第16章 二次根式试卷(沪科版八年级下册数学)

()()()()第16章二次根式()()()()┃知识归纳┃1．二次根式的概念我们把形式如________(≥0)的式子叫做二次根式．(1)对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数；a是非负数，即a≥0.[易错点](1)次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义(2)9是二次根式，虽然9＝3，但3不是二次根式．因此二次根式指的是某种式子的“外在形态2．二次根式的性质()

2

＝()；

a＝

|a|＝

a>0a＝a<0.3．最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式。分母无根号根号无分，不能再方4．同类二次根式的概念几个二次根式化成最简二次根式以后，如果，这个二次根式叫做同类二次根式．

如：、与

是同类二次根式5．二次根式的运算aa·＝(≥0，≥0)；＝b

(a≥，>0)．二次根式加时先把各二次根式成再把┃考点攻略┃►考点一二次根式有（无）意义的条件

合并．例1

函数y＝2－x＋

1x－

中自变量x取值范围是()A．x≤B＝3C．＜2且≠3D．≤2且x≠►考点二二次根式的性质例2如图17－所示是实数b数轴上的位置化简：2－b2－

a－

2

.易混辨析a2

与2

的区别：

图17－1(1)表示的意义不同.a2

表示非负实数的算术平方的平方；a2

表示实数a的平方的算术平方根．(2)运算的顺序不同.a2

是先求非负实数a的算术平方根后再进行平方运算a

则是先求实数a平方，再求2

的算术平方根．

()a与()·babddd()a与()·babddd(3)取值范围不同．在a2

中，a只能取非负实数，a≥0；而在a

中，a可以取一切实数．()

a

的联系：仅当≥0时，有a2

＝

a.►考点三二次根式的非负性例3若实数、y满足x＋＋(－3)2＝0，则xy值是_．方法技巧：初中段主要涉及三种非负数：a≥，

||≥0，a

≥0.果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.即由a≥，≥0，≥0且＋b＋＝0，一定得到＝b＝＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．►考点四二次根式的运算例4计算下列各题：(1)

310

5ab5c3

2ac·

－2

15(2)(1－3＋2)(1＋3－2)．a易错警示1．在二次根式的运算中，一定要把最后结果化为最简二次根式2．在二次根式的1ab1运算中要灵活运用乘法公式3(＋b)＝(＋)·＝＋但d÷(＋)≠d＋►考点五二次根式的化简例5

设2＝，3＝b，含a、式子表示0.54，则下列表示正确的是()A．0.3ab

B．3ab

C．0.13

D．0.13b方法技巧化简二次根式时注意思想的应用．

aa＝(≥0b>0)的综合运用2整体代换或转化等数学bb

2n222第18章元二次方程2n222┃知识归纳┃1．一元二次方程的概念只含有未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程．[注意]一元二次方程判定的条件是(1)须是整式方程(2)二次项系数不为零a0(3)未知数的最高次数是，且只含有一个未知数．2．一元二次方程的解法一元二次方程有四种解法：法、法、法和法．其基本思想是.[注意]公式法其实质是配方法，只不过省去了配方的过程，但用公式时应注意：(1)将一元二次方程化为一般形式，即先确定、b、c的值；(2)牢记使用公式的前提是b

2

－4ac≥0.3．一元二次方程根的判别式＝b

2

－4ac(1)Δ>0ax

2

＋bx＋c＝0(a≠0)有

的实数根；(2)Δ＝0ax2＋bx＋＝0(a≠0)有

的实数根；(3)Δ<0ax2＋bx＋c＝0(a≠0)

实数根．[注意](1)根的判别式是在一元二次方程的一般形式得出的，因此使用根的判别式之前，必须把一元二次方程化成一般形式(2)果说一元二次方程有实根，应该包括有两个相等的实数根与两个不相等的实数根两种情况，此时－4ac≥0，不能丢掉等号；在利用根的判别式确定方程中字母系数的取值范围时，如果二次项系数含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．4．一元二次方程根与系数的关系一元二次方程＋＋＝0(a0)的两根为两根方程系数之间有如下关系：1x＋＝，x·＝121

.[注意]它成立的条件：①二次项系数不能为0；②方程根的判别式大于或等于0.5．一元二次方程解决实际问题用一元二次方程解决实际问题的几个公式：均增长率b＝a(1＋x，其中b是增后的量a基础量平均增长率n是增长次数公式也适用于平均降低率的问题(2)利润问题：利润＝售价－进价，总利润＝单位利润数量，利润率＝

