辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学试题含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2018—2019学年辽宁省辽阳市高三(上）期末数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，共60。0分)1。 设集合A={x|1<x<8},B={x∈Z|x>3}，则A∩B的元素个数为()A.3 B。4 C。5 D。6【答案】B【解析】解:∵集合A={x|1<x<8}，B={x∈Z|x>3}，

∴A∩B={4,5，6，7}．

∴A∩B的元素个数为4．

故选：B．

利用交集定义先求出A∩B，由此能求出结果．

本题考查交集的求法,考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2。 (2-i)2-(1+3i)=(A。2-7i B。2+i C.4-7i D。4+i【答案】A【解析】解：(2-i)2-(1+3i)=3-4i-(1+3i)=2-7i．

故选:A．

直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．3. 双曲线x2-y2=3的焦距为A。22 B.4 C。26 【答案】C【解析】解：根据题意，双曲线x2-y2=3的标准方程为x23-y23=1,

其中a=b=3，

则c=a2+b2=64. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=2x,0<x≤12x,x>1，则f(-2)A.4 B。14 C.-4 D。【答案】C【解析】解:根据题意，当x>0时，f(x)=2x,0<x≤12x,x>1，

则f(2)=22=4，f(12)=2×(12)=1，

又由函数为奇函数,则f(-2)=-f(2)=-4,

则f(-2)f(12)=5. 设x,y满足约束条件y≥-3x+4y≥x-1，目标函数z=x+3y，则()A。z的最大值为3 B.z的最大值为2 C.z的最小值为3 D.z的最小值为2【答案】D【解析】解:由y≥-3x+4y≥x-1作出可行域如图，

联立y=-3x+4y=x-1,解得A(54,14)，

化目标函数z=x+3y为y=-x3+z3，由图可知,当直线y=-x3+z3过A时，6。 已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)与g(x)=A2cosωx的部分图象如图所示，则A.A=1,ω=3π

B。A=2，ω=π3

C.A=1,ω=π3【答案】B【解析】解：由图象可知，12A=1,T4=1.5，

∴A=2，T=6，

又6=T=2πω，

∴ω=13π，

故选：B．

7。 函数f(x)=4x-lnx的最小值为()A。1+2ln2 B。1-2ln2 C.【答案】A【解析】解:f'(x)=4x-1x，

当0<x<14时，f'(x)<0；

当x>14时，f'(x)>0．

故f(x)min=f(18. 若l，n是两条不相同的直线，α,β是两个不同的平面,则下列命题中为真命题的是()A.若α//β，l⊂α,则l//β B。若α⊥β，l⊥α,则l//β

C。若l⊥n，n⊥β，则l//β D。若l//α，α//β,则l//β【答案】A【解析】解：A,两个平面平行,其中一个平面内的直线平行另一个平面，故A正确．

故选：A．

A，依两面平行的性质可知正确；

B，C，D都缺少l⊂β的情况．

此题考查了线面平行,属容易题．

9. 已知a>0,且a≠1，函数f(x)=loga(6-ax)，则“1<a<3”是“f(x)在(1,2)上单调递减"的(A。充分不必要条件 B.必要不充分条件

C。充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解:∵a>0，且a≠1,∴函数g(x)=6-ax在(1,2)上单调递减．

又函数f(x)在(1,2)上单调递减，则a>1，且6-2a≥0，解得1<a≤3．

∴“1<a<3”是“f(x)在(1,2)上单调递减”的充分不必要条件．

故选：A．

由a>0，且a≠1，可得函数g(x)=6-ax在(1,2)上单调递减.又函数f(x)在(1,2)上单调递减，可得a>1，且6-2a≥0，解得a范围即可判断出结论．

本题考查了复合函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

10。 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinAsinC=sin2B,a<c，且cosA.169 B。32 C.85【答案】D【解析】解：△ABC中，∵sinA，sinB，sinC成等比数列，

