中学生物理比赛系列练习试题圆周运动

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中学生物理比赛系列练习题

第四章圆周运动万有引力定律

1、如图所示，赛车在水平赛道上做90°转弯，其内、外车道转弯处的半径分不为r1、r2，车与路面间的动摩擦因数基本上μ。试咨询：比赛中车手应选图中的内道依然外道转弯？在上述两条转弯路径中，车手在内、外车道挑选中也许赢得的时刻为多少？

解：对外车道，其走弯道所允许的最大车速为V2，则m(V2)2∕r2=μmg,∴V2＝2gr*μ,所以车先减速再加速，加速度为a=μmg∕m=μg,减速的路径长

为X2＝（Vm2

－V22

）∕2a=2

222

r

gVm-μ,∴总时刻为t2=t减速＋t圆弧＋t加速＝aVVm2-+

222Vr*π＋aVVm2-（2分）＝μgVm2－（2－2π

）μgr2（2分）同理，车走内道的时刻为t1=

μgVm2－（2－2π

）μ

gr1(4分)又由于车在内道和外道的直线路径是相等的。∴车手应该挑选走外道。时刻差为:Δt=t1-t2=（2－2π

）μ

grr12-(3分)

2、依照天文观测，月球半径为R=1738km，月球表面的重力加速度约为地球表面的重力加速度的1/6，月球表面在阳光照耀下的温度可达127℃，此刻水蒸气分子的平均速度达到v0=2000m/s。试分析月球表面没有水的缘故。（取地球表面的重力加速度g=9.8m/s2）（要求至少用两种办法讲明）

办法一：假定月球表面有水，则这些水在127℃时达到的平均速度v0=2000m/s

必须小于月球表面的第一宇宙速度，否则这些水将不可能落降回月球表面，导致月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R2=mv12/R2，mg月=GMm/R2，g月=g/6，因此代入数据解得v1=1700m/s，v1＜v0，即这些水分子会象卫星一样绕月球转动

而别降到月球表面，使月球表面无水。

办法二：设v0=2000m/s为月球的第一宇宙速度，计算水分子绕月球的运行半径

R

1

，假如R1＞R，则月球表面无水。取质量为m的某水分子，因为GMm/R12=mv02/R12，

mg

月

=GMm/R12，g月=g/6，因此R1=v02/g月=2.449×106m，R1＞R，即以2000m/s的速度运行的水分子别在月球表面，也即月球表面无水。

办法三：假定月球表面有水，则这些水所受到的月球的引力必须脚以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满脚：mg月＞GMm/R2，当v=v0=2000m/s时，

g

月

＞v02/R=2.30m/s2，而如今月球表面的重力加速度仅为g/6=1.63m/s2，因此水分子在月球表面所受的重力别脚以提供2000m/s所对应的向心力，也即月球表面无水。

办法四：假定有水，则这些水所受到的月球的引力必须脚以提供水蒸气分子在月球表面所受到的向心力，即应满脚：mg月＞GMm/R2，，即应有g月R＞v2而实际上：

g

月R=2.84×106m2/s2，v

2=4×106m2/s2，因此v

2＞g

月

R即以2000m/s的速度运行

的水分子别能存在于月球表面，也即月球表面无水。

3、半径分不为r1和r2（r1：r2=5：1）的；两金属细齿轮互相吻合地装配在一起，如图所示，它们的转轴半径均为。整个装置放在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场的方向平行于转轴。两转轴经过金属支架互相连通。当两齿轮互相接触时，量得两齿轮边缘之间的电阻为R。现将一其质量为m的物体用轻绳绕在大齿轮的轴上，忽略摩擦损耗，求悬挂物体在重力作用下匀速下降的速度。

4、用恰好脚以摆脱太阳引力场的速度，在离开太阳的径向轨道上，从地球发射一航天器，由时刻操纵以便航天器在木星后面一定距离穿越木星轨道。因航天器跟木星引力场有作用而偏转90o，即作用后的速度切于木星轨道（圆轨道）。在这作用中航天器单位质量得到的能量是多少？（在作用时略去太阳引力场，并假设持续时刻与木星周期相比非常小）

题库83

5、开普勒从1909年至1919年发表了闻名的开普勒行星三定律：第一定律：所有的行星分不在大小别同的椭圆轨道上环绕太阳运动，太阳在这些椭圆的一具焦点上。第二定律：太阳和行星的联线在相等的时

间内扫过相等的面积。第三定律：所有行星的椭

圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值都相等。实践证明，开普勒三定律也适用于人造地球卫星或宇宙飞船。宇宙飞船在距火星表面H高度处作匀速圆周运动，火星半径为R，今设飞船在极短时刻内向外侧喷气，使飞船获得一径向速度，其大小为原速度的α倍。因α非常小，因此飞船新轨道不可能与火星表面交会，如图所示。飞船喷气质量可忽略别计，引力势能表达式为r

