-新教材高中数学课时练习13导数的概念及其几何意义含解析新人教A版选择性必修

PAGEPAGE8导数的几何意义(25分钟50分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点(－1，－eq\f(7,3))处切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．135°D．60°【解析】选B.Δy＝eq\f(1,3)(－1＋Δx)3－eq\f(1,3)×(－1)3＝Δx－(Δx)2＋eq\f(1,3)(Δx)3，eq\f(Δy,Δx)＝1－Δx＋eq\f(1,3)(Δx)2，eq\f(Δy,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－Δx＋\f(1,3)（Δx）2))＝1，所以曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(7,3)))处切线的斜率是1，倾斜角为45°.2．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为()A．y＝－2x＋1B．y＝－2x－1C．y＝－2x＋3D．y＝－2x－2【解析】选B.由题意可知，曲线在点P处的切线方程为y－1＝－2(x＋1)，即y＝－2x－1.3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a的值为()A．1B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)D．－1【解析】选A.因为y′＝eq\f(a（1＋Δx）2－a×12,Δx)＝(2a＋aΔx)＝2a.所以2a＝2，a＝1.4．如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于()A．2B．3C．4D．5【解析】选A.易得切点P(5，3)，所以f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.所以f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线y＝f(x)＝x2－3x的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．【解析】设切点坐标为(x0，y0)，f′(x0)＝eq\f(（x0＋Δx）2－3（x0＋Δx）－xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋3x0,Δx)＝eq\f(2x0Δx－3Δx＋（Δx）2,Δx)＝2x0－3＝1，故x0＝2，y0＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－3x0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2).答案：(2，－2)6．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线在点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．【解析】设在P点处切线斜率为k，k＝y′|x＝－2＝eq\o(lim,\s\up6(,Δx→0))eq\f(（－2＋Δx）2－（－2＋Δx）＋c－（6＋c）,Δx)＝－5，所以切线方程为y＝－5x，所以点P的纵坐标为y＝－5×(－2)＝10，将P(－2，10)代入y＝x2－x＋c，得c＝4.答案：4三、解答题(每小题10分，共20分)7．若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－5的距离最短，求点P的坐标．【解析】由点P到直线y＝4x－5的距离最短知，点P处的切线方程与直线y＝4x－5平行，设P(x0，y0)，则y′＝eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(4（x＋Δx）2－4x2,Δx)＝eq\f(8x·Δx＋4（Δx）2,Δx)＝(8x＋4Δx)＝8x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8x0＝4，,y0＝4xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(1,2)，,y0＝1，))故所求的点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).8．已知直线l1为曲线y＝x2＋x－2在(1，0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且l1⊥l2.(1)求直线l2的方程．(2)求由直线l1，l2和x轴围成的三角形的面积．【解析】(1)y′＝eq\f(（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－x2－x＋2,Δx)＝eq\f(2xΔx＋（Δx）2＋Δx,Δx)＝(2x＋Δx＋1)＝2x＋1.y′|x＝1＝2×1＋1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3.设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点B(b，b2＋b－2)，则l2的方程为y＝(2b＋1)x－b2－2.因为l1⊥l2，则有2b＋1＝－eq\f(1,3)，b＝－eq\f(2,3).所以直线l2的方程为y＝－eq\f(1,3)x－eq\f(22,9).(2)解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝3x－3，,y＝－\f(1,3)x－\f(22,9)，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,6)，,y＝－\f(5,2)．))所以直线l1和l2的交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(5,2))).l1，l2与x轴交点的坐标分别为(1，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(22,3)，0)).所以所求三角形的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(25,3)×eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝eq\f(125,12).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1．若函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)，则f′(1)＝()A．2B．eq\f(5,2)C．1D．0【解析】选D.f′(1)＝eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,1＋Δx)))＝0.2．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为()A．(1，0)B．(2，8)C．(1，0)或(－1，－4)D．(2，8)或(－1，－4)【解析】选C.f′(x)＝eq\f(（x＋Δx）3＋（x＋Δx）－2－（x3＋x－2）,Δx)＝eq\f(（3x2＋1）Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3,Δx)＝3x2＋1.由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4.设P0(x0，y0)，则有f′(x0)＝3xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1＝4，解得x0＝±1，P0的坐标为(1，0)或(－1，－4).3．已知函数f(x)＝x2＋2bx的图象在点A(0，f(0))处的切线l与直线x＋y＋3＝0垂直，若数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（n）)))的前n项和为Sn，则S2017的值为()A．