-新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语2集合间的基本关系课件新人教A版必修第一册

第一章

集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系[课程目标]1.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别出集合

的子集，在具体情境中，了解空集的含义；2.能使用Venn图表达集合间的关系，体会图形对理解

抽象概念的作用．

知识点一子集、真子集及集合相等的概念类别文字语言图形语言符号表示子集集合A中____________元素都是集合B中的元素，就称集合____为集合____的子集______或________真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集__________或_________集合相等如果集合A是集合B的________(A⊆B)，且集合B是集合A的_______(B⊆A)，则称集合A和集合B相等__________A⊆B任意一个ABB⊇A子集子集A＝B[研读]“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.

【思辨】判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a∈A，则{a}⊆A.(

)(2)若A⊆B或B⊆A，则A＝B.(

)(3)如果集合B⊆A，那么若元素a不属于A，则必不属于B.(

)(4)已知集合M＝{长方形}，N＝{正方形}，则有N⊆M.(

)√×√√【解析】(1)根据子集的含义知，若a∈A，则{a}⊆A.(2)根据集合相等的概念知，当A⊆B且B⊆A时，A＝B.(3)因为B是A的子集，所以不属于A的元素一定不属于B.(4)正方形是长方形的特殊情况，所以N⊆M.

知识点二空集

[研读]不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.定义我们把______________的集合叫做空集记法∅规定空集是任何集合的_________，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅(2)若A≠∅，则∅_______A不含任何元素子集【思辨】

判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)空集没有子集．(

)(2)空集是任何集合的真子集．(

)(3)∅∈{0}．(

)(4)集合{x|x<3且x>4}是空集．(

)(5)若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集．(

)×××√√【解析】(1)空集的子集是它本身．(2)空集是空集的子集，但不是真子集．(3)∅⊆{0}．(4)集合{x|x<3且x>4}中没有元素．(5)显然集合A中的元素都是集合C中的元素，所以集合A是集合C的子集．例1(1)在以下写法中，正确的个数为(

)①0＝{0}； ②0∈{0}； ③0⊆{0}； ④0＝∅； ⑤0∈∅；

⑥0⊆∅； ⑦∅＝{0}；⑧∅∈{0}； ⑨∅⊆{0}．A．1个 B．2个C．3个 D．4个

B(2)用适当的符号填空．①a____{a，b，c}；②0____{x|x2＝0}；③{0，1}____N；④{0}____{x|x2＝x}；⑤∅____{x∈R|x2＋1＝0}；⑥{2，1}____{x|x2－3x＋2＝0}．∈∈＝＝[规律方法]判断集合间关系的常用方法1．列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部

元素，通过定义得出集合之间的关系．2．集合元素特征法：首先确定集合的代表元素，弄清集合元

素的特征，再利用集合元素的特征判断关系．一般地，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若由p(x)可推出q(x)，则A⊆B；②若由q(x)可推出p(x)，则B⊆A；③若p(x)，q(x)可互相推

出，则A＝B；④若由p(x)推不出q(x)，由q(x)也推不出p(x)，

则集合A，B无包含关系．3．数形结合法：利用Venn图、数轴和平面直角坐标系等图示

形象直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解

集之间的关系，适合画出数轴．

能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(

)

【解析】解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．B例2已知P＝

，Q＝{x|x＝4m±1，m∈Z}，求证：P＝Q.证明：一方面：任取x∈P，则存在m∈Z使得x＝2m＋1，当m＝2k(k∈Z)时，x＝4k＋1∈Q；当m＝2k－1(k∈Z)时，x＝4k－1∈Q，从而x∈Q，所以P⊆Q.另一方面：任取x∈Q，当x＝4m＋1，m∈Z时，x＝2(2m)＋1∈P；当x＝4m－1，m∈Z时，x＝2(2m－1)＋1∈P，从而x∈P，所以Q⊆P.综上可得：P＝Q.例3设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．解：由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，解方程得x＝－4或x＝－1或x＝4.故集合A＝{－4，－1，4}．由0个元素构成的子集为：∅；由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}；由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}；由3个元素构成的子集为：{－4，－1，4}．因此集合A的子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}，{－4，－1，4}．真子集为：∅，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4，4}，{－1，4}.[规律方法]1．集合子集的确定问题．(1)确定所求集合．(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按

元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合．(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．与子集、真子集个数有关的三个结论．

假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集的个数为2n.(2)A的真子集的个数为2n－1.(3)A的非空真子集的个数为2n－2.已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，则B的子集个数是(

)A．4

B．8

C．16

D．15【解析】由B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A且a≠b}，得B＝{3，4，5}，所以B的子集有：∅，{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，共8个．B【迁移探究】已知非空集合P满足：①P⊆{1,2,3,4,5}，②若a∈P，则(6–a)∈P.符合上述条件的非空集合P有多少个？并写出这些集合．例4已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，

若A⊆B，求实数m的取值范围．[规律方法]由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)不能忽视集合为∅的情形．(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．(3)对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．【迁移探究1】本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．【迁移探究2】本例中若将“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|x＜－2或x＞5}”，若B⊆A，求实数m的取值范围．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．若A是B的真子集，则a的取值范围是____________；若B是A的子集，则a的取值范围是____________．【解析】若A是B的真子集，即AB，则a>2，即a的取值范围是{a|a＞2}．若B是A的子集，即B⊆A，则a≤2，即a的取值范围是{a|a≤2}．{a|a＞2}{a|a≤2}1．若集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1，2}，则P与T的关系为(

)A．P＝T

B．PTC．P⊇T D．PT

【解析】由x2－1＝0，得x＝±1，所以P＝{－1，1}．因此PT.故选D.D2．若集合A＝{－1，0，1}，则A的子集中含有元素0的子集共有(

)A．2个

B．4个C．6个

D．8个【解析】集合A含有0的子集分别是{0}，{－1，0}，{0，1}，{－1，0，1}，共4个．故选B.B3．下列说法中正确的是(

)①若AB，则A⊆B； ②若A⊆B，则AB；③若A＝B，则A⊆B； ④若A⊆B，则A＝B.A．①②

B．②③C．①③

D．①②③④C【解析】②不正确，如{1，2}⊆{1，2}，但{1，2}{1，2}不成立；④不正确，如{1}⊆{1，2}