-新教材高中数学第14章统计4.2用样本估计总体的离散程度参数学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE12用样本估计总体的离散程度参数1．一组数据的极差、样本方差、样本标准差(1)一组数据的极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．(2)样本方差和样本标准差设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为eq\x\to(x)，则称s2＝为这个样本的方差．其算术平方根s＝为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．(3)一个方差的计算公式一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方差为p1(x1―eq\x\to(x))2＋p2(x2－eq\x\to(x))2＋…＋pn(xn－eq\x\to(x))2.2．分层抽样数据的方差一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…，，第j层的样本量为nj，样本平均数为eq\x\to(x)j，样本方差为seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(j))，j＝1，2，…，k.记＝n，那么，所有数据的样本方差为＝＝．1．某校为了丰富校园文化，举行初中生书法大赛，决赛设置了6个获奖名额，共有11名选手进入决赛，选手决赛得分均不相同．若知道某位选手的决赛的得分，要判断他是否获奖，只需知道这11名学生决赛得分的()A．中位数 B．平均数C．众数 D．方差【解析】选A.由中位数的概念，即最中间一个或两个数据的平均数；可知11人成绩的中位数是第6名的得分．根据题意可得：参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的得分以及全部得分的中位数，比较即可．2．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90899095939493去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为()A．92，2B．92，2.8C．93，2D．93，2.8【解析】选B.去掉一个最高分95与一个最低分89后，所得的5个数分别为90，90，93，94，93，所以eq\x\to(x)＝eq\f(90＋90＋93＋94＋93,5)＝92，s2＝eq\f(2×（90－92）2＋2×（93－92）2＋（94－92）2,5)＝eq\f(14,5)＝2.8.3．(教材练习改编)已知数据x1，x2，x3，…，xn是上海普通职工n(n≥3，n∈N*)个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn＋1，则这n＋1个数据中，下列说法正确的是()A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变【解析】选B.插入大的极端值，平均数增加，中位数可能不变，方差也因为数据更加分散而变大．4．从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为________．分数54321人数2010303010【解析】因为这100人成绩的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(20×5＋10×4＋30×3＋30×2＋10×1,100)＝eq\f(100＋40＋90＋60＋10,100)＝3，所以这100人成绩的方差s2＝eq\f(1,100)×[20×22＋10×12＋30×02＋30×12＋10×22]＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)，所以标准差s＝eq\f(2\r(10),5).答案：eq\f(2\r(10),5)5．甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．【解析】(1)甲的平均数eq\x\to(x)甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，乙的平均数eq\x\to(x)乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＞seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))，所以乙机床加工零件的质量更稳定．一、单选题1．下列说法正确的是()A．在两组数据中，平均数较大的一组极差较大B．平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据波动的大小C．方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和D．在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平稳定【解析】选B.平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；方差公式s2＝，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D错误．2．已知数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，则2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为()A．eq\x\to(x)和s2 B．2eq\x\to(x)＋3和4s2C．2eq\x\to(x)＋3和s2 D．2eq\x\to(x)＋3和4s2＋12s＋9【解析】选B.因为数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，所以2x1＋3，2x2＋3，…，2xn＋3的平均数和方差分别为2eq\x\to(x)＋3和4s2.3．现有10个数，其平均数为3，且这10个数的平方和是100，那么这组数据的标准差是()A．1B．2C．3D．4【解析】选A.由s2＝eq\f(1,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋…＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))))－eq\x\to(x)2，得s2＝eq\f(1,10)×100－32＝1，即标准差s＝1.4．下列各组数中方差最小的是()A．1，2，3，4，5B．2，2，2，4，5C．3，3，3，3，3D．2，3，2，3，2【解析】选C.对于选项A：平均数为eq\f(1,5)(1＋2＋3＋4＋5)＝3，方差为s2＝eq\f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2；对于选项B：平均数为eq\f(1,5)(2＋2＋2＋4＋5)＝3，方差为s2＝eq\f(1,5)[(2－3)2＋(2－3)2＋(2－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝1.6；对于选项C：平均数为eq\f(1,5)(3＋3＋3＋3＋3)＝3，方差为s2＝eq\f(1,5)[(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2]＝0；对于选项D：平均数为eq\f(1,5)(2＋3＋2＋3＋2)＝2.4；方差为s2＝eq\f(1,5)[(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2＋(3－2.4)2＋(2－2.4)2]＝0.24.