第二节二重积分的计算

第二节重积分的计算(一分布图

★关于积分限的确 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★例 ★例 ★例★利用对称性和奇偶性化简积分计 ★例★例 ★例 ★例★内容小 ★课堂练10-内容要一、在直角坐标系下二重积分的X型区域：{(xy|ax

1(x)y2(x， 2(

f(x,

对Y型区域：{(xy|cyd,1yx2y，f(x,y)dxdyddy2(y)f(x,

D二、交换二次积分次序的步

1(对于给定的二重积分bdx2x)f(x,

1(

ax

1(x)y2Dcyd

1(y)x2(

bdx2(x)f(x,y)dyddy2(y)f(x, 1( 1(三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计D的对称性，常会大大化简二重积分的计算..f(xy的对称性两方面例题选在直角坐标系下二重积分的计1（E01）xydDy1x2yx所围成的闭区域D解一X型2

2 y2

2 x

x2 xyd11xydydx1x2dx1

2dx84

18

解二将积分区域视为Y型2

2 x2

2 y3

y4 xydxydxdyy dy

2y dyy2

1 1

2

1 2

8 2D

1x2y2d,Dyx、x1y1所围成的闭区域解如图DX型,又是Y型.X型,

111x21x2

3

x2

23/2)x)11(|x|31)dx21(x31)dx13

3 若视为Yy1x2y2d

1y1x21x2D

x的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要3（E02）xydDy2xyx2D的闭区域如图DX型，也是Y型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分2

2

1xydD

xydxdy

1

y

dy

2

yy5584（E03）计算ey2D

Dyxy1y轴所围解D的图形.DX型区域,D0x1xy 1D

因ey2dy的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序.D表成Y型区域,D0y1,0xy,e

dxdy

dyy

dx

1dy1

dy

11ey

d(y2)

111 11D

2 例 计算|yx2|dxdy,其中D为1xD

0y解|yx2|dxdy(x2D1x21x2 2

1y)dy1y)dy(y 11x4x

11x21x41

例6exyD形

Dx0x1y0

y1解D是矩形区域,且exyexeyexydxdy1exdx1eydy(ex1)(ey1)(e

7（E04）R的直交圆柱面所围成的立体的体积 成的立体的体积

x2y2R2x2z2R2利用立体关于坐标平面的对称性只要算出它在第一卦限部分的体积V1然后再乘以8即可.如图.D{(x,y)0y

R2x2,0xzR2x2于是V1

RR2x2d

R2

R2R2R2R2

RR2x2

0

R(R2x2)dx2R3 故所求体积为V8V116R3交换二次积分次序的步 80

f(x,y)dy的积分次序解题设二次积分的积分限0x10y1x,可改写为0y10x1 所以0dx0f(xy)dy0

f(x, 9（E05）0dxx2f(xy)dy的积分次序解题设二次积分的积分限:0x1,x2yx,可改写为:0y1,yx yy y所以0dxx2f(xy)dy0

f(x,例10（E06）证 yb(

b(a、b均为常数,且a0

f(x)dx0(a

f证等式左端二次积分的积分限0ya,0xy可改写为0xaxy yb(

ab(

ab(

b(0dy0

f(x)dx0dxx

f(x)dy0 f(x)xdydx0(a

f22xx

2的积分次序

f(x,y)dy1

f(x,解题设二次积分的积分限

0y2x0y2x

0y1,1

x211所 原式0

f(x,2axx2122axx2

f(x,

(a0的积分次序解题设二次积分的积分限:0x 2y y22axa22axa2a原式a

a2a2

f(x,y)dx

a2a2

f(x,y)dx

dyy2f(x,a a 13

1/II1/

yey/xdx1/

1/

yey/xdx.y解exdx不能用初等函数表示,先改变积分次序.题设二次积分的积分限y1y1 1xy242411 y

2yyxy1x1x2yx2 x I1dx2exdy1x(eex)dx e 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计14（E07）y[1xf(x2y2dxdyDyx2yD所围成解g(xy)xyf(x2y2Dy轴对称,g(xy)g(x xyf(x2y2)dxdy

I ydxdy

1dx1ydy11(1x4)dx4

2 15I(xyD

D4x2y2解法一y积分,D

1x1111 1 I 2(xy1)dy dx

1x22(1x2)3/3

142

21

解法二xD22

14y14y

2y124y124y2

4y2I

dy2

解法三利用对称性Ixydxdy Dxf(xyxyx是奇函数,xydxdyDdxdy2D

I216（E08）计算x2D

其中区域D|x||y|解Dxyf(xyx2y2xyI4x2y2dxdy41dx1xx2y2dy41x2(1x)3dx1 3 注:D上求二重积分，则要繁琐很多17

1(cosy2sinx2)dxdyD

2,其中D0x1,0y证Dxycosx2dxdycosy2dxdy， (cosy2sinx2)dxdy