高中数学导学案人教A版必修1教师用书导学案

课程纲要课程类型：基础学科类课程资源：新编(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．二、课程实施主持开发老师：____________________参与开发老师：____________________学习对象：高中一年级学生1．本模块安排18个单元(具体安排见目录)2．学习时间安排规模预设____________人学习时间从________年________月________日至________年________月________日．3．教学习时限：共45课时场地设备：教学班教室材重难点分析第一章集合与函数的概念学习重点元素与集合、集合与集合之间的关系，集合的基本运算，函数的概念，函数的单调性与奇偶性及函数的最值．学习难点集合元素的特性，集合的运算，函数符号f(x)的含义，函数的基本性质(单调性、奇偶性和最值)的判断、证明及应用．第二章基本初等函数Ⅰ学习重点指数和对数的运算性质，指数函数与对数函数的图象和性质，幂函数的概念．学习难点一、课程元素1．课程内容指数函数与对数函数的图象特征和性质的运用．第三章函数的应用学习重点本模块包括集合与函数的概念、基本初等函数Ⅰ和函数的应用三章内容．2．课程目标函数与方程的关系，函数零点存在性定理，几种不同增(1)集合了解集合的含义，体会元素与集合之间的“属于”关长函数模型的简单应用．学习难点系．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)函数与方程的关系，二分法的原理，函数建模．描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能三、教学建议“学案导学法”根据不同的学习内容，不同的教学环识别给定集合的子集．在具体情境中，了解全集与空集的含义．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合节，教师可以采用三种不同的组织形式：分组讨论式、学生的并集与交集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，主讲式与教师主讲式．会求给定子集的补集．能使用Venn图表集达合的关系及运分组讨论式，把全班同学分成若干学习小组，一般按4算．至6名学生指定其中一人为组长(也可以选举产生或自荐产域和值生)，过一段时间后需调换，由他组织学生进行自习讨论、域．了解映射的概念．在实际情境中，会根据不同的为一组划分，每个组都要有上、中、下三个层次(2)函数的概念与基本性质了解构成函数的要素，会求一的学生，些简单函数的定义需要选分析讨论等活动，形成结论后推举一位为代表向全班交流发析法)表示函数．了解言，其他人可以补充．各组之间可以采用多种形式的交流、简单的分段函数，并能简单应用．借助已学过的函数(特别是二次函数)，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意结合具体函数了解函数奇偶性的含义．会运用函数图象择恰当的方法(如图象法、列表法、解竞赛等．注意：此种组织形式如果组织不当，将导致学生学习成义．绩两极分化更加严重．为避免这种情况，在采用此种组织形式时，需培养后进生，提高他们的自信心与学习成绩，教师要有意识地引导小组其他同学，尽量让他们鼓励后进生积极有理指数幂的含发言参与讨论或作为本组代表进行展示．实数指数幂的意义，掌握幂的运算．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的理解和研究函数的性质．(3)基本初等函数Ⅰ了解指数函数模型的实际背景．理解义，了解学生主讲(教师在旁边指导)式，可由教师指定一人(也可以是几位学生合特殊点．知道指数函数及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．了解对数在简化运算中的数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．知道对数函数是一类指数函数y＝a与对数函数y＝logx(a>0且a≠1)互为反函作，主讲人由学习小组推荐或自荐)，先自是一类重要的函数模型．理解对数的行学习(与同学讨论及请求老师帮助与指导)，然后在班级内主讲，主讲过程中教师要给予必要的指导和帮助．主要是利概念作用．理解对用他的学习活动带动全班学习．注意：此种组织形式如果组织不当，将会把学习成绩较重要的函数模型．了解差的、比较内向的学生排斥在外，造成适得其反的效果，需x要十分重视．因此采用此种组织形式时，教师要有意识地a幂函数的概念．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y学习成绩中下的学生参与主讲，要多加鼓励，以提高他们的让数．了解1自信心与学习积极性．如果是学习成绩较好的学生进行主讲，那么，教师要积极引导学习成绩中下的学生提出点评(教师可以给予提示或帮助)．＝1x，y＝x2的图象，了解它们的变化情况．(4)函数的应用结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联教师主讲式，就是教师主讲，采用设疑、提问、解惑、拓展等手段，引导学生认识、理解、掌握、探索，从而起到系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．根据具体函能力的提升与素质的提高．这里的主讲式与原教学大纲时的数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．了解指数函原主讲式近似于“报告式”，这里是数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数主讲式是截然不同的，“主持讨论式”，任何学生都可以提出不同意见或反对意增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．了解函数模型见，教师也可以故意设置陷阱，以揭示问题．注意：此种组织形式极易让课堂回归到原来教师一言堂的授课方式，因此，教师务必在问题设置、设疑提问、点拨探究等方面引起充分重视．教学建议：主要介绍学案导学法的几种组织形式．每章开始都设置了课标要求、单元结构和教学建议．单元结构以知识分类、知识综合、知识应用等形式描述出了本章的知识结构及与其他知识的联系，形成了完整的知识体系．(二)《导学案》(数学)的单元安排、知识拓展这三种组织形式可以说是构成学案导学法的三个教学元素，教师要根据学习内容、学习时间、学生状态统筹兼顾，灵活安排，进行科学的组合，以充分发挥教学的有效性．四、课程观察安排《导学案》(数学)根据新课程标准与学校的教学实际情况，以方便教师教学与学生学习为目的，进行了科学的单元划分．此外，为方便教师进行每章复习与模块复习，每章结本模块教学过程中，安排观察课两次，具体如下：课程观察课安排束与模块结束后模块测试，供教师选择使用(三)《导学案》(数学)的单元结构，在导教案中均设置了复习课及章末测试与．实施人说明（目的、条件、评估）观察课课题实施时间实施班级《导学案》(数学)每单元分四个学习目标进行编写，方便学生自习与讨论．每单元开始，首先安排了《明了通过本单元的学习要达到的目标，让学生明确学习目标，起到“导向”的作用第一层级学习目标为《知识记忆与理解》阶段，包含两个内容：一是“自习教材”，主要是引导学生认真阅读教材，一方面掌握书本基础知识，另一方面是引导学生掌握“自习面考试的形式对学生的学习情况方法”，实施“依法自习”．二是“解决问题”，主要是引进行测试评估，考试时间120分钟，满分150分，题目难度导学生应用教材的基础知识通过分析交流，解决简单的基础比为容易题∶中档题∶难题＝5∶4∶1.由学校统一组织命问题，初步学会分析与解决问题的能力，是“导思”的初级题，由教研组安排教师统一阅卷，测试成绩达到90分以上阶段．的均可获得2学分，对测试达不到标准的学生，给予一次补第二层级学习目标为《思维探究与创新》阶段，包含有三个内容：一是“简单展示”，主要是根据知识要点，结合近年来高考趋势设计出具有代表性的题型，引导学生应用材知识，通过“方法与解析”，解决有关问题，达到能力与技能的提升，起到“基本技能应用”的作用；二是“拓展训练”，主要是根据问题解析中出现的“漏洞或陷阱”“条件迁的平台．