-新教材高中数学午间半小时六练习含解析苏教版必修第二册

PAGEPAGE3午间半小时(六)(30分钟50分)一、单选题1．已知单位向量a，b的夹角为eq\f(π,3)，那么|a＋2b|＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(7)C．2eq\r(7)D．4eq\r(3)【解析】选B.|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝1＋4×1×1×eq\f(1,2)＋4×1＝7，所以|a＋2b|＝eq\r(7).2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝()A．4B．3C．2D．0【解析】选D.因为a∥b，a⊥c，所以b⊥c，所以a·c＝0，b·c＝0，c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.3．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则a·b等于()A．1B．－1C．2D．－2【解析】选D.因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，所以a·b＝－2.4．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角θ的余弦值为()A．eq\f(2,3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)【解析】选C.|a－2b|＝|a＋b|⇒(a－2b)2＝(a＋b)2⇒a·b＝eq\f(1,2)b2⇒cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(\f(1,2)b2,\f(3,2)|b|2)＝eq\f(1,3).5．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,2)【解析】选C.设向量a，b的夹角为θ，因为b⊥(2a－b)，所以b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cosθ－12＝0，解得cosθ＝eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3)，即a与b的夹角为eq\f(π,3).6．设a，b，c是任意的非零向量，且它们两两不共线，给出下列结论：①a·c－b·c＝(a－b)·c；②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；③|a|－|b|＜|a－b|；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】选C.根据向量积的分配律知①正确；因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，所以(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，所以|a|－|b|＜|a－b|成立，③正确；由向量的运算性质知，④正确．二、多选题7．已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，下列结论正确的是()A．|a＋b|＝5eq\r(3) B．|a－b|＝5C．a·b＝25 D．a＝b【解析】选AB.a·b＝|a||b|cosθ＝5×5×eq\f(1,2)＝eq\f(25,2).|a＋b|＝eq\r(（a＋b）2)＝eq\r(|a|2＋2a·b＋|b|2)＝eq\r(25＋2×\f(25,2)＋25)＝5eq\r(3).|a－b|＝eq\r(（a－b）2)＝eq\r(|a|2－2a·b＋|b|2)＝eq\r(25－2×\f(25,2)＋25)＝5.8．已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，若向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，则k的取值可能为()A．－12B．3.5C．1D．2【解析】选BD.因为e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角，所以(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋(k2＋1)e1·e2＝2k＞0，所以k＞0.当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0°，不符合题意，舍去．综上，k的取值范围为k＞0且k≠1.三、填空题9．已知向量a与b夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝eq\r(10)，则|b|＝________．【解析】因为|2a＋b|＝eq\r(10)，所以(2a＋b)2＝10，所以4a2＋4a·b＋b2＝10.又因为向量a与b的夹角为45°且|a|＝1，所以4×12＋4×1×|b|×eq\f(\r(2),2)＋|b|2＝10，整理得|b|2＋2eq\r(2)|b|－6＝0，解得|b|＝eq\r(2)或|b|＝－3eq\r(2)(舍去).答案：eq\r(2)10．已知向量a与b满足|a|＝10，|b|＝3，且向量a与b的夹角为120°.则(a＋b)·(a－b)＝________；(2a＋b)·(a－b)＝________．【解析】(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|