第4讲全等三角形的性质及判定

一、知识要

第讲全等三形的性质判定（12.1、12.2）1、等三角的性质1．全等形概念：能够完全重合的两个图形叫做等形．2．全等形性质：（）形状相同．（）大小相等．3．全等三形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做等三角形．4．全等三形的表示：（1）两个全等的三角形重合时：重合的顶点叫做应顶点重合的边叫做对边；重合的角叫做对应角（2）如图，和全等，记作．通常对应顶点字母写在对应位置上．5．全等三形的性质：（）全等三角形的对应边相等；（2）全等三角形的对应角相等．（3）全等三角形的周长、面积相等．6．全等变：只改变位置，不改变形状和大小的图形变换．平移、翻折（对称）、旋转变换都是全等变换．7．全等三形基本图形翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素2、全三角形判定（1）全等三角形的判定——边边边公理三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或SSS”．“边边边公理的实质：三角形的稳定性（用三根木条钉三角形木架）．（2）全等三角形的判定——边角边公理两和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成边角边”或SAS”．（3）全等三角形的判定——角边角公理两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为“角边角”或ASA”（4三角形的判定——角角边论两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等称角角边”“AAS．（5直角三角形全等的判定—斜边直角边公理斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．简写成“斜边直角边”或HL．3、定直角角形全等的法选择①一般三角形全等的判定方法都适用；②斜边-直角边公理一般三角形

直角三角形条件边角边（）,角边角（ASA）斜边、直角边（HL）边边边（SSS）,角角边（AAS）性质对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等、对应线段（如对应边上的高、中线、对应角平分线）相等备注判定三角形全等必须至少有一组对边相等注意：判定两个三角形全等必须具备的三个条件中“边”是不可缺少的，边边角）和角角角AAA）不能作为判定两个三角形全等的方法。/

技巧平：证明两个三角形全等时要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已具备了哪些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论的内在联系，从而选择最适当的方法。根据三角形全等的条件来选择判定三角形全等的方法，常用的证题思路如下表：已知条件两角一角及其对边一角及邻边两边

寻找的条件夹边或任一边任一角角的另一邻边或边的另一邻角或边的对角夹角或另一边或直角

选择的判定方法ASA或AASAASSAS或ASA或AASSAS或SSS或HL4、明关于角形全等的骤：（）读题：明确题中的已知和求证；（2）要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中（3）分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。有公共边的，公共边一定是对应边，有公共角的，公共角一定是对应角，有对顶角，对顶角也是对应角（4）先证明缺少的条件（5）再证明两个三角形全等（要符合书写步骤：先写在某两个三角形中、然后写条件，再写结论）二、例题讲例（SSS）如图，已知，CB=CD,那么∠B=∠D吗？为什么？分析：要证明∠B=∠D，可设法使它们分别在两个三角形中，再证它们所在的两个三角形全等，本题中已有两组边分别对应相等，因此只要连接AC边即可构造全等三角形。解：相等。理由：连接AC，在△和△ADC中CD

△ABC≌△ADC（SSSB=∠D（全等三角形的对应角相等）点评：证明两个角相等或两条线段相等，往往利用全等三角形的性质求解。有时根据问题的需要添加适当的辅助线构造全等三角形。例2.（SSS）如图，ABC一个风筝架，AB=AC,AD连接A与BC中点D的支架，证明AD⊥分析：要证AD⊥BC，根据垂直定义，需证∠∠ADC,而∠ADB=∠ADC可由△ABD≌△求得。证明：D是的中点，AC在△ABD与△ACD中

ABD

△ABD≌△ACD(SSS)，∠ADB=ADC（全等三角形的对应角相等）∠ADB+∠ADC=角的定义）∠ADB=∠ADC=⊥BC垂直的定义）

AD

E/

例（SAS）如图，AB=AC,AD=AE,求证：∠B=∠C.分析：利用证明两个三角全等，∠A是公证明：在△ABE与△ACD中,AD

B

C△ABE≌△ACD(SAS),∠B=∠（全等三角形的对应角相等）例（SAS）如图，已知E,F是线段AB上的两点，且AE=BF,AD=BC,∠A=∠B,求证：分析：先证明AF=BE，再用SAS明两个三角形全等。证明：AE=BF(已知)AE+EF=BF+FE,即AF=BEADBC在△DAF与△CBE中,

DCAEFB

AFBE△DAF≌△CBE(SAS),DF=CE全等三角形的对应角相等）点评：本题直接给出了一边一角对应相等，因此根据再证出另一边（即AF=BE相等即可，进而推出对应边相等。例（ASA）如图，已知点E,C线段BF上，BE=CF,AB∥DE,∠ACB=∠F,求证：分析：要证AB=DE，结合BE=CF即BC=EF，∠ACB=∠F逆推，即要找到证△ABC△DEF的条件。证明:AB∥DE,∠B=∠DEF.又BE=CF，BE+EC=CF+EC,即DEF在△ABC与△DEF中,