学校、移”“知识迁移”等，设置了具有互补性、拓展性的问题，教师在使用时要根据各个学校的实际情况，其中包括学校课供学生讨论训练，达到巩固知识、提升能力的目的，起到“全时安排、学生学习基础情况、学生学习态度情况、学校硬面提升能力”的作用；三是“方法归纳”，主要结合前面的设施情况等，对本导学案所列内容进行有效调整(如取舍，引导学生对问题进行总结与归纳，把感性认识提增减、重组等)．《导学案》数学分册共2、必修3、必修4、必修5、选修修2－1、选修2－2、选修2－3.每个模块都设置了“课程纲要”，目的是让学生能全面了解本模块的知识构成、课程目标、学习重点与难点及大的学习时间与方法．它包含如下几个部分：课程元素：包括课程内容、课程目标，起到整体“导向”的作用课程实施：包括析．课程学习目标》，给学生指．五、测试与评估本模块结束后，采用书考机会．六、《导学案》(数学)的使用(一)《导学案》(数学)的构成教本书集导教案、导学案、导练案于一体，是一本真正意义上的导学案．《导学案》给广大师生提供了一个选择件、技能训练高到理性认识，使分析与解决问题的能力提高到一个规律性的层面．分十个模块，分别为必修1、必修1－1、选修1－2、选第三层级学习目标为《技能应用与拓展》阶段，设置了一套有层次的训练测评卷，供学生课外练习．测评卷分为《基础过关》《能力提升》《拓展探究》三个层次，可根据学生的实际学习情况分别使用第四层级学习目标为《情根据学生在学习过程中的学习态度、参与情况学习效果等方面作出一个客观的评价，反思学习过程中的经致．感体验与感悟》阶段，主要是、思维情况、．单元安排、学习时间、教材重点难点分验教训．具体反思要求与操作，见如下的课程评价表格：预习评价·探究评价·拓展评价完成比例评价正确率评价主动性评价创新性评价100%80%60%优秀良好一般活跃主动一般创新新颖一般错误问题知识方法正确答案错因分析体验感悟小组评议老师评价自我反馈【注】三个学习过程四个方面的评价视各人情况选择打“√”即可，由学习小组长完成．错题反馈个人独立完成．“小组评议”“老师评价”“自我反馈”根据个人课堂表现分别由组长、教师与自己填写．(四)《导学案》(数学)单元学案的使用方法采取措施：初期采取一定的强制性措施，教师要动员学生习成绩较好的学生帮助其他同学做好展示的准备工作．有关内容进行必要的选择与增减．特别说明：对于一些内容比较少、比较容易的单元，第对导学案的使用，一般按“自习预习、相互讨论——展一环节也可以放在课堂内完成，但这只是在时间上的不同处示交流、相互补充——点评方法、总结规律——课外练习、理，在讨论方法、步骤、注意问题等方面都不能变化．(——下一个循环)”的循环形式，循序渐进．第二环节展示交流、相互补充在课堂上，各组派代表在演示板(黑板、屏幕等)展示各数)确定分成若干自的研究成果，组内成员可对此予以补充或说明．学习小组，注意这里说的学习小组与原来班级的行政小组是课堂展示是学案导学法的关键一环，对不同的问题要采有区别的，行政小组是属于班级组长管理范畴，各个学科是用不同的展示形式，这一环节一般分两步进行：相同的，是相对固定的，由班主任负责分组．学习小组是由第一步：简单展示．第一层级学习目标所列问题一般可科教师根据教学需要而划分的各，个学科可以是不相同的，而且它呈现动态架构形式，一段时间后学科教师应根据在使用《导学案》进行教学时，教师应根据学校、学的实际情况对导学案中的反思评价具体操作模式可以是：要根据班级情况(学生学习基础与人各学采用简单展示法，即由某个小组成员报出答案，教师直接在演示板上显示，其他各组如无异议，就不必议论，教师也只小组学习状态进行适当调整．每个组设立一名组长，各组之作简单总结或拓展．这段时间一般限制在5～8分钟．间学习成绩层次的人数应基本相同．第二步：综合展示．第二层级学习目标所列问题一般采第一环节自习预习、相互讨论用综合展示法，即对某个问题先由某个小组成员展示出他们在上课前由各小组对学案所列的内容(包括第一、二学讨论的结论(课堂内一般是几个组同时进行，同一时间展示习目标的所有内容)进行讨论，共同分析研究，完成所有问题．这项工作都是在课外进行，时间一般为40～50分钟．出所列的全部问题)，组内成员可以补充，教师组织其他各组分别对各个问题的结论进行讨论、批评、修改或提出其他教师在课前把学案交给组长，由他组织组员进行自习与结论与方法，教师对大家所提问题、结论、方法等作出总结讨论．要做到定时间、定地点、定内容，一般分三步进行：或拓展．第一步：自主学习．根据学案所列的问题，由学生自行对具有拓展性的问题可采用启发式展示法，即在教师的阅读教材，完成第一层级学习目标所列的两类问题(允许有启发、点拨、提醒、引导下对问题逐步深入，挖掘规律性的些问题不会或解答错误)．这一步工作要求学生独立完成，结论．这段时间一般限制在25～30分钟．一般限时15～20分钟．完成后要求交给组长，然后交换批改．这一环节的注意问题与采取措施列表如下：注意问题：学习自觉性较差的学生可能不会完成任务，较差的学生会无法完成任务．注意问题采取措施1.课堂内缺乏组织，整采取逐题讨论，逐题总结采取措施：对学习自觉性较差的学生采取一定的强制要个课堂如一盘散沙求，规定他们必须完成，给组长以批评教育的权利，教师要加强课前准备，预先全面解题，注意引导、启发、点拨2.学生发表的意见不全加强思想工作；对基础较差的学生，一段时间内可以允许他们只完成部分问题，要求他们先做到认真、自主，然后逐步提高要求，必要时教师可以预先给予适当的辅导．面3.问题较难，学生发表分解问题，对问题做一些第二步：互相讨论．对第一步中出现的不同意见、第二不出意见铺垫层级学习目标所列问题在组内展开讨论，提出各种意见，通4.课堂时间无法控制，注意统筹，课前分解好每造成拖课题的讨论时间，控制使用第三环节点评方法、总结规律过讨论与争论形成统一意见，完成任务．这一步一般限时30分钟左右．注意问题：①讨论过程成为学习成绩较好的学生的“主题发言”，学习成绩较差与性格内向的学生默不作声，不发表意见．②错误意见或不成熟意见成为学生取笑的对象，久而久之，那些学生就不参加讨论了．教师总结归纳(也可以由学生进行归纳)，把讨论得出的结论归纳提高成一般的理性结论，提炼解题的一般方法．同时对本单元学习情况进行总结，肯定成绩，指出问题改及进要求，安排课后练习、课程评价与下一单元的学习内容．第四环节课外练习、反思评价采取措施：教师要注意引导学习成绩较好的学生一方面先不要抢着发言，另一方面要启发其他同学发言；对学习成绩较差与性格内向的学生要注意肯定、鼓励、表扬，让他们学生自主作业，完成后交由小组交流批改，教师也可以指定此项训练交由教师批改，完成后学生先各自反思本单元的学习过程，总结经验教训，再由小组或教师对每个学生这找到自信，达到踊跃参与的第三步：达成共识．通过前两步的学习，在组内形成统一意见，并选出在课内展示的代表，鼓励组内学生自我推目的．节课的学习情况(如学习态度、自觉性、创新性、成效性、进步性等)作出一个评价．评价要从鼓励进步的角度出发，作出有利于学生更好地发挥学习积极性的评价．这个环节一般需要一个小时左右．荐．同时对全组成员给出适当评价，并要求组内同学在讨论结束后继续反思讨论的过程与有关结论，对新发现、新问题鼓励组员在课堂展示时发表意见．完成这一环节工作后，即转入下一单元的第一个环节，事实上，上一单元的第四环节与下一单元的第一环节是连在一起进行的．注意问题：学习成绩较差与性格内向的学生不敢参与课堂展示．第一章集合与函数的概念新课程标准的要求知识点层次要求领域目标要求1.通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．集合的含义2．能选择自然语言、图形语言描述不与表示同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．1.理解集合之间包含与相等的含义，能通过集合内容的学习，使学生能使用集合语言，简洁、准确地表达数识别给定集合的子集．集合间的基本关系学内容．能学会使用最基本的集合语2．在具体情境中，了解子集、真子集与空集的含义．言表示有关的集合对象，如函数的定义域、值域和取值范围等问题，培养运用数学语言的能力．1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．3．