-新教材高中数学课时检测11坐标法含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE6课时跟踪检测（十一）坐标法[A级基础巩固]1．数轴上A，B，C的坐标分别为－7，2，3，则|AB|＋|CA|的值为()A．1 B．19C．3 D．11解析：选B|AB|＋|CA|＝|xB－xA|＋|xA－xC|＝|2－(－7)|＋|(－7)－3|＝19.2．已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A．2 B．4C．5 D．eq\r(17)解析：选D根据中点坐标公式得到eq\f(x－2,2)＝1且eq\f(5－3,2)＝y，解得x＝4，y＝1，所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝eq\r(（4－0）2＋（1－0）2)＝eq\r(17).3．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是()A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰非等边三角形 D．等腰直角三角形解析：选C根据两点间的距离公式，得|AB|＝eq\r(（1－5）2＋（4－5）2)＝eq\r(17)，|AC|＝eq\r(（4－5）2＋（1－5）2)＝eq\r(17)，|BC|＝eq\r(（4－1）2＋（1－4）2)＝3eq\r(2)，所以|AB|＝|AC|≠|BC|，且|AB|2＋|AC|2≠|BC|2，故△ABC是等腰非等边三角形．4．已知平面上两点A(x，eq\r(2)－x)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0))，则|AB|的最小值为()A．3 B．eq\f(1,3)C．2 D．eq\f(1,2)解析：选D∵|AB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－x－0))\s\up12(2))＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3\r(2),4)))\s\up12(2)＋\f(1,4))≥eq\f(1,2)，当且仅当x＝eq\f(3\r(2),4)时等号成立，∴|AB|min＝eq\f(1,2).5．(多选)已知A(3，1)，B(－2，2)，在y轴上的点P满足PA⊥PB，则P的坐标为()A．(0，4) B．(0，1)C．(0，－1) D．(0，－4)解析：选AC设P点坐标为(0，y)，由PA⊥PB，则|PA|2＋|PB|2＝|AB|2，即9＋(y－1)2＋4＋(y－2)2＝25＋1，解得y＝4或－1.6．数轴上点P(x)，A(－8)，B(－4)，若|PA|＝2|PB|，则x等于________．解析：∵|PA|＝2|PB|，∴|x＋8|＝2|x＋4|，解得x＝0或－eq\f(16,3).答案：0或－eq\f(16,3)7．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________．解析：设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，∴eq\f(x,2)＝2，eq\f(y,2)＝－1，∴x＝4，y＝－2，即A(4，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)8．已知函数f(x)的图像与函数h(x)＝x＋eq\f(1,x)＋2的图像关于点A(0，1)对称，则解析式f(x)＝________．解析：设f(x)图像上任一点P(x，y)，则点P关于点(0，1)的对称点P′(－x，2－y)在h(x)的图像上，即2－y＝－x－eq\f(1,x)＋2，所以y＝f(x)＝x＋eq\f(1,x)(x≠0).答案：x＋eq\f(1,x)(x≠0)9．已知▱ABCD的两个顶点坐标分别为A(4，2)，B(5，7)，对角线的交点为E(－3，4)，求另外两个顶点C，D的坐标．解：设C(x1，y1)，D(x2，y2).∵E为AC的中点，∴－3＝eq\f(4＋x1,2)，4＝eq\f(2＋y1,2)，解得x1＝－10，y1＝6.又∵E为BD的中点，∴－3＝eq\f(5＋x2,2)，4＝eq\f(7＋y2,2)，解得x2＝－11，y2＝1.∴C的坐标为(－10，6)，D的坐标为(－11，1).10.如图，已知矩形ABCD的中心与原点重合，且对角线BD与x轴重合，A在第一象限内，|AB|＝eq\r(6)，|BC|＝eq\r(3).求矩形各顶点的坐标．解：∵ABCD为矩形，|AB|＝eq\r(6)，|BC|＝eq\r(3)，∴|AC|＝eq\r(|AB|2＋|BC|2)＝eq\r(6＋3)＝3.∵|BD|＝|AC|，∴|BD|＝3.∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).设A点坐标为(x，y)，则|AD|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))\s\up12(2)＋y2)＝eq\r(3)，①|AO|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(3,2)，②由①②联立，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝\r(2)，))即Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2))).由C点与A点关于原点对称得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\r(2)))，由以上可知，矩形各顶点的坐标为Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\r(2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).[B级综合运用]11．