ADB△ABC≌△DEF(ASA),AB=DE.例（AAS）如图，已知三点在同一条直线上，ACDE,AC=CE,∠ACD=∠B求证：△ABC≌△CDE.分析：在△ABC与△CDE中，条件只有还需要再找另外两个条件，

D由

AC∥DE，可知∠B=∠于是△ABC≌△CDE的条件就有了。

A证明：AC∥，∠ACB=∠E,且∠ACD=∠D.又∠∠B,∠B=∠D.在△ABC与△CDE中,,

BC

ACCE/

．．．．Rt．．．．RtC解题规：通过两直平行，角相等时一常见的角相等的方，也是题的解题关。例（HL）如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠D为斜边BC上一点，且BD=BA,过点D作BC得垂线，交AC于点E，求证：AE=ED.分析：要证AE=ED，可考虑通过证相应的三角形全等来解决，但图中没有现成的三角形，因此要考虑添加辅助线构造出两线段所在的三角形，结合已知条件，运用“三点定形法”知，连接即可。证明：连接BE.ED⊥BCD,EDB=

A

E在Rt△ABE与Rt△DBE中，

BABE

BDRt△ABE≌eq\o\ac(△,Rt)DBE(HL),AE=ED.解题规：连接BE构造两个角三角是本题的解关键。特别提：连公共边常作得助线之一。三、综合练一、选题1．如图，给出下列四组条件：①

AB，BC，AC②DE，

；③

BC，

；④

ABDEACDF，

．其中，能使

ABC≌△DEF

的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．组2.如，

D，

分别为

ABC

的

，

边的中点，将此三角形沿

折叠，使点

C

落在

边上的点

处．若CDE等于（）A．．C．．58°如图四

是

上任意一点，

，还应补充一个条件，才能推

eq\o\ac(△,出)eq\o\ac(△,)≌△APD

．从下列条件中补充一个条件，不一定推出

APC

的是（）A

B

CC．

ACBADB

D．

CABDAB如图，ABCDEF中已有条件AB=DE，还需添加个条件才能使BDEF，不能添加的一组条件是()∠∠B.BC=EFAC=DF∠∠B=D.∠A=D，如图eq\o\ac(△,，)中C=90°，是∠平分线⊥AB于E，若=10cm则BD+DE=A．10cmB．

PD图（四）

A

△≌△BC=EFAC=BCCDC．6cmD．如图，在中，

，ED是AC的直平分线，交AC于D，交

BC

A

E

B于点．知

BAE

，则的度数为（）

AD/B

E

C

DBEADBE

30

BC．

50

D．60．如图，

A

，

，

ACA

的度数为（）A

AAB．30°C．35°D40°

B．如图，ACAD＝，有（）A垂直平分CDB．垂平分

CC．与CD互垂直平分DCD平ACBB．尺规作图作的平分线方法如下：以O为心，任意长为半径画弧交

C、

于

C

、

，再分别以点

C

、为圆心，以大于长半径画弧，两弧交于点，作射线AB．ASA

法

△OCP△ODPA

的根据是（）C．AAS．SSS10.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,则点D到AB的距离为()OA.5cmB.3cm

CA

D

P

BC.2cmD.不能确定CBD11．如图OP平，，PBOB，足分别为A，．下列结论中不一定成立的是（）AC．

PAOB

BD．

平分垂直平分

A12.如图，已知加下列一个条件后，仍无法判定的（）ACBCDB∠BACDAC

O

D

PBC．∠BCADCAD．∠BD13.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）

A

C……

B第

第

第A

2

B

4

C．

4

D．

二、填题如图，知

AB

，

BAEDAC

，要使

≌

ADE

，可补充的条件是（写出一个即可2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD分∠BAC交BC于⊥AB于E,且△DEB的周长为如图，

，请你添加一个条件

OD

（只添一个即可4.观

A

察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个三角形中白色三角形有

B

E

C

D

个．

DC

A5.已知：如图，△OAD≌OBC，O＝°，∠＝25°，则AEB＝度如图所AB=AD，∠1=∠2添加一个适当的条件，eq\o\ac(△,使)ABC≌△ADE则需要添加的条件________.D/个个

B

OE

AC个

DADCD．三、解题DADCD．如图，知AB=AC，AD=AE求证：BD=CE.

A2.如，在

ABC

中，

AB，分别以

，

为边作两个等腰直角三角形

ABD

和

ACE

，使BAD90（）DBC的数）求证CE．BD如图，△ABE中AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝EAC,、交于O.求证：△ABC≌△；(2)＝OE.如图，是等边ABC的AB上一动点，以CD为一边

A

向上作等边△EDCAE找出图中的一组全等三角形，并说明理由．如图，和DCAC=DB与DB交

D

A

C

E

于点MO（1求证：ABC）过点作∥，点BB交于点N判断线段与CN的数量关系证你的结论．M6.如图，四边形ABCD的角线与BD相于O点，．

E

作BN∥ACCN与求证）ABCADC）．．如图，在和ABD中，现给出如下三个论断

BB；；③．选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．AO4（1写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示Ｃ．（2请选择一个真命题加以证明．

C你选择的真命题是：

．

Ａ

Ｂ证明：已知：图B、