能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图表示集合对理解抽象概念的作用.集合的基本运算1.了解函数的概念及构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念．2．在实际情境中，会选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．根据不同的需要函数的概念与表示通过函数内容的学习，使学生能理解函数中变量之间的依赖关系，能用集合与对应的语言刻画和表示函数，理解函数的思想方法，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的特别是二次函数，理性，初步运用函数思想理解和处理现重要1.通过解函数的单调性、最大(小)值及其几何已学的函数函数的基本意义；结合具体函数，了解奇偶性的实生活中的简单问题.性质含义．2．学会运用函数图象理解和研究函数的基本性质.本章教学的重点主要有：集合中元素特征的理解与应用、元素与集合间关系的判断、集合与集合间包含关系的判断、集合间的基本运算等．函数的概念、函数的表示方法、函数的性质及其应用等．在教学时要注意以下几点：1．注重基础，要求学生深刻理解函数与映射的概念，注意其中对两个集合的要求(都是非空数集，并且在对应中，集合A中的元素不能有剩余，但B中的元素可有剩余)；对应的形式：“一对一”(一个x对应一个y)或者“多对一”，但不能是“一对多”，这些其实就是对函数定义中“唯一”的理解．2．引导学生初步建立数形结合的思想：如在做集合的运算时要灵活利用Venn图、数轴等，在函数中要有意识地利用函数的图象．3．授课时有意识地总结一些常用的解题方法：函数解析式的求法，定义域的求法，值域的简单求法，函数单调性的判定方法和奇偶性的判断方法等．4．引导学生对于一些易错点要多加以总结，例如：注意空集的特殊性，由于空集是任何集合的子集，因此如果两个集合A，B满足A⊆B时，不要忽略了5．引导学生注意总结一些常用的结论，并且要会灵活应用．比如：A∩B＝B⇔B⊆A，A∪B＝A⇔B⊆A；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)；若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)＝0等．A＝∅的情况；研究有关函数的问题，要注意“定义域优先”的原则．§1.1集合1．1．1集合的含义与表示3．掌握常用数集及其表示，并能用之解决有关问题，提高分析和解决问题的能力，培养数学的应用意识．1．通过实例了解集合的含义和集合元素的确定性、互异性、无序性，体会元素与集合间的“属于”关系．2．能选择不同的集合语言形式描述具体问题，提高语重点：集合元素的“三性”及集合的表示形式．难点：集合中元素性质的应用以及用描述法表示集合．言转换和抽象概括能力，树立用集合语言表示数学内容的意识．依据其所含元素的个数可分为有限集和无限集．含有有限个元素的集合称为有限集，而含有无限个元素的集合称为无限集．军训前学校通知：9月2日上午8点，高一年级学生到问题操场集合进行军训，试找出“通知的对象”．①确定性：集合中的元素必须是明确的，不能含糊不清；②互异性：一个集合中的元素是唯一的，不能有相同元4：集合中的元素具有哪些性质？素，相同元素只能出现一次；③无序性：即一个集合中的元素出现没有顺序，只要两问题1：集合的概念是什么？集合与元素之间具有怎样的关系？一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成个集合的元素完全相同，这两个集合就是相同的．(简称集)．的总体叫做集合集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，集合a、b、c、x、y等表示．若元学当中的数学家．他证明了A中，我们就说a属于集合A，记作a∈A；若无限集合，偶数集合的元素可以一一对应于自然数集合的元a不在集合A中，我们就说a不属于集合A，记作a∉A.素，所以偶数的个数与自然数的个数相同．比如说，能把偶两个集合中的元素是一样的，我们就说这两个集合是相数2，4，6一一对应于自然数1，2，3.康托尔认为，当某一个无限集合的元素与自然数一一对应时，那个无限集合就可2：集合的表示方法有哪几种？常见的数集有哪以变成能数得过来的无限集合，数不的了集合叫做数不过来些，它们是如何表示的？的无限集合．①列举法，把集合中的元素一一列举B等，集集合论的创始人康托尔是第一位把无限的概念引入数自然数的集合与偶数的集合都是合中的元素常用小写拉丁字母素a在集合元素等的或是同一集合．问题集合的表示法有：出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．问题1：下面各组对象能构成集合的是()．A．个子很高的同学B．π的近似值C．很小的数D．不超过30的非负数【解析】由集合元素的确定性可知，②描述法，用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体的做法是在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．③图形法，用Venn图或数轴表示集合，如：D正确．一组对象若能构成集合，它们必须是确定的，不能含糊不清，模棱两可，A，B，C中所指对象均不能确定，故它们都不能构成集合．常见的数集及其表示有：自然数集也称非负整数集，记【答案】D为N；正整数集记为N或N；整数集记为Z；有理数集记问题2：用符号∈或∉填空：0________N；－2________N；2________Q；23________R；－3________Z.【答案】∈∉∉∈∈*＋为Q；实数集记为3：依据集合中元素的个数，可以把集合分为哪几R.问题类？问题3：试分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x＝1的所有根组成的集合；(2)列举法：{0，1，2，3，4}，描述法：{x|x＜5且x∈N}．问题4：请回答“学习情景设置”中的问题．{x|x－1＝0}；【解析】全体高一学生．2(2)小于5的所有自然数组成的集合．{－1，1}，描述法：【解析】(1)列举法：2【解析】集合A表示函数y＝x－2x＋5中的x的取值2集合；集合B表示函数y＝x－2x＋5中的y的取值集合；2集合C表示函数y＝x－2x＋5图象上的所有点的集合．因2此它们是不同的三个集合．一个集合A，A中含有3例1已知由a2，2－a，4组成a的取值可以是()．A．1B．－2C．6D．2【方法指导】可将选项代入a，2－a，利用元素的互异6〖拓展问题2〗设集合B＝{x∈N|∈N}．2＋x个元素，则实数(1)试判断元素1和2与集合B的关系．2(2)用列举法表示集合B.性来进行判断选择．62＋1【解析】(1)当x＝1时，＝2∈N，【解析】若a＝1，则a＝1，2－a＝1，由元素互异性1，4，不符合题意．2可知A中只有2个元素632当x＝2时，＝∉N，∴1∈B，2∉B.若a＝－2，则a＝4，2－(－2)＝4，则A中只有1个22＋2(2)∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2，3，6，A中只有2个元素0，0，1，4，∴B＝{0，1，4}．4，则A中有3个元素例3已知集合A＝{x|ax2－2x－1＝0，x∈R}，若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围．元素4.若a＝2，则262＋xa＝4，2－2＝0，则4.∴x只能取若a＝6，则a＝36，2－6＝－2A36，－4，4，符合题意．【答案】Ca【小结】本题是利用集合中元素的互异性检验a的取值【方法指导】集合中至多有一元素，即为对应方程A是否符合题意，初学者容易忽略，在学习中必须高度重视．至多只有一根，这样通过讨论方程根的情况来求a的取值范〖拓展问题〗已知集合若M、N表示同一集合，求x，y的值．2＝1，xy＝1，M＝{1，x，y}，N＝{x，x2，xy}，围即可．【解析】由于集合中A至多有一个元素，则一元二次2－1＝0有两个相等的实数根或没有实数根，所方程－axxx2x2【解析】依题意，有或以Δ＝4＋4a≤0，解得a≤－1，所以实数a的取值范围是{a|a≤－1}．