-新教材高中数学课时检测6充分条件和必要条件含解析湘教版必修第一册

PAGEPAGE4课时跟踪检测(六)充分条件和必要条件[A级基础巩固]1．“x＝1”是“x2－4x＋3＝0”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选A若x＝1，则x2－4x＋3＝0，是充分条件，若x2－4x＋3＝0，则x＝1或x＝3，不是必要条件．故选A.2．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．故选B.3．(2021·苏州高一月考)如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件解析：选B根据题意列出A，B，C，D的关系如图，显然有D⇒C⇒B⇒A，即D⇒A；但AD.故选B.4．(多选)下列说法正确的是()A．“方程ax2＋x＋1＝0有实数根”是“a<0”的必要不充分条件B．已知p：1<x<2，q：eq\r(x＋1)≥1，则p是q的充分不必要条件C．“a<0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．当x∈R时，y＝kx2－kx＋1的图象恒在x轴上方，则k的取值范围是(0，4)解析：选AB对于A，由方程ax2＋x＋1＝0有实数根，可得a＝0或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≠0，,1－4a≥0，))所以a≤eq\f(1,4)，故选项A的说法正确；对于B，当1<x<2时，eq\r(x＋1)≥1成立；当eq\r(x＋1)≥1时，解得x≥0，所以p是q的充分不必要条件，故选项B的说法正确；对于C，若方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根，则Δ＝1－4a>0，x1x2＝a<0⇒a<0，所以“a<0”是“方程x2＋x＋a＝0有一个正根和一个负根”的充要条件，故选项C的说法错误；对于D，若当x∈R时，y＝kx2－kx＋1的图象恒在x轴上方，则当k＝0时，不等式化为1>0恒成立，故k＝0符合题意；当k≠0时，只要eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k>0，,Δ＝k2－4k<0，))解得0<k<4，则实数k的取值范围是[0，4)，故选项D的说法错误，故选A、B.5．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是()A．a≥b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：选A由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.5/⇒4≥3.5＋1，故a>b/⇒a≥b＋1，故A正确．6．“x<5”是“x<3”的________________条件．解析：设A＝{x|x<5}，{B＝{x|x<3}，因为AB，所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．答案：必要不充分7．已知集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，若m是满足A∩B＝∅的一个充分不必要条件，则m可以为________．解析：因为集合A＝{x|－1<x<3}，集合B＝{x|x<m＋1}，所以A∩B＝∅⇔m＋1≤－1，即m≤－2，则m<－2.答案：(－∞，－2)(答案不唯一)8．条件p：1－x<0，条件q：x>a，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．解析：p：x>1，若p是q的充分不必要条件，则p⇒q，但eq\a\vs4\al(q⇒/p)，也就是说，p对应集合是q对应集合的真子集，所以a<1.答案：{a|a<1}9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：(1)p：x2>0，q：x>0；(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2；(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除；(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y，且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．10．求方程x2＋kx＋1＝0与x2＋x＋k＝0有一个公共实根的充要条件．解：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋kx＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－（x2＋x）x＋1＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x2＋x＋1）（x－1）＝0，,x2＋x＋k＝0))⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,k＝－2.))所以两方程有一个公共实根的充要条件为k＝－2.[B级综合运用]11．(多选)给出下列四个条件：①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y).其中能成为x>y的充分条件的有()A．① B．②C．③ D．④解析：选AD①由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2⇒x＞y；②当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞ytx＞y；③由x2＞y2，得|x|＞|y|，故x2＞y2x＞y；④由0＜eq\f(1,x)＜eq\f(1,y)⇒x＞y.故选A、D.12．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A．m>0，n>0 B．mn<0C．m<0，n<0 D．mn>0解析：选D因为一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限，所以－eq\f(m,n)<0，且eq\f(1,n)>0，解得m>0，n>0.故由一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限可以推出mn>0.而由mn>0不一定能得到一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象经过第一、二、四象限，所以mn>0是一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件．13．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－eq\f(1,a).由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).综上可知，a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).答案：－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)14．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq\o\al(2,0)＋2cx0－b2＝0.两式相减，得x0＝eq\f(b2,c－a)，将此式代入xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2.①将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0.将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0.故两方程有公共根x＝－(a＋c)．∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.[C级拓展探究]15．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由．解：“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件．理由如下：当a，b，c∈R，a≠0时，若a－b＋c＝0，则x＝－1满足二次