情预设：要求树干横截面的面积，也就是求圆的面积。根据已知条件，周长=，先求出r，再根据圆的面积公式，求出S=πr²=×20²=1256cm²。【【设计意图：此题给学生展示了一种特殊情况，即当无法直接测量圆的半径或直径时，可先测量圆的周长，通过“用周长——求直径——再求半径——得出面积”，为学生解决实际生活中的类似问题提供了方法。】3、有一根绳子长，小红、小东和小林分别想用这根绳子在操场上围出一块地。怎样围面积最大？学情预设：学情预设：若用的绳子围成正方形，则正方形的面积为²；若围成圆形，则圆的面积为㎡，因此，周长相同的情况下圆的面积最大。追问：为什么草原上蒙古包的底面是圆形的？【【设计意图：培养学生用数学原理解释生活现象的意识和能力。】五、总结评价，拓展延伸1、这节课你学会了什么？2、在计算圆的面积时，必须先知道什么？3、在推导圆的面积时，除了可以转化为平行四边形，还可以转化为三角形和梯形，有兴趣的同学课后可以试试。【【设计意图：通过独立思考，放手让学生自主获取并总结全课，理清思路。课终教师再次提出新问题，激活学生的问题意识，将化曲为圆的研究方法延伸到课后的进一步探究学习中。】【板书设计】【设计反思】本课教学紧紧围绕“使学生获得数学的基本思想”这一重要课程目标，整体把握落实“化曲为直，感悟极限，归纳抽象”的核心目标来开展教学。具有以下几方面的突出特点：确立核心思想，统领多种方法，逐步感悟渗透。这是学生第一次亲历从有限到无限的认识过程，因此“圆的面积”教学是渗透极限思想的良好契机。第一次是从数方格中渗透，在估计圆的面积大小中感悟到度量单位越小，圆的面积越精确。第二次是从剪拼成直边图形中渗透，在突破难点时感悟“无限逼近”和“等积变换”的含义，发展空间观念。第三次是从分割成直边图形中渗透，体会到圆内接正多边形的边数越多，其面积越接近圆的面积。通过这一主线来完成对新知的建构过程，建立数学模型，培养解决问题的综合能力。回顾研究方法，唤醒活动经验，搭建探究平台。《数学课程标准（2022年版）》提出“培养学生从数学的角度思考”，即培养数学思维。数学思维经验是依靠长期活动经验积累获得的，也是解决新问题、进行数学创造的根本。“圆的面积”教学给予对面积概念及已有直边图形的面积计算公式的学习，那么，如何借力这些原有知识和经验作为迁移基础，创设一个真实有效、生活活泼、主动和富有个性的学习过程呢？教师在教学中组织学生回顾以往探究平面图形的面积的研究方法，进一步揭示面积的本质特征和知识间的内在联系。以唤醒学生已有思考方法和活动经验，为学生自主探究圆的面积营造了自由的空间。借助辅助手段，增强直观形象，助推