x＝1时不符[问题]能否直接利用Δ≤0来求a的取值范围？[结论]不能，因为方程ax2－2x－1＝0不一定是一元二次方程，若方程不是一元二次方程，则不能利用判别式判断其实根的个数，故正确解答为：＝＝，xyy2＝1，＝－1，当时，解得或x＝1，当yxxy＝0xyy＝合集合中元素的互异性，舍去．Δ＝1，＝1，xyx当时，解得不符合集合元素的互异性，12＝x2y舍去．y＝1，当a＝0时，方程只有一个根－，则a＝0符合题意；a≠0时，关于x的方程ax－2x－1＝0是一元二次2当所以x＝－1，y＝0.方程，则该方程有两个相等的实数根或没有实数根，所以44Δa的取值范围是{a|a≤3x＋y＝2，例2分别用列举法和描述法表示方程组＝＋a≤，解得10a≤－，所以实数2x－3y＝27－1}．的解集M，并判断3与M的关系．M中的代表元素为方程组的解，因综上所得，实数a的取值范围是{a|a＝0或a≤－1}．【方法指导】集合【小结】将集合语言具体化为自然语言，使它们描述的3是否具备M的特征．语言形象化、直观化，这是解决集合问题的常用技巧．本题2，x＝3，转化为关于x的方程ax2－2x－1＝0的实数根的个数问题，这样就容易解决了．同时，要注意若方程的二次项系数含有字母，需对其是否为零进行讨论．此须表示为点集的形式，然后判断3x＋＝y【解析】∵2x－3y＝27＝－的解是y7，3x＋＝y2M为{(x，y)|}．2x－3y＝27用描述法表示该集合〖拓展问题〗已知集合(1)若A是单元素集，求a的值及集合(2)求集合P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}．A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}．A.用列举法表示该集合M为{(3，－7)}．显然3∉M.【小结】(1)用描述法表示集合时，首先要明确集合中的元素是什么，元素满足什么条件，这是我们研究集合的关键．【解析】(1)当a＝0时，A＝{23}，符合题意；当a≠0时，要使方程有两个相等的实根，则Δ＝9－8a(2)判断一个元素是不是某个集合的元素，就是要判断这个元素是不是具有这个集合的元素所具有的属性特征．＝0，即a＝，此时，＝9843A{}．〖拓展问题1〗对于集合A＝{x|y＝x2－2x＋5}，B＝{y|y＝x2－2x＋5}，C＝{(x，y)|y＝x2－2x＋5}，它们各自的含义是什么？是不是相同的集合？29A＝{4}．综上所述：当a＝0时，A＝{}；当a＝时，38323集合元素的互异性．(2)由(1)知，当a＝0时，A＝{}含有一个元素，符合题意．981．若集合A＝{(1，2)，(3，4)}，则集合A中元素的个)．由a≠0时，要使方程有实根，则Δ＝9－8a≥0，即a≤.数是(P＝{a∈R|a使得A至少含有一个元素}＝综上所述，{a|a≤89}．A．1【解析】集合A是点集，有【答案】BB．2C．3D．4两个元素，选B.2．已知集合A中的元素为1，m＋1，则实数m满足的条件是________．【解析】由集合元素的互异性，得m＋1≠1，所以m≠0.【答案】m≠03．已知x2∈{0，1，x}，求实数x的值．【解析】若x2＝0，则x＝0，不满足元素的互异性；若x2＝1，则x＝1或x＝－1，x＝1不满足元素的互异通过本单元的学习，你能归纳出哪些知识要点与方法技巧？1．判断一组对象能否构成集合，关键是判断该组对象是否具有确定性．2．表示一个集合，可以用列举法，也可以用描述法，必要时还能用图示法．一般地，若集合元素为有限个，常用列举法表示，此时要注意集合元素不要求有顺序，但必须互异；无限集多用描述法，注意格式.3．解决集合问题的首要任务是确定集合的元素，在有些确定集合元素的问题中，常需分类讨论求解，同时要注意性，x＝－1满足元素的互异性．若x2＝x，则x＝0或x＝1，均不满足元素的互异性．x＝－1.综上所述，A．3B．6C．8D．10【解析】当x＝x＝3时，y＝1，2；当x＝4时，y＝1，2，3；当x＝5时，y＝1，2，3，4.故集合10个．2时，y＝1；当1．下列说法正确的是A．我校爱好足球的同学组成一个集合B．{1，2，3}是不大于3的自然数组成的集合1、2、3、4、5这5个元素组成的集合仅有一个【答案】DC．由6．若以集合S＝{a，b，c}中的三个元素为边长可构成D．数1，0，5，，，，组成的集合有7个元素224一个三角形，那么这个三角形一定不是()．【解析】爱好足球的同学不明确，因此3的自然数应包括0，所以B不正确；C中由于5个元素的集合仅有一个，所以C正确；136()．B中所含元素的个数为13614A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形A不正确；不5个元大于【解析】集合的元素具有互异性，∴a≠b，a≠c，b≠c，素确定了，故含∴以a、b、c为边长的三角形一定不是等腰三角形．【答案】D7．已知集合12而D中，由于＝，＝，根据集合元素的互异性知，424B＝{x∈Z|－3<2x－1≤3}，则用列举法表它们组成的集合应含有【答案】C5个元素，故D不正确．示集合B＝________．12【解析】由题意知－3<2x－1≤3，解得－1<x≤2，又2．给出下列关系：①∈R；②2∉Q；③|－3|∉N；④|1xZ∈，故＝＋B{0，1，2}．【答案】{0，1，2}8．若集合A＝{x|x2＋ax＋b＝0}，－实数a，b.－3|∈Q，其中正确的个数为A．1B．2C．3D．4【解析】易知①②正确，③④【答案】B()．1∈A且3∈A，求不正确，故选B.【解析】∵－1∈A且3∈A，∴－1，3是方程x2＋ax＋b＝0的两个∴－1＋3＝－a，－1×3＝b，即a＝－2，b＝－3.实数根，3．下列选项中表示同一集合的是________．①M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}．②M＝{3，2}，N＝{2，3}．③M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}．④M＝{1，2}，N＝{(1，2)}．9．集合＝xyyx{(，)|＝，－1≤≤1，且∈}，用xZA2x列举法可表示为＝________．A【解析】①中集合中的坐标不同；③中M为数集，N为点集．故填②.M、N都为点集，元素为点的坐标，而两【解析】由－1≤≤xxZ1且∈，得x＝－1，0，1.M、N分别表示点集和数集；④中当＝x－1时，＝0；当＝1时，y1；当＝0时，＝xyxy＝1.【答案】②4．用适当的方法表示下列集合：因此＝A【答案】{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}{(－1，1)，(0，0)，(1，1)}．(1)由大于(2)被3除余1的所有正整数组成的集合；(3)不等式2x＋3≥0的解组成的集合；(4)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．5，且小于9的所有自然数组成的集合；10．已知＝{－2，2a2＋5a，10}，若－3∈，求.AaAa【解析】若－3∈A，则a－2＝－3或2a2＋5a＝－3.若a－2＝－3，则a＝－1，此时2＋5a＝2×1－5＝－3，集a2合＝{－3，－3，10}，这违背了集合元素的互异性，所以A【解析】(1){6，7，8}；(2){x|x＝3n＋1，n∈N}；(3){x|2x＋3≥0}；a＝－1应舍去；若2a＋5a＝－3，可解得a＝－23或a＝－a－2＝－27，此时集合A＝{－27，－231(舍去)，当a＝－时，2(4){(x，y)|y＝x2}．3，10}符合要求．5．已知集合y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，所以＝－23.a(见“课程纲要”课程评价表格)1．1．2集合间的基本关系1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合重点：“集合的包含关系”“子集、真子集的个的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结数”“用Venn图表示集合间的包含关系”等问题．难点：集合间关系的判断，尤其是空集在解题中容易被论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn忽视．