-新教材高中数学第13章立体几何初步1.1棱柱棱锥和棱台学案苏教版必修第二册

PAGEPAGE11棱柱、棱锥和棱台课程标准1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．2.能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．【概念认知】1．棱柱的结构特征(1)棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱，平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面．(2)棱柱的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE­A′B′C′D′E′.(3)特殊的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．2．棱锥的结构特征(1)棱锥的定义：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥．(2)棱锥的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体．棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，例如三棱锥可表示为：三棱锥S­ABC.(3)特殊的棱锥正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥．3．棱台的结构特征(1)棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台．(2)棱台的分类及表示：根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE­A′B′C′D′E′.4．多面体的定义由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体．围成多面体的各个多边形叫作多面体的面；两个面的公共边叫作多面体的棱；棱与棱的公共点叫作多面体的顶点．【自我小测】1．一个棱柱是正四棱柱需满足的条件是()A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，有一个顶点处的两条棱互相垂直D．底面是正方形，每个侧面都是全等矩形【解析】选D.满足了底面是正方形，但当侧面中的两个对面是矩形时并不能保证另两个侧面也是矩形，A错误；垂直于底面的侧面不能保证侧棱垂直于底面，B错误；底面是菱形但不一定是正方形，同时侧棱也不一定和底面垂直，C错误；侧面全等且为矩形，保证了侧棱与底面垂直，底面是正方形，保证了底面是正多边形，因而符合正棱柱的定义和基本特征，故D正确．2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③ B．③④C．①②④ D．①②【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．3．如图，在三棱台A′B′C′­ABC中，截去三棱锥A′­ABC，则剩余部分是()A.三棱锥 B．四棱锥C．三棱柱 D．三棱台【解析】选B.剩余几何体为四棱锥A′­BCC′B′.4．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状可能是________．(填序号)①三角形；②四边形；③五边形．【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．答案：①②5．正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，侧棱长为9，则棱台的斜高等于__________．【解析】棱台的侧面是一个梯形，上底长为5，下底长为7，腰长为9，由勾股定理得h＝eq\r(92－12)＝4eq\r(5).答案：4eq\r(5)6．下列关于棱锥、棱台的说法：(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是____________．【解析】(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；(3)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；(4)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．答案：(2)(3)7．如图所示，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1(1)三棱柱侧面展开图的对角线长；(2)从B经M到C1的最短路线长及此时eq\f(A1M,AM)的值．【解析】将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图).(1)因为矩形BB1B1′B′的长BB′＝6，宽BB1＝2，所以三棱柱侧面展开图的对角线长为eq\r(62＋22)＝2eq\r(10).(2)由侧面展开图可知：当B，M，C1三点共线时，由B经M到C1的路线最短，所以最短路线长为BC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，显然Rt△ABM≌Rt△A1C1M，所以A1M＝AM，即eq\f(A1M,AM)＝1.【基础全面练】一、单选题1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()【解析】选C.将四个选项的平面图形折叠，可知C中的图可复原为正方体．2．在三棱锥A­BCD中，可以当作棱锥底面的三角形的个数为()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【解析】选D.在三棱锥A­BCD中，任何一个三角形都可作为棱锥的底面，所以有4个．3．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有()A．20条 B．15条C．12条 D．10条【解析】选D.如图，在五棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，所以共4．下列几何体中是棱柱的个数有()A.5个B．4个C．3个D．2个【解析】选D.由棱柱的定义知①③是棱柱．5．下面描述中，不是棱锥的结构特征的为()A．三棱锥的四个面是三角形B．棱锥都有两个面互相平行的多边形C．棱锥的侧面都是三角形D．棱锥的侧棱相交于一点【解析】选B.根据棱锥的结构特征，知棱锥中不存在互相平行的多边形，故B错．6．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．9 C．快 【解析】选B.由题意，将正方体的展开图还原成正方体，如图：“1”与“乐”相对，“2”与“9”相对，“0”与“快”相对，所以下面是“9”．二、填空题7．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.【解析】因棱柱有10个顶点，所以该棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为eq\f(60,5)＝12(cm).答案：12三、解答题8．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1【解析】由题意，若以BC(或DC)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm，3cm，故两点之间的距离是eq\r(13)cm.若以BB1(DD1)为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是eq\r(17)cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是eq\r(13)cm.9．如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多长？【解析】将长方体展开，连接AB′，因为AA′＝1＋3＋1＋3＝8(cm)，A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′＝eq\r(82＋62)＝10(cm).所以所用细线最短需要10cm.【综合突破练】一、选择题1．(2021·合肥高一检测)四棱柱有几条侧棱，几个顶点()A．四条侧棱、四个顶点 B．八条侧棱、四个顶点C．四条侧棱、八个顶点 D．六条侧棱、八个顶点【解析】选C.由四棱柱的结构特征知它有四条侧棱，八个顶点．2．如图所示是一个正方体，它的展开图可能是下面四个展开图中的()【解析】选A.由所给正方体可知4，6，8分别位于相邻的三个侧面．【加固训练】如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝()A．60° B．90° C．45° D．30°【解析】选B.将展开图还原为正方体，如图所示，点A，B，C是上底面正方形的三个顶点，则∠ABC＝90°.3．一个三棱锥，如果它的底面是直角三角形，那么它的三个侧面()A．至多有一个是直角三角形B．至多有两个是直角三角形C．可能都是直角三角形D．必然都是非直角三角形【解析】选C.注意到答案特征是研究侧面最多有几个直角三角形，这是一道开放性试题，需要研究在什么情况下侧面的直角三角形最多．在如图所示的长方体中，三棱锥A­A1C1D1【误区警示】解答本题时一看见至多至少的问题容易受到干扰，易从三棱锥中进行研究，会忽略某些特殊情况而致错．4．(多选)下列关于棱柱的说法不正确的是()①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱．A．①B．②C．③D．④【解析】选ABD.四棱柱的底面可以是任意四边形，而平行六面体的底面必须是平行四边形，故①不正确；说法③就是棱柱的定义，故③正确；对比定义，显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，④不正确．二、填空题5．从正方体ABCD­A1B1C1D1(1)矩形的4个顶点；(2)每个面都是等边三角形的四面体的4个顶点；(3)每个面都是直角三角形的四面体的4个顶点；(4)有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体的4个顶点．其中正确结论的个数为________．【解题指南】作出正方体，充分发挥想象力，从平面和立体图形两方面考虑，找到四个顶点，进行判断．【解析】如图所示，四边形ABCD为矩形故(1)满足条件；四面体D­A1BC1为每个面均为等边三角形的四面体，故(2)满足条件；四面体D­B1C1D1为每个面都是直角三角形的四面体，故(3)满足条件；四面体C­B1C1D答案：46．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．如图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H对面的字母是________．【解析】由图可知与H相邻的四个面的字母分别是E，S，P，D，故H的对面的字母为O.答案：O7．下列关于棱柱的说法：(1)所有的面都是平行四边形；(2)每一个面都不会是三角形；(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确说法的序号是__________．【解析】(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；(3)正确，由棱柱的定义易知；(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是(3)(4).答案：(3)(4)8．(2019·全国Ⅱ卷)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.【解析】上下各一个面，中间三层每层8个面，共26个面．最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形，如图：，则有8θ＝360°，解得θ＝45°，即设棱长为x，可得2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)x,2)))＋x＝1，解得x＝eq\r(2)－1.答案：26eq\r(2)－1三、解答题9．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．【解析】画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″，另一个多面体是C′B′BCC″B″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′B