-新教材高中数学午间半小时三十五练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE4午间半小时(三十五)(30分钟50分)一、单选题1．已知平面α，直线m，n满足m⊄α，nα，则“m⊥n”是“m⊥α”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】选B.由直线m，n满足m⊄α，nα，则m⊥n时，m与α可垂直，可不垂直，当m⊥α，且nα，根据线面垂直的性质定理，可以得到m⊥n，所以“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．2．PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC【解析】选C.由题意有，PA⊥平面ABC，因为BC平面ABC，所以PA⊥BC，故A对；而AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC，所以BC⊥平面PAC，故B对；由BC⊥平面PAC可得，BC⊥PC，故D对；若AC⊥PB，因为AC⊥BC，可得AC⊥平面PBC，则AC⊥PC，与已知矛盾，故C错．3．如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()A．EF⊥平面α B．EF⊥平面βC．PQ⊥GE D．PQ⊥FH【解析】选B.因为EG⊥平面α，PQ平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH.4．如图，在四面体A­BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，若AB＝BC＝CD＝1，则AD＝()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【解析】选C.因为BC⊥CD，AB＝BC＝CD＝1，所以BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(2)，又AB⊥平面BCD，BD平面BCD，所以AB⊥BD，因此AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(3).5．在直平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，∠D1AD＝∠DAB＝60°，则cos∠D1AB等于()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)【解析】选A.过点D作DE⊥AB于E，连接D1E，如图，在直平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，则DD1⊥AB，DD1⊥AD，由D1D∩ED＝D可得AB⊥平面D1DE，所以AB⊥D1E，又∠D1AD＝∠DAB＝60°，所以cos∠D1AD＝eq\f(AD,D1A)＝eq\f(1,2)，cos∠DAB＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,2)，所以cos∠D1AB＝eq\f(AE,AD1)＝eq\f(AD,D1A)×eq\f(AE,AD)＝eq\f(1,4).6．如图，在三棱锥P­ABC中，PC⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，PC＝1，则点P到直线AB的距离是()A．eq\f(16,5)B．3C．eq\f(14,5)D．eq\f(13,5)【解析】选D.如图，过P作PD⊥AB交AB于D，连接CD，因为PC⊥平面ABC，AB，CD平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥CD，因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD，因为CD平面PCD，所以AB⊥CD，因为∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，所以AB＝5，所以AC·BC＝AB·CD，解得CD＝eq\f(12,5)，所以PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\f(13,5)，即点P到直线AB的距离是eq\f(13,5).二、多选题7．已知m，n，l是三条直线，α是一个平面，下列命题不正确的是()A．若m∥l，n∥l，则m∥nB．若m⊥l，n⊥l，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥nD．若m⊥α，n⊥α，则m∥n【解析】选BC.对A，根据直线平行的传递性，故A正确；对B，垂直于同一直线的两个直线可以相交、平行、异面，故B错误；对C，平行同一平面的两条直线可以平行、相交、异面，故C错误；对D，垂直于同一平面的两条直线平行，故D正确．三、填空题8．如图所示，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.【解析】因为EA⊥α，CDα，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同理，因为EB⊥β，CDβ，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，所以CD⊥平面AEB.又因为AB平面AEB，所以CD⊥AB.答案：CD⊥AB9．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，此图形中有________个直角三角形．【解析】首先，底面△ABC是直角三角形；因为PB⊥平面ABC，所以PB⊥AB，PB⊥BC，所以△ABP，△PBC是直角三角形；由△ABC，△ABP，△PBC是直角三角形，