第三讲 不等式与线性规划

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不等式与线性规划一、选择题1．沈阳质监)已xR，则“－3x＞”是“x－4＞0”的()A．充分必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：注意到x

－3x＞0⇔x＜或x＞3，－＞0＞4.

－3x＞0不能得出x－4＞0；反过来，x－4＞0可得出x－x＞0，因“x－3x＞0”是“－4＞0”的必要不充分条件，选B.答案：B2．大庆质检)若ab＜0，则下列不等式不能成立的是()11＞B.＞a－bC．|a＞|bD．＞解析：由a＜b0，可用特值法加以验证，1取a＝－2，＝－1，则＞不成立，选a－b答案：Ay≤x3．广东卷)若变量，满足约束条件≤1，y≥－1最大值和最小值分别为和n，则－n＝()A．8B．7C．6D．5

，且z＝2＋的解析：作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线－1＝－2x＋经过点A的值最大⇒y＝1－1

＝＝×2max－1－1－1＝3.当直线＝－2x＋经过点时，z值最小，由⇒x－1则n＝＝×(－1)－1＝－3，故－n＝6.min答案：C

，≤

2，4平面直角坐标系的区D由不等式组，x≤

给定

1＋x1231＋x12331313x1313→→(x，y为D上的动点，点A的坐标为2，则z＝·OA的最大值为)A．42B．3C．4D．3→→解析：z＝OM＝，，1)＝＋.≤

2，由，x≤2

画出可行域，如图阴影部分所示．作直线l：y＝－，由图知，0当平移直线l至l的位置时，01z得最大值，此时l过点(2，2)，1故z＝×＋＝4.max答案：C5云南第一次检测)已知f()＝()

，x＜0，＞0

则f(x≥－的解集是－＋∞)B.－(0,4]C.，＋∞)D.，1＋解析：当x＜0时，()－2，即≥－2，可转化为1＋x≤－2，得1－；x＞0，f()≥－2，logx≥－2，可转化log≥4解02＜x≤4.综上可知不等式的解集为－答案：B6(2014·重庆卷已知△ABC的内满足A＋－B＋)＝C

2222228222322286464212222228222322286464212x2xxab1120ababab1－A－＋，面积满足1≤≤2，记a，b，分别为A，，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()A．(b＋cB．(a＋b2C．6≤≤12D．12≤abc≤241解析为A＋＋C＝sin2＋sin(－B＋)＝C－A－B)＋得11＋sin2B＋＝即A＋)＋(A－B)]＋sin[(＋B)－－B)]＋＝，1整理得2sinCcos(A－)＋2sinC＝C[cos(A－)－cos(＋B)]＝整理得1111C＝，即ABsin又＝ab＝bcA，因此111S＝bcAsinsin＝c.1≤S≤2得≤ac≤2，8≤≤162选项C不一定成立＋ca>0bc(b＋)>bca，即b＋c)>8选项A一定成立又＋b>>0因此ab(a＋b)>abc≥8即(＋b，显然不能得出(a＋b，选项B一定成立．综上所述，选A.答案：A二、填空题x7．合肥质检)若于任意＞0，≤a成立，则a的取值范x＋3x＋1围是__________x1解析：＝，因为＞0，所以x＋≥2(当且仅当x＝1时取x＋3x＋13＋x＋11x11等号),则≤＝，即的最大值为，故a≥.13＋25＋3＋153＋x＋答案：a≥

15y≤x，8．湖南卷)若变量，满足约束条件≤4，y≥k，小值为－6则＝

且z＝2＋的最解析：画出可行域图略，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线＋＝0，可知在点，)＝2＋y取得最小值，故z＝＋kmin＝－6，解得＝－2.答案：－29(2014·山西诊断已知a都是正实数数＝2a＋b图象过点(，11则＋的最小值是__________．解析：依题意得2a＋＝2a＋b1，＋＝a＋b＝3＋＋

aba2ab22222222xxxx－4x4x42aba2ab22222222xxxx－4x4x42xxxxxxxx212＋2

b2aba×＝＋，当且仅当＝，＝－＝－时取等号，因11此＋的最小值是322.答案：3＋22三、解答题lg2x10黄州月考已知函数(x＝的定义域为A9－求A；若B＝{x|x

－2x＋1－k

≥0}，且A∩≠∅，求实数k的取值范围．－2x＞0，解：由x＞0

解得－＜x02＜x＜3，∴A＝(－3,0)∪．－2x＋1－k≥0，∴当k≥0时，x≤1－k或≥1＋k，当k＜0，x≤1＋k或≥1－k，00，∵A∩≠∅，∴或≥－3k≤30，或或≥－3k≤3，

∴k∈[4,4]．11资阳二诊设函数f(x＝(4＋＋axa∈R：4若函数f()是定义在R上的偶函数，求的值；若不等式f()＋(－)≥mt＋对任意x∈Rt∈[2,1]恒成立，求实的取值范围．解：由函数f()是定义在R上的偶函数，则f(x＝f(－x恒成立，即(4＋＋＝log－＋1)ax，444＋1所以2ax＝＝log＝－x，4＋1所以(2a1)x＝0恒成立，1则2a1＝0，故a＝－.f()f(－)log＋1)＋axlog(4＋1)－ax＝log(4log＋44441)(4＋1)·(4＋1)＝log(2＋44)≥＋24×4)＝1.444所以mt＋m≤1对任意∈[－2,1]恒成，令ht)＝mt＋m，≤，由，

1解得－≤≤，故实数m的取值范围是12(2014·南通二调为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓单位：毫克/立方米)随着时

8－128－128－－1浓度(xx8－2间x单位：天)化的函数关系式近似为

y＝

16－0≤x≤4，，4＜x≤10.

若多次喷洒某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用．若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？若第一次喷洒2单位的净化剂天后再喷a(1≤a≤4)个单位的药剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化求a的最小值精确到0.1考数据：2取．解：因为一次喷洒4单位的净化剂，－，0≤≤4，所以浓度f(x＝4y＝－2x，＜≤10.则当0≤≤4，由

64－≥4，8－解得0≤≤8所以此时0≤≤4.当4＜x≤时，由－2x≥，解得x≤8，所以此时＜≤8.综合得0≤≤8一次投放个单位的净化剂有效净化时间可达8天设从第一次喷洒起，经