图表达集合的关系，加强从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．入剑桥大学学习，1857年在数学方面获得学位，并被选为学院的研究员，他担任此职直至去世.1883年他获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家，他曾提出“白马非马”的论断．他的理由主要有三条，其中一条问题1：有下列命题：①空集没有子集②任何集合至少有两个子集③空集是任何集合的真子集是他认为“马”是一种动物，而“白”是一种颜色，“白马”则是一种动物和一种颜色的混合体，因此他认为“白马；；非马”，通过这种解白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间具有什么关系呢？释，你还认为白马是马吗？你认为所有；④若∅A，则A≠∅；⑤集合A⊆B，就是集合A中的元素都是集合素，集合B中的元素也都是集合A中的元素．B中的元问题1：子集、集合相等、真子集和空集分别是如何定义的？其中正确的有()．一般地，对于两个集合A、B，如果集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作⊆∅；“A包含于B”(或“B包含A”)．A与集合B中的元素完全相同，就称集合B相等，从子集的定义可以看出A＝B就是A⊆B且A中任意一个A．0个B．1个C．2个D．3个元素都是集合【解析】①错误，因为空集是任何集合的子集，所以∅系，称集合②错误，如∅，它只有一个子集；若集合A与③错误，因为空集不是空集的真子集；集合B④正确，因为空集是任何非空集合的真子集；⊆A.⑤错误，A⊆B，只要求集合A中的任何元素都是集合A中的元素．B集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是A中的元素，而不要求集合B中的元素都是集合是集合B的真子集，即如果A⊆B且A≠B，那么集合【答案】B2：设集合∅，并规定：空数是________，真子集的个数是________．【解析】因为A＝{0，1}，所以A的子集有∅，{0}，{1}，{0，1}，故子集的个数为4，其中真子集有3个．【答案】43问题A＝{x|0≤x<2且x∈N}，则其子集的个A集合B的真子集，记作B.把不含任何元素的集合叫做空集，记为集是任何集合的子集，即∅⊆A.2：“∈”与“⊆”有什么区别？∈是表示元素与集合之间的关系的符号，因此有问题1∈N，问题3：以下各组中两个对象是什么关系，用适当的符－1∉N等；⊆是表示集合与集合之间的关系的符号，因此有N⊆R，∅⊆R等．号表示出来．①0与{0}；②0与∅；③∅与{0}；④{0，1}与{(0，1)}；⑤{(b，a)}与{(a，b)}．【解析】①0∈{0}；②0∉∅；问题3：子集具有哪些性质？子集具有以下性质：③∅与{0}都是集合，两者的关系是“包含与否”的关系．(1)A⊆A，即任何一个集合(2)如果A⊆B，B⊆A，那么A＝B.(3)如果A⊆B，B⊆C，那么A⊆C.都是它本身的子集．∴∅{0}，也可④{0，1}是含两个元素0，1的集合；而{(0，1)}是以有序数对为元素的集合，它只含一个元素，∴{0，1}≠{(0，1)}．⑤当a＝b时，若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有当a≠b时，{(a，b)}≠{(b，a)}．2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集，特别地，∅是任何4：请回答“学习情景设置”中的问题．∅⊆{0}．(4)如果AB，BC，那么AC.问题4：含有n个元素的集合有多少个子集？有多少个真子集？{(a，b)}＝{(b，a)}；问题集合的子集，是任意非空集合的真子集．【解析】白马是马，只不过其前面限定了条件，即这匹马的颜色必须是白色的．白马组成的集合包含于马组成的集维恩(JohnVenn，公元1834年8月4日—公元1923年4月4日)，英国数学家，生于英国赫尔，卒于剑桥.1853年合，即{白马}⊆{马}．A中元素多，还要使得这些元素都在B中．【解析】满足条件的集合M有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．例1下列表示或说法正确的是________．①{1，2}⊆{1，2}；②{0}∈{{0}，{1}}；③满足A⊆{a，b}的集合A有4个；④集合{x|y＝x}＝{y|y＝x}．【方法指导】首先确定给出的是元素与集合的关系，还2，且至少含有一个不属于A的元素．又∵M⊆B，∴M中A的元素【小结】解决此题的关键是搞清满足条件的集合M中的元素有哪些．∵AM，∴M中一定有A的全部元素1、22是集合与集合的关系，然后再按照相应的定义去判断．的元素除了含有1、2外，还有元素3、4、5中的【解析】由于任何一个集合都是它本身的子集，所以①1个、2个或3个．故求M的问题转化为研究集合{3，4，正确；因为{0}是集合{{0}，{1}}的一个元素，所以5}的非空子集的问题，显然所求集合M有23－1＝7个，按{0}∈{{0}，{1}}，②正确；满足A⊆{a，b}的集合A即为元素的多少把它们一一列举出来即可．{a，b}的子集，共有4个，故③正确；由于{x|y＝x2}的x∈R，而集合{y|y＝x2}的元素集合〖拓展问题〗已知{x|x2－1＝0}A⊆{－1，0，1}，求y∈{y|y≥0}，所以两集集合A的子集个【解析】∵{xx|2－1＝0}＝{－1，1}，又元素数．合不相等，因此④不正确．【答案】①②③{|－1＝0}Axx2【小结】(1)元素与集合之间的关系是“∈”或“∉”，⊆{－1，0，1}，∴A＝{－1，0，1}．“⊆”“”“＝”或“≠”；(2)任何一个A的子集有∅，{0}，{1}，{－1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}．A的子集共有8个．例3已知集合A＝{x|2a－2<x≤a＋2}，B＝{x|－2≤x<3}集合间的关系是∴集合集合是它本身的子集；(3)含有n个元素的集合的子集的个数是2.n∴集合〖拓展问题〗判断下列各组集合之间的关系：(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；(2)A＝{x|x2－x＝0}，B＝{x|x2＋1＝0，x∈R}；(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；且A⊆B，求实数a的取值范围．解关于a的不等式【方法指导】a的取值范围←(4)M＝{x|x＝，n2n∈Z}，N＝{x|x＝21＋n，n∈Z}．←由已知A⊆B【解析】(1)若x是12的约数，则必定是36的约数，B.2a－2<a＋2，反之不成立，所以A【解析】由A⊆B得2a－2≥－2，⇒a＋2<3<4，a(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0，1}，B＝{x|x2＋1＝0，x∈R}a≥0，⇒0≤a<1.a<1B＝∅，所以A.所以，a的取值范围是[问题]上述解法正确{a|0≤a<1}．吗？集合A一定是非空集合吗？(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而DBAD.A[结论]不正确，集合可能为空集．n2正确解法：由已知A⊆B可得，(4)(法一)对于集合M，其组成元素是，分子部分表示(1)当A＝∅时，有(2)当A≠∅时，此时解题过程同上面解析．综合(1)(2)，实数a的取值范围是{a|a≥4或0≤a<1}．2a－2≥a＋2⇔a≥4.所有的整数；12＋1nN，其组成元素是＋n＝，分子部分22而对于集合【小结】注意以下两点：(1)∅是任何集合的子集；(2)列不等式时是否取等号．表示所有的奇数，由此可知NM.〖拓展问题1〗已知集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，集合A.Q(法二)用列举法表示集合如下：＝{x|ax＋1＝0}，且Q⊆P，求实数a的取值构成的集合M＝{0，±21，±1，±23，±2，±52，„}，【解析】∵x2＋x－6＝0，∴(x＋3)(x－2)＝0，即x＝－3或x＝2.N＝{±21，±32，±52，„}，所以M.N∴P＝{－3，2}．