eq\f(2019,2018)B．eq\f(2017,2018)C．eq\f(2020,2019)D．eq\f(2018,2019)【解题指南】由条件利用函数在某一点的导数的几何意义求得b的值，根据f(n)的解析式，用裂项法求得数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（n）)))的前n项和Sn的值，可得S2017的值．【解析】选B.由题意可得A(0，0)，函数f(x)＝x2＋2bx的图象在点A(0，0)处的切线l的斜率k＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(（Δx）2＋2bΔx,Δx)＝2b，再根据l与直线x＋y＋3＝0垂直，可得2b·(－1)＝－1，所以b＝eq\f(1,2).因为f(n)＝n2＋2bn＝n2＋n＝n(n＋1)，所以eq\f(1,f（n）)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，故数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,f（n）)))的前n项和为Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1))＝1－eq\f(1,n＋1)，所以S2017＝1－eq\f(1,2018)＝eq\f(2017,2018).4．(多选题)下面说法错误的是()A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在【解析】选ABD.f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率，当切线垂直于x轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．二、填空题(每小题5分，共20分)5．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是________.【解析】因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1，6)，所以斜率k＝eq\f(（－1＋Δx）2－2（－1＋Δx）＋3－（1＋2＋3）,Δx)＝(Δx－4)＝－4，所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.答案：4x＋y－2＝0【补偿训练】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)＞0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f（1）,f′（0）)的最小值为________.【解题指南】由导数的定义，先求出f′(0)的值，从而求出eq\f(f（1）,f′（0）)的表达式，再利用“对于任意实数x，有f(x)≥0”这一条件，借助不等式的知识即可求解．【解析】由导数的定义，得f′(0)＝limΔx→0eq\f(f（Δx）－f（0）,Δx)＝eq\f(a（Δx）2＋b（Δx）＋c－c,Δx)＝[a·(Δx)＋b]＝b.又因为对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac≤0，,a>0，))所以ac≥eq\f(b2,4)，所以c＞0.所以eq\f(f（1）,f′（0）)＝eq\f(a＋b＋c,b)≥eq\f(b＋2\r(ac),b)≥eq\f(2b,b)＝2(当且仅当a＝c＝eq\f(1,2)b时，取等号).答案：26．已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)在A，B两点处的导数f′(a)与f′(b)的大小关系为：f′(a)________f′(b)(填“<”或“>”).【解析】f′(a)与f′(b)分别表示函数图象在点A，B处的切线斜率，故f′(a)>f′(b).答案：>7．已知函数y＝ax2＋b在点(1，3)处的切线斜率为2，则eq\f(b,a)＝________.【解析】因为f′(1)＝2，又eq\f(f（1＋Δx）－f（1）,Δx)＝eq\f(a（1＋Δx）2－a,Δx)＝(aΔx＋2a)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，所以b＝2.所以eq\f(b,a)＝2.答案：28．已知曲线y＝f(x)＝eq\f(1,t－x)上两点P(2，－1)，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).则曲线在点P，Q处的切线的斜率分别为________；曲线在P，Q处的切线方程分别为________．【解析】将点P(2，－1)代入y＝eq\f(1,t－x)，得t＝1，所以y＝eq\f(1,1－x).y′＝eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)＝eq\f(\f(1,1－（x＋Δx）)－\f(1,1－x),Δx)＝eq\f(Δx,[1－（x＋Δx）]（1－x）Δx)＝eq\f(1,（1－x－Δx）（1－x）)＝eq\f(1,（1－x）2).(1)曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝2＝eq\f(1,（1－2）2)＝1；曲线在点Q处的切线斜率为y′|x＝－1＝eq\f(1,4).(2)曲线在点P处的切线方程为y－(－1)＝x－2，即：x－y－3＝0，曲线在点Q处的切线方程为y－eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)[x－(－1)]，即：x－4y＋3＝0.答案：1，eq\f(1,4)x－y－3＝0，x－4y＋3＝0三、解答题(每小题10分，共30分)9．已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】由eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(（x＋Δx）2＋1－（x2＋1）,Δx)＝2x＋Δx，得y′＝eq\f(Δy,Δx)＝(2x＋Δx)＝2x.设切点为P(x0，y0)，则切线斜率为k＝y′|x＝x0＝2x0，由点斜式得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0).又因为切线过点(1，a)，且y0＝xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1，所以a－(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＋1)＝2x0(1－x0)，即xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))－2x0＋a－1＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，且a的取值范围是(－∞，2).10．(1)求曲线f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的切线方程；(2)求经过点(2，0)且与曲线y＝eq\f(1,x)相切的直线方程．【解析】(1)因为曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函数f(x)＝eq\f(2,x)在点(－2，－1)处的导数值．而f′(－2)＝eq\f(f（－2＋Δx）－f（－2）,Δx)＝eq\f(\f(2,－2＋Δx)＋1,Δx)＝eq\f(1,－2＋Δx)＝－eq\f(1,2)，故曲线在点(－2，－1)处的切线方程为y＋1＝－eq\f(1,2)(x＋2)，整理得x＋2y＋4＝0.(2)可以验证点(2，0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0).由y′|x＝x0＝eq\f(\f(1,x0＋Δx)－\f(1,x0),Δx)＝eq\f(－Δx,Δx·（x0＋Δx）·x0)＝eq\f(－1,x0（x0＋Δx）)＝－eq\f(1,xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)))，故所求切线方程为y－y0＝－eq