∴sin2B=sinAsinC，

∴b2=ac．

∴cosB=a2+c2-b22ac=a2+11。 设a=log30.4，b=log23A。ab>0且a+b>0 B。ab<0且a+b>0

C.ab>0且a+b<0 D.ab<0且a+b<0【答案】B【解析】解：∵13<0.4<1；

∴-1<log30.4<0；

又log23>1；

即-1<a<0，b>1；

∴ab<0,a+b>0．

故选：B．

容易得出-1<log30.4<0,log212. 设O1为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每个点都在球O的表面上，若两个底面的面积之和为8π，O1A与底面所成角为60∘，则球O的表面积为(A。24π B.28π C.32π D.40π【答案】B【解析】解：如图，

设该圆柱底面半径为r，高为h,则2πr2=8π，

hr=tan60∘=3，解得r=2，h=23,

则球O的半径R=r2+(h2)2=7，

故球O的表面积为二、填空题（本大题共4小题，共20.0分)13。 已知向量a，b的夹角为120∘，且|a|=1，|b|=4，则【答案】-2【解析】解：由向量的数量积公式得：

a⋅b=|a||b|cos120∘=1×4×(-14. 现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同,则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为______．【答案】3【解析】解：现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，

且这两对情侣选择的地方不同,

则基本事件总数n=C52=10，

这两对情侣都选在国外拍婚纱照包含的基本事件个数m=C42=6，

∴这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为p=mn=610=15。 若α为锐角，则当tanα+4tanα取得最小值时，tan【答案】-【解析】解：∵α为锐角,

∴tanα>0,

则当tanα+4tanα≥2tanα⋅4tanα=4，

当且仅当tanα=4tanα即tanα=2时取得最小值4，

tan16。 若椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF【答案】[【解析】解:椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上存在一点P，使得|PF1|=8|PF2|，其中F1，F2分别是C的左、右焦点，

∴|PF1|+|PF2三、解答题（本大题共7小题,共70.0分）17. 设Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．

(1)求{an}【答案】解:(1)∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=81，a2+a3=8．

∴a2+a3=2a1+3d=8S9=9a5=9(a1+4d)=81，

解得a1【解析】(1)由等差数列{an}的前n项和公式和通项公式，列出方程组,求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．

(2)推导出Sn=n(1+2n-1)2=n2.由S3，18。 甲、乙两人2013-2017这五年的年度体验的血压值的折线图如图所示．

(1)根据散点图，直接判断甲、乙这五年年度体检的血压值谁的波动更大，并求波动更大者的方差；

(2)根据乙这五年年度体检血压值的数据，求年度体检血压值y关于年份x的线性回归方程,并据此估计乙在2018年年度体检的血压值．

(附：b∧=i=1n(【答案】解:(1)根据散点图知，甲的血压值波动更大些，

甲这五年年度体检的血压值的平均值为

x=15×(100+110+120+115+105)=110，

其方差为

s2=15×[(100-110)2+(110-110)2+(120-110)2+(115-110)2+(105-110)2]=50；

(2)计算x=2015，y=115,

【解析】(1)根据散点图知甲的血压值波动更大些，计算甲的平均值和方差；

(2)计算平均数和回归系数,写出回归方程,利用回归方程求出x=2018时y∧的值即可．

本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．19. 如图,在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且PA=AB=BC=2，AC=22．

(1)证明:△PBC为直角三角形;