又∵Q＝{x|ax＋1＝0}，例2已知集合A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且当a＝0时，Q＝∅，满足Q⊆P；13或－＝2，aAM⊆B，写出满足上述条件的集合M.1当a≠0时，有－＝－【方法指导】AM⊆B即A是M的真子集，M是Ba的子集，因此M中包含了A中的所有元素，并且还必须比∴a＝13或a＝－21，故a＝0或a＝13或a＝－12.∴A＝{－12，0，13}．1．若A．M⊆NC．M＝NM＝{x|x＞－1}，N＝{x|x＞0}，则()．B．N⊆MD．M∈N【解析】结合数轴，可知N⊆M.〖拓展问题2〗设集合A＝{a，b}，集合B＝{1，a2}，【答案】B2．集合{a，b，c}的所有子集个数为________．若A＝B，求实数a，b的值．【解析】∵A＝B，∴a＝1或b＝1，当a＝1时，集合B不满足互异性，舍去．当b＝1时，由a2＝a得a＝0或a＝1(舍去)，此时A＝B＝{0，1}，满足条件．综上可知：a＝0，b＝1.【解析】集合{a，b，c}的所有子集可以分成四类，即①空集：∅；②一元子集：{a}，{b}，{c}；③二元子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；④三元子集：{a，b，c}．即有23个子集，故共有8个．【答案】8通过本单元的学习，你能归纳出哪些知识要点与方法技3．若集合A＝{x|x>a}，B＝{x|2x－5≥0}，且满足A⊆巧？1．判断两集合关系的关键在于化简给定的集合，并确B，求实数a的取值范围．【解析】B＝{x|2x－5≥0}＝{x|x≥25}．定集合的元素，明确集合中元素的属性，特别要注意代表元素的形式，不要将点集和数集混淆．∵A⊆B，52．利用相等集合的定义解题时，要注意集合中元素的互异性，对计算的结果要加以检验．∴a≥.23．注意空集的特殊性，解题时，若未指明集合非空，则要考虑集合为空集的可能性．即实数a的取值范围是{a|a≥25}．【答案】A7．满足{a，b}⊆A{a，b，c，d}的集合1．以下五个式子中，错误的个数为①{1}∈{0，1，2}；②{1，－3}＝{－3，1}；③2}⊆{1，0，2}；④∅{0，1，2}；⑤∅＝{0}．A．1B．2C．3D．4()．{0，1，A有__________个．【解析】满足条件的集合A有：{a，b}，{a，b，c}，【解析】由于{1}是{0，1，2}的子集，所以①不正确；{a，b，d}，共3个．【答案】3②③④均正确；因为∅≠{0}，所以⑤不成立．因此错误的式子有①⑤，故选【答案】B2．设集合b8．含有三个实数的集合可表示为{a，，1}，也可表示B.a为{a2，a＋b，0}．求a＋a2＋a3＋„＋a＋a2013的值．2012A＝{x|2012≤x≤2013}，B＝{x|x＜a}，若Ab【解析】由{a，，1}可得a≠1且a≠0.B，则实数A．a＞2012C．a≥2012a的取值范围是()．B．a＞2013D．a≥2013ab∴＝0，即∴a2＝1且a≠1，∴a＝－∴a＋a2＋a3＋„＋a2012＋a2013b＝0，∴a＋b＝a，a1，＝－1＋1－1＋1－„＋1A【解析】结合数轴可知，若B，则a＞2013，故选B.＋(－1)＝－1.【答案】B3．已知集合B⊆A，则实数m＝________．【解析】根据子集的意义知，若∈A，A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m2}．若9．若集合A＝{0，1，2}，B＝{x|x⊆A}，则用列举法表示集合B＝________．3∈A，m2【解析】因为x⊆A，因此{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，因此集合B⊆A，则x可为∅，{0}，{1}，{2}，B＝{∅，所以m＝－1(舍去)或m＝2m－1，解得m＝1.22{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}．【答案】{∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}}【答案】14．已知集合9}，集合A满足B＝{1，2，3，4，5}，C＝{1，3，5，7，A⊆B，A⊆C，写出所有可能的集合A.10．设集合B⊆A，求实数【解析】由题意知A＝{0，－4}，又∴B＝∅或B＝{0}或B＝{－4}或B＝{0，－4}，B＝∅时，方程x＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实根，A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2a的取值范围．B⊆A，【解析】由题意，集合A可能为：∅，{1}，{3}，{5}，－1＝0}，若{1，3}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}．5．集合A＝{x∈N|x＝5－2n，n∈N}的真子集有()．当2A．9个B．8个C．7个D．6个【解析】易知A＝{5，3，1}，∴A的真子集有2－1＝7个．【答案】C∴Δ<0，即4(a＋1)2－4(a2－1)<0，∴a<－1.Δ＝0，B＝{0}时，由得a＝－1.a－1＝0，23当6．若{1，2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则()．Δ＝0，当B＝{－4}时，由知无解．A．b＝－C．b＝－2，c＝3D．b＝2，c＝－【解析】由题意得，1，2是方程x＋bx＋c＝0的两实3，c＝2B．b＝3，c＝－2－8＋7＝0aa23当B＝{0，－a＝1.4}时，由韦达定理得{a|a＝1或a≤－1}．2综上所述，a的取值范围为数根，故1＋2＝－b，1×2＝c，即b＝－3，c＝2.(见“课程纲要”课程评价表格)1．1．3集合的基本运算算．体会图形对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．1．理解两个集合的交集、并集、全集和补集的含义．2．掌握求两个简单集合的交集、并集的方法；会求给重点：并集、交集和补集的运算及全集的意义．难点：已知两个集合运算满足的关系来确定一些参数的定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确性，进一步提高类比的能力．取值范围．3．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运A⊆A∪B.(A)＝A，∅＝U，U＝∅，A∩A＝∅，A∪AUU＝U．UUUU有人请客，7个客人到了4个．主人焦急地说：“该来问题4：(1)若A∩B＝∅，则集合A与B之间具备怎样的不来．”顿时气走了2个．主人遗憾地叹息：“不该走的的特性？(2)全集一定是实数集R吗？又走了．”又气走一个．主人更遗憾了，自言自语地说：“我又不是说他．”这么一来，剩下的这位脸皮再厚，也待不下(1)具备以下三种特性之一即可．①集合A、B均为空集；②集合A、B只有一个是空集；③集合A、B均为非空集，但无相同元素．(2)全集是一个相对概念，因研究问题的不同而变化，B的所有元素组成如在实数范围内解方程、不等式，全集为实数集R，而在整B的交集，记作A∩B.程、不等式，则全集为整数集Z．A或属于集合B的元素组成的集合，B的并集，记作A∪B.若一个集合含有我们研究问题中涉及的所有元素，那么不属于B的元素构成的集合，叫做集合U.U的子集，由全集A相对于全集A的补集，记作A.去了．请问客人们为什么生气？问题1：交集、并集、全集和补集的定义分别是什么？A且属于集合A与一般地，由属于集合的集合，叫做集合数范围内解方由所有属于集合叫做集合A与定义：一般地，记A，B是两个集合，则所有属于A且A减集合B(或集合于集合A、B，我们把集合{x|x∈A，且x∉B}叫做A与B的差集，记作A－B(或A\B)，就称这个集合为全集，通常记作A与集合B之差)．类似地，对若集合A是集合U中不属于集合U的补集，A的所有元素组成的集合，称为集合即A－B＝{x|x∈A且x∉B}(或A\B＝{x|x∈A且x∉B})，同理B－A＝{xx|∈B且x∉A}叫做B与A的差集．