已知点A(－1，3)，B(3，1)，点C在坐标轴上，∠ACB＝90°，则满足条件的点C的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C若点C在x轴上，设C(x，0)，由∠ACB＝90°，得|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，即[3－(－1)]2＋(1－3)2＝(x＋1)2＋32＋(x－3)2＋12，解得x＝0或x＝2.若点C在y轴上，设C(0，y)，同理可求得y＝0或y＝4，综上，满足条件的点C有3个．故选C.12．(多选)已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2，1)，B(－1，3)，C(3，4)，则第四个顶点D的坐标为()A．(2，2) B．(4，6)C．(－6，0) D．(2，－2)解析：选ABC如图，A项：构成▱ABCD(以AC为对角线)，设D1(x1，y1)，AC的中点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，其也为BD1的中点坐标，∴eq\f(1,2)＝eq\f(－1＋x1,2)，eq\f(5,2)＝eq\f(3＋y1,2)，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2，2)，故A正确．B项：以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4，6)，故B正确，C项：以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6，0)，故C正确．易知D不正确，故选A、B、C.13．已知点A(1，3)，B(3，1)，C(0，0)，则AB边上的中线长|CM|＝________，△ABC的面积为________．解析：设AB的中点M的坐标为(x，y)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1＋3,2)＝2，,y＝\f(3＋1,2)＝2，))即M的坐标为(2，2)，∴|CM|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，又|AB|＝eq\r(（1－3）2＋（3－1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，|BC|＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10).∵M(2，2)为AB的中点，∴|CM|2＋|BM|2＝|BC|2，故CM为△ABC底边AB上的高，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|CM|·|AB|＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)＝4.答案：2eq\r(2)414．△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，如图所示．试用坐标法证明：|AE|＝|CD|.证明：如图所示，以B为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设△ABD和△BCE的边长分别为a和c，则A(－a，0)，C(c，0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,2)，\f(\r(3)c,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，\f(\r(3)a,2)))，由距离公式，得|AE|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(c,2)－（－a）))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)c－0))\s\up12(2))＝eq\r(a2＋ac＋c2)，同理|CD|＝eq\r(a2＋ac＋c2)，所以|AE|＝|CD|.[C级拓展探究]15．(定义新知)在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2，可以用绝对值表示点M，N两点间的距离d(M，N)，即d(M，N)＝|x1－x2|.(初步应用)(1)在数轴上，点A，B，C分别表示数－1，2，x，解答下列问题：①d(A，B)＝________；②若d(A，C)＝2，则x的值为________；③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有________个．(综合应用)(2)在数轴上，点D，E，F分别表示数－2，4，6.动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．①当t＝________时，d(D，P)＝3；②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P).解析：(1)①d(A，B)＝|－1－2|＝3；②∵d(A，C)＝2，∴|－1－x|＝2，即－1－x＝2或－1－x＝－2.∴x＝－3或1；③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，∴|－1－x|＋|2－x|＝3，当x≤－1时，|－1－x|＋|2－x|＝－1－x＋2－x＝3，x＝－1.当－1＜x≤2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋2－x＝3，x取0，1，2.当x＞2时，|－1－x|＋|2－x|＝1＋x＋x－2＝3，x＝2(舍去)，综上所述，x的取值有4个；(2)①由题可得，d(D，F)＝8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t，当0≤t≤4时，点P表示的数为2t－2，则d(D，P)＝|－2－(2t－2)|＝3，解