因为0<0.24<1.6<2，所以选项C中的数据方差最小．5．甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，标准差分别为s甲，s乙，则()A．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，s甲<s乙B．eq\x\to(x)甲<eq\x\to(x)乙，s甲>s乙C．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，s甲<s乙D．eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙，s甲>s乙【解析】选C.由题图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知eq\x\to(x)甲>eq\x\to(x)乙．题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，所以s甲<s乙．二、多选题6．一组数据的平均数是eq\x\to(x)，标准差是s，将这组数据中的每个数据都乘以2，所得到的一组新数据的平均值和标准差分别是()A．eq\x\to(x)B．2eq\x\to(x)C．sD．2s【解析】选BD.设该组数据为x1，x2，…，xn，都乘以2后的新数据为2x1，2x2，…，2xn.由题意知eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n)，则eq\f(2x1＋2x2＋…＋2xn,n)＝2eq\x\to(x).又s＝eq\r(\f(（x1－\x\to(x)）2＋（x2－\x\to(x)）2＋…＋（xn－\x\to(x)）2,n))，所以eq\r(\f(（2x1－2\x\to(x)）2＋（2x2－2\x\to(x)）2＋…＋（2xn－2\x\to(x)）2,n))＝2s.7．如图为某市2020年国庆节7天假期的楼房认购量与成交量的折线图，小明同学根据折线图对这7天的认购量(单位：套)与成交量(单位：套)作出如下判断，则判断错误的为()A．日成交量的中位数是16B．日成交量超过日平均成交量的有2天C．10月7日认购量的增幅大于10月7日成交量的增幅D．日认购量的方差大于日成交量的方差【解析】选ABC.7天假期的楼房认购量为：91，100，105，107，112，223，276；成交量为：8，13，16，26，32，38，166.对于A，日成交量的中位数是26，故A错误；对于B，因为日平均成交量为eq\f(8＋13＋16＋26＋32＋38＋166,7)＝eq\f(299,7)，日成交量超过日平均成交量的只有10月7日1天，故B错误；对于C，10月7日认购量的增幅为eq\f(276－112,112)≈146%，10月7日成交量的增幅为eq\f(166－38,38)≈337%，即10月7日认购量的增幅小于10月7日成交量的增幅，故C错误；对于D，因为日认购量的数据分布较分散些，方差大些，故D正确．三、填空题8．一组数据按从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的eq\f(3,2)倍，则该组数据的标准差为________．【解析】由题意，可得该组数据的众数为2，所以eq\f(2＋x,2)＝eq\f(3,2)×2＝3，解得x＝4，故该组数据的平均数为eq\f(1＋2＋2＋4＋5＋10,6)＝4.所以该组数据的方差为eq\f(1,6)×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，即标准差为3.答案：39．对一个做直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如表所示的数据．观测序号i12345678观测数据ai4041434344464748上述统计数据的平均数是______，方差是______．【解析】上述统计数据的平均数＝eq\f(1,8)×(40＋41＋43＋43＋44＋46＋47＋48)＝44，方差＝eq\f(1,8)×[(40－44)2＋(41－44)2＋(43－44)2＋(43－44)2＋(44－44)2＋(46－44)2＋(47－44)2＋(48－44)2]＝7.答案：447四、解答题10．某学校有高中学生500人，其中男生320人，女生180人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的平均数为173.5cm，方差为17cm2，女生样本的平均数为163.83cm，方差为30.03cm2.(1)根据以上信息，能够计算出总样本的平均数和方差吗？为什么？(2)如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗？(3)如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的平均数和方差各为多少吗？它们分别作为总体平均数和方差的估计合适吗？为什么？【解析】(1)不能，因为本题没有给出男、女生的样本量，或者男、女生样本量的比例，故无法计算出总样本的平均数和方差．(2)总样本的平均数为eq\f(320,500)×173.5＋eq\f(180,500)×163.83≈170.02(cm).总样本的方差为eq\f(320,500)×[17＋(173.5－170.02)2]＋eq\f(180,500)×[30.03＋(163.83－170.02)2]≈43.24(cm2).(3)总样本的平均数为eq\f(25,50)×173.5＋eq\f(25,50)×163.83≈168.67(cm).总样本的方差为eq\f(25,50)×[17＋(173.5－168.67)2]＋eq\f(25,50)×[30.03＋(163.83－168.67)2]≈46.89(cm2).不能作为总体平均数和方差的估计，因为此分层抽样中，每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差．11．某校高二年级在一次数学选拔赛中，由于甲、乙两人的竞赛成绩相同，从而决定根据平时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选，这六次测试的成绩数据如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求两人比赛成绩的平均数以及方差，并且分析成绩的稳定性，从中选出一位参加数学竞赛．【解析】设甲、乙两人成绩的平均数分别为eq\x\to(x)甲，eq\x\to(x)乙，则eq\x\to(x)甲＝130＋eq\f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，eq\x\to(x)乙＝130＋eq\f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(甲))＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(乙))＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3).因此，甲与乙的平均数相同，由于乙的方差较小，所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应该选乙参加竞赛比较合适．一、选择题1．已知一组数据x1，x2，x3的平均数是5，方差是4，则由2x1＋1，2x2＋1，2x3＋1，11这4个数据组成的新的一组数据的方差是()A．16B．14C．12D．8【解析】选C.