简称为集合U问题2：交集、并集A∩B＝{x|x∈A且(即Venn图)表示为图中的阴影部分：与补集用符号和图形应如何表示？交集的符号语言表示为x∈B}．问题则M∩P等于(A．M1：已知)．M＝{x|x是平行四边形}，P＝{x|x是梯形}，交集的图形语言B．PD．∅C．{x|x是矩形}【解析】显然，平行四边形与梯形无公共元素，故交集为∅.【答案】D并集的符号语言表示为A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．并集的图形语言(即Venn图)表示为图中阴影部分：问题2：设M＝{0，1，2，4，5，7}，N＝{1，4，6，8，9}，P＝{4，7，9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________．【解析】M∩N＝{1，4}，M∩P＝{4，7}，∴(M∩N)∪(M∩P)＝{1，4，7}．【答案】{1，4，7}问题3：已知集合A＝{x|3≤x＜8}，则RA＝________．补集用符号语言表示为A＝{x|x∈U且用Venn图表示为图中阴影部分：x∉A}．U【解析】根据补集的定义可得RA＝{x|x＜3或x≥8}．【答案】{x|x＜3或x≥8}问题4：请回答“学习情景设置”中的问题．【解析】实际上，客人们不自觉地使用了一个数学概念：补集．如：该来的补集是不该来的，主人说“该来的不来”，客人立马会想到不该来的来了．既然不该来，当然就生气地走了．问题3：交集、并集与补集常用的运算性质有哪些？A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)．A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，例1已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，A∪B，A，B.UUB在数轴上表示出来，利【方法指导】将集合A、集合用集合运算的概念求出结果，但要注意全集不是实数集．例2设集合A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞a的取值范围．x的范围都在数轴上表5}，若A∩B＝∅，求实数【解析】如图所示，在数轴上表示全集U及集合A，【方法指导】可将A、B对应的B.示出来，然后观察A∩B＝∅时相应端点所满足的条件，从而得到a的取值范围．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，A∪B＝{x|－3≤x<3}，【解析】由A集合的特点可知A≠∅，作图可知：∴A＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，UB＝{x|x＜－3或2＜x≤4}．【小结】求不等式型集合的交集、并集时常借助数轴把Ua≥－1，要使A∩B＝∅，则集合所表示的数的范围表示出来，直观、形象地表示出交集和并集的运算结果，利用数形结合思想将满足条件的集合在数轴上一一表示出来，从而求得集合的交集、并集、补集．a＋3≤5，解之得－1≤a≤2.即a的取值范围为{a|－1≤a≤2}．〖拓展问题〗若设全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}．【小结】注意将给出的条件转化为数轴上的图形关系，利用数形结合的思想去解决．(1)计算集合A，B，A∪B，A∩B.〖拓展问题1〗对于例2，若集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}UU(2)计算(A)∪(B)与(A∩B)，呢？UUU【解析】①当A＝∅时，即a＋3＜2a，即a＞3时恒成(A)∩(B)与利用Venn图表示．【解析】(1)∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，5}，B＝{2，4，5}，(A∪B)，由此猜测一个一般性的结论，并UUU立．2a≤a＋3，1②当A≠∅时，2a≥－1，解得－≤a≤2.2∴A＝{3，4}，B＝{1，3}，a＋3≤5，UUA∪B＝{1，2，4，5}，A∩B＝{2，5}．综上可知，a的取值范围为{a|－12≤a≤2或a＞3}．(2)(A)∪(B)＝{1，3，4}，UU〖拓展问题2〗若将例2中“A∩B＝∅”改为“A∪B＝“A∪B＝B”，试分别求实数a的取值范围．a≤－1，a≤－1，(A)∩(B)＝{3}，UU”或R(A∪B)＝{3}，(A∩B)＝{1，3，4}，UU解得故由此可猜测：(A)∪(B)＝(A∩B)；【解析】若A∪B＝R，则UUUa＋3≥5，a≥2，(A)∩(B)＝(A∪B)．证明如下：满足条件的a不存在．若A∪B＝B，则A⊆B，∴a＋3＜－1或a＞5，解得a＜－4或a＞5，故实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞5}．UUU由Venn图表示(A)∪(B)＝(A∩B)如下：UUU例3设全集为U，集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，若(A)∩B＝{9}，求x的值．U【方法指导】由(A)∩B＝{9}找到9与集合A、B的U关系，从而确定x的值．【解析】∵(A)∩B＝{9}，∴9∉A，9∈B，∴x2＝9，U∴x＝±3.[问题]上述解法正确吗？作(A)∩B＝(A∪B)的图示如下：[结论]显然是错误的，没有检查x的值是否使得A中元素满足互异性．正解解答如下：UUU由题意解得x＝±3，代入验证可知当x＝3时，A中元素不满足元素的互异性，故舍去；－3代入满足．∴x＝－3.【小结】要善于将集合语言给出的条件转化为它表示的意义，如a∈A∩B指a在集合A中，也在集合B中，a∈A∪B指a在A中或a在B中，a∈A指a不在集合A中，把握U上述含义在解题时会很有帮助．3．熟记一些常用的结论和性质，可以加快集合的运算〖拓展问题〗在例3的条件下，若满足(B)∪B＝A，速度．U求B.U【解析】因为(B)∪B＝A，所以B⊆A且U＝A，所以1．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(B)Ux2＝3或x2＝x.等于()．x＝±3.A．{x|0≤x＜1}3时，A＝{1，3，3}，B＝{1，3}，U＝A＝{1，C．{x|x＜0}3，3}，此时B＝{3}；U若x＝3，则2B．{x|0＜x≤1}D．{x|x＞1}当x＝【解析】∵B＝{x|x≤1}，借助数轴可以求出B与AUUU当x＝－3时，A＝{1，3，－3}，B＝{1，3}，U＝A的交集为图中阴影部分，＝{1，3，－3}，此时B＝{－3}．Ux＝x，则x＝0或x＝1.2x＝1时，A中的元素x与1重复，x≠1；A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，U＝A＝{1，3，若当B中的元素x与12即{x|0＜x≤1}．【答案】B也重复，不符合元素的互异性，故当x＝0时，2．已知全集U＝{2，5，8}，且A＝{2}，则集合AU0}，此时B＝{3}．U的真子集有________个．综上所述：B＝{3}或B＝{3}或B＝{－3}．【解析】∵A＝{2}，∴A＝{5，8}，A的真子集为{5}，UUUU3个．{8}，∅，共【答案】33．设集合＝通过本单元的学习，你能归纳出哪些知识要点与方法技巧？{1，2，3，4，5}，＝A{2，4}，＝{3，B{3，4}，求(∪)∩U1．在解决有关集合运算的题目时，关键是要准确理解4，5}，＝C交、并、补集的意义，并能将题目中符号语言准确转化为文AB(C)．U【解析】A∪B＝{2，3，4，5}，C＝{1，2，5}，U字语言．2．集合运算的法则可借助Venn图理解，与不等式有关∴(A∪B)∩(C)＝{2，5}．U的集合的交集、并集和补集的运算可结合数轴，运用数形结合思想．yx＝＋1，＝0，x＝1，x2【解析】由题意知解得或yxyy＝＋1，＝1＝2，故A∩B＝{(0，1)，(1，2)}．【答案】A1．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则(A∩B)等于()．UA．{2，3}B．{1，4，5}D．{1，5}C．