(2)设A在平面PBC内的射影为D，求四面体ABCD的体积．

【答案】证明：(1)∵AB=BC=2,AC=22，∴AB2+BC2=AC2,

∴AB⊥BC．

∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC．

∵AB∩PA=A，∴BC⊥平面PAB．

又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB，

故△PBC为直角三角形．

解：(2)D为线段PB的中点,证明如下：

∵PA=AB,∴AD⊥PB．

又∵BC⊥平面PAB，∴AD⊥BC．

∵PB∩BC=B，∴AD⊥平面PBC．

取AB的中点H，则DH⊥平面ABC，

∵DH=12PA=1，【解析】(1)推导出AB⊥BC，PA⊥BC，从而BC⊥平面PAB，进而BC⊥PB，由此能证明△PBC为直角三角形．

(2)D为线段PB的中点，取AB的中点H,则DH⊥平面ABC，由此能求出四面体ABCD的体积．

本题考查直角三角形的证明,考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．

20. 在直角坐标系xOy中直线y=x+4与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，且OA⊥OB．

(1)求C的方程；

(2)若D为直线y=x+4外一点，且△ABD的外心M在C上,求M的坐标．【答案】解：(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),联立y=x+4x2=2py，可得x2-2px-8p=0，

则x1+x2=2p，x1x2=-8p，

从而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16=-8p+8p+16=16，

∵OA⊥OB，

∴【解析】(1)联立方程组，根据韦达定理和向量的数量积即可求出，

(2)先求出线段AB的中垂线方程为y=-x+8，再联立方程组，解得即可．

本题考查了直线和抛物线的位置关系，考查了转化能力和运算能力，属于中档题

21. 已知函数f(x)=(x-a)ex+3．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥f(0),证明：f(x)≥23x2+2;

(3)若a=2，直线y=kx与曲线y=f(x)相切，证明：0<k<0.31．【答案】解：(1)f'(x)=(x-a+1)ex，

令f'(x)>0，解得：x<a-1，则f(x)在(a-1,+∞)递增，

令f'(x)<0，解得:x<a-1，则f(x)在(-∞,a-1)递减；

(2)证明：∵f(x)≥f(0)，

故f(x)min=f(0)，则0是f(x)的极小值点，

由(1)知a-1=0，则a=1，

设函数g(x)=(x-1)ex-23x3+1,则g'(x)=x(ex-2x)，

设函数h(x)=ex-2x，则h'(x)=ex-2,

易知h(x)min=h(ln2)=2(1-ln2)>0，

则h(x)>0恒成立,

令g'(x)<0，得x<0，令g'(x)>0,得x>0，

则g(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增，

则g(x)≥g(0)=0,

从而f(x)-(23x3+2)≥0，即f(x)≥23x3+2；

(3)证明:设切点为(x0,kx0),

当a=2时，f'(x)=(x-1)ex，

则kx0=(x【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；

(2)求出f(x)的最小值，求出a的值,设函数h(x)=ex-2x，得到h(x)>0恒成立，根据函数的单调性证明即可；

(3)代入a的值，得到(x0222. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为y=4t-1x=2t+1(t为参数),曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)．

(1)求l和C的直角坐标方程；

【答案】解：(1)∵直线l的参数方程为y=4t-1x=2t+1(t为参数)，

∴直线l的直角坐标方程为2x-y-3=0．

∵曲线C的参数方程为y=2+sinθx=a+cosθ(θ为参数)，

∴曲线C的直角坐标方程为(x-a)2+(y-2)2=1．

(2)曲线C是以(a,2)为圆心，1为半径的圆,

圆心C(a,2)到直线l的距离d=|2a-5|5，

当a=5±52时，d=|2a-5|5=1，l和C相切；【解析】(1)由直线l的参数方程能求出直线l的直角坐标方程；由曲线C的参数方程能求出曲线C的直角坐标方程．

(2)曲线C是以(a,2)为圆心，1为半径的圆，圆心C(a,2)到直线l的距离d=|2a-5|5,由此利用分类讨论思想能判断l和C的位置关系．

23。 设函数f(x)=|x-a|+|x-4|．

(1)当a=1时，求不等式f(x)<7的解集；

(2)若∃x0∈R,f(x0【答案】解：(1)当a=1时,f(x)=5-2x,x≤13,1<x<42x-5,x≥4，

故不等式f(x)<7的