第三节 平面向量的数量积及平面向量应用举例-高考状元之路

第三节

平面向量的数量积及面向量应用举例预习设计

基础备考知识梳理1．平面向量的数量积若两个

向量a与b，它们的夹角为，数量

叫做a与b的数量积（或内积规定：零向量与任一向量的数量积为两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是2平面向量数积的几意义数量积a·b等a的长度a∣与b向上的投影3．平面向量数量积的重要性质(1)

的乘积．(2)非零向量

,a(3)当与b同时

a当a与b反时，(4)cos(5)|a

,a

|a4．平面向量数量积满足的运算律

（交换律

（为数(3)().5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量

a),bx,),2

则

由此得到：(1)若

x),

则

|

，或

|a(2)设

(x,y),(),2

则A，两间的距离

|AB|AB|(3)设

a),b,),

则

b典题热身1．下列四个命题中真命题的个为(

①若

0,

则

b;②若

且(ca(

2

2

2

.A.0.3答案：2．在△ABC中，

AC

则

AB.

()A.

323..D.232答案：3．已知平面向量

(4,

与a垂，则

()A.D.2答案：4．已知

b4,7),

则a在b上投影为)A.

.

135

c.

655

D65答案：5．已知

|6,a)

则向量与b的角()

c643

D

2答案：课堂设计题型一平面向量的数量积运算和向量的模

方法备考【例1】已知向量

33xa(cos,sin(cos,sin),且x[]2222(1)求(2)若

||;及f(x)a

求

f(x

的最大值和最小值，题型二利用向量的数量积求其夹角【例2】已知

a|a

11,()),22

求(l)a与b的夹；(2)a-b与a+b的角的余弦值题型三利用向量的数量积解决平行与垂直问题

【例3】设向量

(4,sincos(cos4sin).(1)若与b-2c垂直，求

的值；(2)求

||

的最大值；(3)若

求证：

//.题型四平面向量数量积的应用【例4】已知△的A、B、所的边分别是、b、，设向量b2).

mab),(sinBA(1)若

m//,

求证：△ABC为等腰三角形；(2)若

m

边长

c2,C

3

,

求△ABC的积．技法巧点1．向量数量积性质的应用向量数量积的性质

a

cos

因此平面向量数量积可以解决有关长度、角度、垂直的问题．2．证明直线平行、直线、线段相等等问题的基本方法(1)要证

,

可转化证明

或

CD|(2)要证两线段

AB//CD,

只要证存在一实数

成立即可．(3)要证两线段

AB

只需证

.0.失误防范1．数量积a·b中的符号“．不能省略，也不能用“×”来替代．2.a0

不能推出

a

，或

b

因为

a0

时，有可能

aa出

.4．一般地，

(

(b),

即乘法的结合律不成立．因一数量，所以

(

表示一个与c共(ba.线的向量，同理右边(a

(ba

表示一个与a共的向量，而a与c不一定共线，故一般情况下5．向量夹角的概念要领会，比正三角形中，

,

应为

20

而是60随堂反馈1．远调研）在△ABC中，已知abc成比数列，且

acos

34

,

则

等于()A.

3.2

.

答案：2台一模）已知向量a，的夹为

a||b|

则

|3a|

等于()AB.5D.4答案：3．(2011．湖北高考)若向量

b则与a夹角等于)A.

4

cD64答案：4．(2011．全国卷)设向量a，满足

||b

12

,

则

|ab|

()A2答案：

.

c..75．苏高考）已知

是夹角为

3

的两个单位向量，

ab12

若

则实数的为答案：

54高效作业

技能备考一、选择题1．(2010．安徽高考)若向量

1a(1,0),,22

则下列结论中正确的()A.a|

a

22

c

与b垂直

D.//答案：2．(2010．重庆高考)若向量ab满

则

|2a

()A答案：

.22

CD3(2010川高考设M是段BC的点A在线BC外果那么|AM|等()A.4D.1答案：

BC16,AB4．宁高考）平面上O，B点不共线，若

OA

则△的积等于)A|

a

|

a

2

2

2

2c.2

1a|2D2

aa

2答案：5．(2010．杭州质检向量

(1,2),b2.d2a

若

c//d,

则实数x的等于（）A.

11...2答案：6(2011头模拟如所示△ABC中ABABC

,

AD是BC上的高

AD.AC的值等于)A.4.8D.答案：二、填空题7．津高考）已知直线梯A中，

,AD

是腰DC上的动点，则

PAPB

的最小值为答案：82010．浙江高考）若平面向

b(

0,ab

且a与b-a的角为,则|a取值范围是答案：

(0,

233

)92011．浙江高考）若平面向量足|

且以向量邻的平行四边形的面积为

12

,

则

的夹角

的取值范围是答案：

[

,6

]

三、解答题10．苏高考）在平面角坐标系xOy中，已知点

(((1)求以线段AB、AC为边的平四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满

(ABtOC)

求t的．11．．南高考已向量