{4，5}7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，且A∪(B)__________．【解析】∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，∴A∩B＝＝R，则实数a的取值范围是R{2，3}．【解析】B在数轴上可以表示为如图所示，R又∵U＝{1，2，3，4，5}，∴(A∩B)＝{1，4，5}．U【答案】B2．已知全集U＝R，集合A＝{x|要使A∪(B)＝R，则a≥2.R【答案】{a|a≥2}8．已知A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x|m≤x＜1＋3m}．(1)当m＝1时，求A∪B；(2)若B⊆RA，求实数m的取值范围．【解析】(1)m＝，B＝－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1或x＞4}，那么集合A∩(B)U)．A．{x|－2≤x＜4}B．{x|x≤3或x≥4}等于(C．{x|－2≤x＜－1}1{|14}A∪B＝{x|－＜1xx≤x＜，D．{x|－1≤x≤3}【解析】结合数轴可知＜．4}(2)RA＝{x|x≤－1或x＞3}，B＝{x|－1≤x≤4}，1B＝∅时，即m≥1＋3m，得m≤－，满足B⊆RA；2当U所以A∩(B)＝{x|－1≤x≤3}．U【答案】D当B≠∅时，要使B⊆RA，3．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＜1＋3，＜1＋3，mmm即或解得mm＞3.＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合(A∪B)中元素的U1＋3≤－1＞3，m综上所述，mm的取值范围是个数为________．【解析】∵A＝{1，2}，B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，4}，(A∪B)＝{3，5}．(－∞，－12]∪(3，＋∞)．∴U【答案】24．设U＝{2，4，1－a}，A＝{2，a2－a＋2}，若A＝{－1}，求a的值．【解析】根据A＝{－1}可知，－9．设集合I＝{1，2，3}，A是I的子集，若把满足M∪AU＝的集合叫做集合的“配集”，则当＝{1，2}时，IMAAA的配集的个数是________．1∈U，所以1－a＝Ua＝2，将其代入A中检验a－a＋2＝4∈U，符合【解析】定义出一个新的概念“配集”，类似于补集，A的配集有{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，4个．【答案】410．已知全集－1，即2但不同于补集，题意，所以a＝2.3}，共5．如图所示，阴影部分表示的集合是()．U＝{x|x取不大于30的质数}，A、B是U的两个子集，且A∩(B)＝{5，13，23}，(A)∩B＝{11，UU19，29}，(A)∩(B)＝{3，7}，求A，B.U＝{2，3，5，7，11，13，UU【解析】由质数的概念可知17，19，23，29}，A．A∩(B∩C)B．(A)∩(B∩C)UA∩B)，(A)∩B及(A)∩(B)(U在图形中表示出C．C∩(A∪B)D．C∩(A∩B)A、B中，则阴的元素，如图所示：U(A∪B)的子集，即UUUU【解析】由于阴影部分在C中，均不在影部分表示的集合是C的子集，也是U是C∩(A∪B)．U【答案】C6．设集合A＝{(x，y)|y＝x2＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A∩B等于)．A．{(0，1)，(1，2)}B．{(0，1)}C．{(1，2)}D．{y|y≥1}(由图可知(A∪B)＝{3，7}，A∩B＝{2，17}，U∴A＝{2，5，13，17，23}，B＝{2，11，17，19，29}．(见“课程纲要”课程评价表格)§1.2函数及其表示1．2．1函数的概念念中的作用，提高对数学应用性的认识．1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y＝f(x)的含义．重点：函数的三要素，对映射不需要加大难度与过分拓2．掌握构成函数的三要素．展．3．会求函数的定义域．难点：对函数概念的理解与应用．4．了解映射的概念及表示方法，会利用映射的概念来判断“对应关系”是否为映射，感受对应关系在刻画函数概我国2001－2009年的恩格尔系数如下表：恩格尔系数与年份是什么关系？问题1：在研究函数时常会用到区间的概念，区间的表示如何确定？注：实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”．问题2：(1)如何用集合的观点给出函数定义？(2)映射是如何定义的？(3)函数和映射有什么关系？(1)设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．若输入了食品加工机器(比如可以是做饼干的成形机)不能接受的东西，如石块、橡胶、铁块等，机器将会损坏．与此相对应地，在函数机器中，若输入了自变量x是允许值以外的值(不在定义域内的值)，此时的函数机器也将“损坏”，即无意义．在这里，“机器工作原理”↔“f”(对应(2)设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应关系f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．(3)映射不一定是函数，但函数一定是映射．法则)，“各种粮食(制作饼干的原料)”↔“x”[自变量(定义域中的值)]，“成品(饼干)”↔“y”[函数值(值域中的值)]．问题3：(1)函数f：A→B应该满足什么样的对应关系？问题)．1：下列给出的四个图形中，是函数图象的是一个函数的构成要素有几部分？((2)两个函数的定义域和对应关系分别相同，值域相同吗？由此你对函数的三要素有什么新的认识？(1)应满足：①集合A、B都是非空数集；②对于数集A中的每一个元素x，在对应关系f：A→B下，在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应．A．①C．①②③D．③④B．①③④一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域，简称为函数的三要素．【解析】根据函数的定义，对于任意一个x值都有唯一(2)如果两个函数的定义城和对应关系分别相同，那么它们的值域一定相同．由此可以认识到：只要两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么这两个函数就相同．的y值与之对应，结合图形可知，①③④均符合要求，只有②不满足函数的定义，所以选B.【答案】B问题4：(1)函数的定义域是自变量的取值范围，那么你问题2：关于从集合M到集合N的映射，下面说法错误的是()．A．M中每一个元素在N中都有元素与之对应是如何理解这个“取值范围”的？函数有意义又指什么？(2)y＝f[g(x)]表示什么样的函数？求它的定义域应注意什么？B．M中的两个不同元素在N中的对应元素必不相同C．N中的元素在M中可以没有元素与之对应D．N中的某个元素在M中对应的元素可能不止一个【解析】根据映射的概念，从集合M到集合N的映射，即要求M中每一个元素在N中都有元素与之对应，M中的两个不同元素在N中对应的元素可以相同，而N中的元素在M中可以没有元素与之对应，N中的某个元素在M中对应的元素可以为一个或多个．所以B错误．【答案】B问题3：已知函数f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则p＝________，q＝________，f(3)＝________，f(x＋2)＝________．(1)自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值．函数有意义是指：自变量的取值使分母不为0；当根式为偶数次方根时，被开方数为非负数；如果函数有实际意义时，那么还要满足实际取值等等．(2)f[g(x)]表示当函数f(x)的自变量为g(x)时对应的一个函数，它是以x为自变量的