湖北省武汉市2022届高三毕业生四月调研数学（理）试卷（含答案）

武汉市2022届高中毕业生四月调研测试理科数学一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数是（）A．B．C．D．2.已知集合，，若，则实数的取值集合为（）A．B．C．D．3.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的属于（）A．B．C．D．4.某几何体的三视图如图所示，则在该几何体的所有顶点中任取两个顶点，它们之间距离的最大值为（）A．B．C．D．5.一张储蓄卡的密码共有位数字，每位数字都可以从中任选一个，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码最后一位数字，如果任意按最后一位数字，不超过次就按对的概率为（）A．B．C．D．6.若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．7.已知直线与双曲线的右支有两个交点，则的取值范围为（）A．B．C．D．8.在中，角、、的对应边分别为，，，条件：，条件：，那么条件是条件成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．10.若，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．11.函数的图象在上恰有两个最大值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．12.过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，，分别交轴于，两点，为坐标原点，则与的面积之比为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则．14.已知向量，，满足，且，，，则．15.已知，为奇函数，，则不等式的解集为．16.在四面体中，，则四面体体积最大时，它的外接球半径．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知正数数列满足：，.（1）求，；（2）设数列满足，证明：数列是等差数列，并求数列的通项.18.如图，在棱长为的正方体中，，分别在棱，上，且.（1）已知为棱上一点，且，求证：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.19.已知椭圆：，过点作倾斜角互补的两条不同直线，，设与椭圆交于、两点，与椭圆交于，两点.（1）若为线段的中点，求直线的方程；（2）记，求的取值范围.20.在某市高中某学科竞赛中，某一个区名考生的参赛成绩统计如图所示.（1）求这名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生竞赛成绩服正态分布，其中，分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么该区名考生成绩超过分（含分）的人数估计有多少人？（3）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随机抽取名考生，记成绩不超过分的考生人数为，求.（精确到）附：①，；②，则，；③.21.已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为，的参数方程为（为参数，）.（1）写出和的普通方程；（2）在上求点，使点到的距离最小，并求出最小值.23.[选修4-5：不等式选讲]已知.（1）在时，解不等式；（2）若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.

武汉市2022届高中毕业生四月调研测试理科数学参考答案一、选择题1-5:BDABC6-10:BDABD11、12：CC二、填空题13.14.15.16.三、解答题17.（1）由已知，而，∴，即.而，则.又由，，∴，即.而，则.∴，.（2）由已知条件可知：，∴，则，而，∴，数列为等差数列.∴.而，故.18.解：（1）过作于点，连，则.易证：，于是.由，知，∴.显然面，而面，∴，又，∴面，∴.连，则.又，，∴面，∴.由，，，∴面.（2）在上取一点，使，连接.易知.∴.对于，，，而，由余弦定理可知.∴的面积.由等体积法可知到平面之距离满足，则，∴，又，设与平面所成角为，∴.19.解：（1）设直线的斜率为，方程为，代入中，∴.∴.判别式.设，，则.∵中点为，∴，则.∴直线的方程为，即.（2）由（1）知.设直线的方程为.同理可得.∴.∴.令，则，.在，分别单调递减，∴或.故或.即.20.解：（1）由题意知：中间值概率∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分.（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴.21.解：（1）定义域为：，当时，.∴在时为减函数；在时为增函数.（2）记，则在上单增，且.∴.∴在上有两个零点等价于在上有两个零点.①在时，在上单增，且，故无零点；②在时，在上单增，又，，故在上只有一个零点；③在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，，无零点；若，，只有一个零点；若时，，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，∴在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.22.解