第2讲 平面向量的基本定理及向量坐标运算

44第2讲

平面向量的基本定理及向量坐标运算一、选择题1．已知平面向量＝(1)，b＝－，x)，则向量＋()．A．平行于x轴B．平行于第一、三象限的角平分线C．平行于y轴D．平行于第二、四象限的角平分线解析

由题意得a＋b＝(x－1＋x2

)＝(0,1＋x

)，易知a＋b平行于y．答案

C2．已知平面向量＝(1,2)，b＝－2，)，且∥b，则2＋3b＝()．A．(－2，－C．(－4，－

B．(－3，－6)D．(－5，－10)解析

由＝(1,2)，b＝－2，m)，且∥b，得1×m＝2×(－2)

m＝－4，从而b＝(－2－那么2＋3b＝2×(1,2)＋3×(2－4)＝－4－．答案

C3．设向量a(1－3)，＝－，c＝(－1－2)，若表示向量a,4b－2c,2(a－)，d的有向线段首尾相连能构成四边，则向量为()．A．B．－2,6)C．，－6)

D．(－2，－解析

设d(，y，由题意知a，－4－2c－6,20)2(－)＝(4a4－2c－c)d0x－2＝－以d(－2－6)故选答案

D4．知向量a＝(1,2)，＝，＝．若λ为实数，(＋λb)∥，则λ＝()．1

B.

12

C．1D．解析

依题意得aλ＝(1λ，，

2aab2aab1由aλb∥，得1λ)43×＝，∴λ＝答案

B5.若向量=（1,2=（3,4AC=()A（4,6）B(-4，-6)C(-2，-2)D(2,2)解析因为=AB=,所以选A.答案A6．若，β是一组基底，向量x＋β(x，y∈R，则称(x，y)为向量γ在基底下的坐标已知向量在基底p＝＝(2,1)的坐标为(2,2)，则a另一组基底m＝－，下的坐标为

()．A．C．(－

B．，－2)D．(0,2)解析

∵a基底p下的坐标为(－，即a－2＋2＝，令axmyn(xyx2)y2，∴即＝42.∴a基底mn的坐标(0,2)答案

D二、填空题17．若三点(2,2)，B(a,，C(0，b)(≠0)线，则＋的值为_______．解析

→→＝(a22)AC－2b，依题意，(ab－4，11即ab2a＝0所以＋＝.答案

128．设向量，b足|a|＝5，b＝(2,1)，且a与b方向相反，则a的坐标为________．解析

设＝λb(＜0)，则||＝|λ||b|，

，ab122abaababa，ab122abaababa42ab∴|λ|＝

||||又|b|＝5，|a|＝5.∴|λ|＝2，∴λ＝－2.∴a＝λb＝－＝－4，－2)．答案

(－4，－→→→9．设OA＝(1，－2)，OB＝(a，－，＝(－0)，a，b，O坐标原点，12若A，，C三点共线，则＋的最小值为_解析

→→→→→→＝－OA(a1,1)＝OCOA(b1,2)．→→∵A，C点共线，∴ABAC∴2(a1)(－b1)，∴＋b1.∴＋＝a＋bb4a＝4＋≥4

b4a·＝b1当且仅当＝，即a，b时取等号．12∴＋的最小值是8.答案

810．在平面直角坐标系中，四边形的边ABDC，AD∥.已知点A(－2,0)，B(6,8)，(8,6)，则D的坐标为________．解析

由条件中的四边形的对边分别平行，可以判断该四边形是→→平行四边形设()则有＝DC即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(y)，解得(x，)＝(0，－2)．答案

(0，－三、解答题→→→→→1111．已点A(－1,2)，(2,8)以及＝AB，＝－，求点，坐标和33的坐标．

12123333331331212333333133解析

设点C，的坐标分别为xy)(xy)1122→

→由题意得＝(x1，y－2)，＝(3,6)，11→

→DA＝－1－x2－y)，＝(－3，－6)．2,2→→→→11因为A＝AB，＝－，所以有33＋1＝，－2＝，1＝0，解得＝4，1

－x＝1，和2.2＝－2，和＝0.2→所以点C，的坐标分别是0,4)、(－2,0)，从而C＝(－2，－4)．12已知a＝(1,2)，＝(－，当为何值时，ka＋与a－3平行？平行时它们是同向还是反向？解

法一

ka＋＝＋－＝(k－3,2＋2)，a－3＝(1,2)－3(－3,2)＝，－4)，当ka＋与a－3b平行时，存在唯一实数使ka＋＝λa3)，由－k＋2)＝(10，－4)得，310，＋2λ.

1解得k＝＝－，1∴当k＝－时，ka＋与a－3平行，11这时ka＋＝－a＋b＝－(a－b．1∵λ＝－<0，∴a＋b与a3反向．法二

由法一知ka＋＝(k－3,2k＋，a－3＝(10，－4)，∵k＋与－b平行1∴－3)×(－10(2＋2)＝，解得k＝－，此时ka＋＝－3，－＋2(a－3)．

3→22222244256523→222222442565225555mi1∴当k＝－时，ka＋与a－3平行，并且反向．13在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知向量a＝(2,1)，，θ，t)，→→→→若a，且||＝5|OA，求向量OB的坐标；若a，求＝cosθ－cosθ＋t→解∵＝(cosθ－1，)，

2

的最小值．→又a∥，∴2t－θ＋1＝0.∴cosθ－1＝2t①→→又∵AB＝|，∴－1)＋t＝5.②由①②得，5t

2

＝5，∴＝1.t＝±1.当t＝1时，θ＝3(舍去)，当t＝－1时，θ＝－1，→∴B(－1，－，∴OB＝(－1，－．由(1)可知t＝

cosθ－12

，θ－151∴y＝θ－θ＋＝θ－θ＋＝θ－＝θ－，453∴当cosθ＝，y＝－.→→→14．已知O(0,0)，(1,2)，(4,5)及O＝OA＋，求(1)t为何值时，Px上？P在y上？P第二象限？(2)四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．→→→解

(1)＝＋＝(1＋32＋3t)若Px轴上2＋3＝0∴＝2