由已知得x1＋x2＋x3＝15，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－5))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－5))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3－5))2＝12，则新数据的平均数为eq\f(1,4)(2x1＋1＋2x2＋1＋2x3＋1＋11)eq\f(2（x1＋x2＋x3）＋3＋11,4)＝11，所以方差为eq\f(1,4)[(2x1＋1－11)2＋(2x2＋1－11)2＋(2x3＋1－11)2＋(11－11)2]＝eq\f(1,4)[4(x1－5)2＋4(x2－5)2＋4(x3－5)2]＝(x1－5)2＋(x2－5)2＋(x3－5)2＝12.2．已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为eq\x\to(x)，方差为s2，则()A．eq\x\to(x)>5，s2>2B．eq\x\to(x)＝5，s2<2C．eq\x\to(x)<5，s2<2D．eq\x\to(x)＝5，s2>2【解析】选B.因为x1，x2，x3，x4，x5的平均数为5，方差为2，则加入5后平均数为：eq\x\to(x)＝eq\f(1,6)×(5×5＋5)＝5，方差为：s2＝eq\f(1,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5×2＋（5－5）2))＝eq\f(5,3)<2.3．若某同学连续3次考试的名次(3次考试均没有出现并列名次的情况)不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是()A．甲同学：平均数为2，众数为1B．乙同学：平均数为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2D．丁同学：众数为2，方差大于1【解析】选B.甲同学：若平均数为2，众数为1，则有一次名次应为4，故排除A；乙同学：平均数为2，设乙同学3次考试的名次分别为x1，x2，x3，则方差s2＝eq\f(1,3)[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2]<1，则(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2<3，所以x1，x2，x3均不大于3，符合题意；丙同学：中位数为2，众数为2，有可能是2，2，4，不符合题意；丁同学：有可能是2，2，6，不符合题意．4．(多选)如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为eq\x\to(x)A和eq\x\to(x)B，样本标准差分别为sA和sB，则()A．eq\x\to(x)A>eq\x\to(x)B B．eq\x\to(x)A<eq\x\to(x)BC．sA>sB D．sA<sB【解析】选BC.eq\x\to(x)A＝eq\f(1,6)(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝6.25，eq\x\to(x)B＝eq\f(1,6)(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝eq\f(35,3)≈11.67.seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(A))＝eq\f(1,6)[(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2＋(5－6.25)2＋(7.5－6.25)2＋(2.5－6.25)2＋(10－6.25)2]≈9.90，seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(B))＝eq\f(1,6)[(15－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2＋(12.5－11.67)2＋(10－11.67)2]≈3.47.故eq\x\to(x)A＜eq\x\to(x)B，sA＞sB.二、填空题5．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，a，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为________．【解析】因为这组数据的平均数为eq\f(1,11)(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋a)＝eq\f(1,11)(61＋a)＝6，所以a＝5.方差s2＝eq\f(42＋22＋22＋12＋12＋02＋12＋22＋32＋52＋12,11)＝6.答案：66．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数eq\x\to(x)＝2，方差s2＝eq\f(1,3)，那么另一组数据3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数为________，方差为________．【解析】平均数为eq\x\to(x)′＝3eq\x\to(x)－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×eq\f(1,3)＝3.答案：437．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________．【解析】设k1，k2，…，kn的平均数为eq\x\to(k)，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3(eq\x\to(k)－4)，所以s2＝＝＝9×＝9×5＝45.答案：458．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如表：等待时间/分钟[0，5)[5，10)[10，15)[15，20)[20，25]频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值eq\x\to(x)＝________，病人等待时间方差的估计值s2＝________．【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(1,20)×(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(分钟)，s2＝eq\f(1,20)×[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(分钟2).答案：9.5分钟28.5分钟2三、解答题9．某班40人随机分成两组，第1组15人，第2组25人，两组学生一次数学考试的成绩(单位：分)情况如表：组别平均分标准差第1组846第2组804求全班学生这次数学考试的平均成绩和方差．【解析】由题意，知第1组这次数学考试的平均分eq\x\to(x)1＝84(分)，方差seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝62＝36(分2)，第2组这次数学考试的平均分eq\x\to(x)2＝80(分)，方差seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝42＝16(分2)，故全班学生这次数学考试的平均成绩eq\x\to(x)＝eq\f(15,40)×84＋eq\f(25,40)×80＝81.5(分)，方差s2＝eq\f(15,40)×[36＋(84－81.5)2]＋eq\f(25,40)×[16＋(80－81.5)2]＝27.25(分2).10．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：(1)填写下表：平均数方差中位数命中9环及以上甲71.21乙5.43(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差分析偏离程度；②结合平均数和中位数分析谁的成绩好些；③