利润进价

×100%.┃考点攻略►考点一一元二次方程的概念例若关于x的一元二次方程(m－2)x＋3m－＋60的常数项为0，则的值等于()A2B323D．0易错警示一元二次方程的二次项系数含参数时，切记二次项系数不能为0.而且知数的最高次数是2”指的是将方程化简后未知数的最高数是，不能从表面形式上判断．►考点二一元二次方程的解法例2

分别使用配方法、公式法、因式分解法解方程：3(x－3)＝(x－3)．

2222221222x(x1＋22x12xxxx方法技巧解方程时，若方程缺少常数项或方程的右边为0，优先虑因式分解法x－m＝或a＝结构时优先考虑直接开平方法；当方程的二次项系数为1，一次项系数是偶数时，优先考虑配方法；2222221222x(x1＋22x12xxxx►考点三一元二次方程根的情况例3已知关于的一元二次方程(m－＋1＝有实数根，则的取值范围是________．方法技巧根的判别式主要应用(1)不解方程判别一元二次方程根的情况(2)已知一元二次方程根的情况，确定方程中某些字母的取(围)．解题时一定要注意不能忽略二次项系数不为0.►考点四一元二次方程根与系数的关系例4已知关于x的一元二次方程＋xm1＝请你为m选取一合适的整数，使得到的方程有两个不相等的实数根；设α、β是(你所得到的方程的两个实数根，求α

＋β

2

＋αβ的值．方法技巧利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值时，关键是把所给的代数式通过恒等变形，化为含xxx的形式，然后把＋x和xx的值代入所求代数式中即12122111x＋可求出其值．常见的代数式恒等变形有：(1)＋x＝(＋x)－2xx；＋＝；12xx12(3)＋＝12►考点五一元二次方程的应用例52009年某市实现国民生产总值为亿元，计划全市国民生产总值在以后三年都以相同的增长率来实现，到全市国民生产总值达到元．求全市国民生产总值的年平均增长率精确到1%)；求2010至年全市三年可实现国民生产总值多少亿元？精确到亿元)

2222222第192222222┃知识归纳1勾股定理(1)勾股定理的语言叙述：直角三角形两条直角边的_______，等于斜边的(2)勾股定理的数学表达式：如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用表示，那么_勾股定理a＋＝有如下几种变形：变形①a＝________形②＝________形③＝________形④a＝变形⑤＝[易错点](1)勾定理适用范围，局限于直角三角形，锐角和钝角三角形不能用；(2)注意分清直角边和斜边，避免盲目代值而导致错误．2．勾股定理的逆定理如果三角形______________等_________________，那么个三角形是直角三角形.勾股定理和勾股定理的逆定理是一对___________.温馨提示注意勾股定理及其逆定理的联系与区别．联系是二者都与三边关系＋b＝c有关；区别是前者是以一个三角形是直角三角形为条件，进而得到三边的平方关系，后者是以一个三角形三边的平方关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形．3．勾股数能够成为直角三角形三边长度的三个________，称为勾股数.温馨提示(1)常见的勾股数有、4、5,5、、13,8、15、17,724、25,9、40、41.学们应熟记这些勾股数，因为它们不仅在勾股定理及其逆定理中广泛应用，而且还能帮助同学们分析思路，找到解决问题的途径和方法；(2)每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．考点一勾股定理的验证例1如图19－1是边长为c的正方形，由四个两直角边为、的直角三角形和边长b－)的方形组成，因为大正方形的面积表示________大正方形的面积也可表示为，所________＝________，由此可得a、b

2

、

三者之间的关系：例2如图192三个直角三角形拼成直角梯形eq\o\ac(△,()CED是直角三角形)梯形面积不变，所以，

梯

＝________＝，化简可验证

2方法技巧勾股定理的验证方法很多，利用拼图的方法验证勾股定理是将形的问题与数的问题联系起来，其主导思想是通过面积之间的关系，验证勾股定理，即用整体计算和分割计算面2积的方法列出等式，然后化简，即可证得勾股定理．►考点二勾股定理及其逆定理在数学中的应用例3如图193△和△都是等腰直角三角形，∠ACB＝ECD＝D为边上一点，求证：△ACE≌△；AD＋DB＝方法技巧由三边的平方关系可联想到勾股定理，若三边不在同一个三角形中，则设法转化到同一个三角形中去，再证明该三角形是直角三角形