GMm

-

。试求：(1)飞船新轨道的近火星点的高度h近和远火星点高度h远；(2)设飞船原来的运动速度为v0，试计算新轨道的运行周期T

设火星和飞船的质量分不为M和m，飞船沿椭圆轨道运行时，飞船在最近点或最远点到火星中心的距离为r，飞船速度为v。

因飞船喷气前绕圆形轨道的面积速度为00vr2

1，等于喷气后飞船绕椭圆轨道

在D点的面积速度θsin2

1

0Dvr（D为圆轨道和椭圆轨道的交点），

由开普勒第二定律，后者又等于飞船在近、远火星点的面积速度rv2

1

，即：

rvvrvrD2

1

sin2121000==θ，即rvvr00=…………（1）2分由机械能守恒定律：0

2

02202rMmG

)vv(m21rMmGmv2

1-+=-α…（2）2分飞船沿原轨道运动时：0

202

0rvm

rMmG

=………………（3）2分

式中hRr,HRr0+=+=…………（4）2分联立方程组可解得：αα+-=1RHh近…（5）2分α

α-+=1R

Hh远（6）2分

（2）设椭圆半长轴为a，则a2rr＝远近+，即：2

01raα-=……（7）2分

飞船喷气前绕圆轨道运行的周期为：0

0vr2Tπ=

…………（8）2分设飞船喷气后，绕椭圆轨道运行的周期为T，由开普勒第三定律得：

2300)(ra

TT=（9）2分从而解得：23

20)11()(2α

π-+=vHRT……（10）4分

6、一半径为1.00mR=的水平光滑圆桌面，圆心为O，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线C，如图预17-2所示。一根别可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为27.510kgm=?－的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一具方向与绳垂直、大小为04.0m/sv=的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为02.0NT=时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．1．咨询绳正要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?2．若绳正要断开时，桌面圆心O到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，咨询物块的降地方到桌面圆心O的水平距离为多少？已知桌面高度

0.80mH=．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加

速度大小为210m/s．

解：因桌面是光滑的，轻绳是别可伸长的和柔软的，且在断开前绳基本上被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块别做功，物块速度的大小保持别变。设在绳正要断开时绳的伸直部分的长度为x，若此刻物块速度的大小为xv，则有0xvv=（1）

绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有

22

00x

mvmvTxx

==

（2）由此得2

mvxT=（3）代入数据得0.60mx=（4）

2.设在绳正要断开时，物块位于桌面上的P点，BP是绳的伸直部分，物块速度0v的方向如图预解17-2所示．由题意可知，

OBBP⊥．因物块离开桌面时的速度仍为0v

，物块离开

桌面后便做初速度为0v的平抛运动，设平抛运动记忆的时刻为t，则有

2

12

Hgt=

（5）物块做平抛运动的水平射程为10svt=（6）由几何关系，物块降地地方与桌面圆心O的水平距离s为

s=

（7）

解（5）、（6）、（7）式，得s=代人数据得2.5ms=

7、假设银河系的物质在宇宙中呈对称分布，其球心为银心。距离银心相等处的银河系质量分布相同。又假定距银心距离为r处的物质受到银河系的万有引力和将以r为半径的球面内所有银河系物质集中于银心时所产生的万有引力相同。已知地球到太阳中心的距离为Ro，太阳到银心的距离a=1.75×109Ro，太阳绕银心做匀速圆周运动，周期T=2.4×108年。太阳质量为Ms，银河系中发亮的物质仅分布在r≤1.5a的范围内。目前也许测得绕银心运动的物体距银心的距离别大于6a，且在0≤r≤6a范围内，物体绕银心运动的速率是一恒量。按上述条件解答：（1）论证银河系物质能否均匀分布？

（2）计算银河系中发光物质质量最多有多少？（3）计算整个银河系物质质量至少有多少？

（4）计算银河系中别发光物质（即暗物质）质量至少是多少？（上述计算结果均用太阳质量Ms表示）

题库p84

8、已知地球和火星都在同一平面上绕太阳做圆周运动，火星轨道半径凡为地球轨道半径凡的1.5倍．若要从地球表面向火星发射探测器，简单而又比较节约能量的发射过程可分为两步：①在地球表面用火箭对探测器举行加速，使之获得脚够的动能，从而成为一具沿地球轨道运行的人造行星（此刻，地球对探测器的引力非常小，能够忽略别计）；②在适当时间点燃与探测器连在一起的火箭发动机，在短时刻内对探测器沿原运动方向加速，使其速度数值增加到适当值，从而使得探测器沿着一具与地球轨道及火星轨道分不在长轴两端相切的半个椭圆轨道上运动，从而使探测器正好射到火星上，如图3甲所示．当探测器脱离地球并沿地球公转轨道稳定运行后，在某年3月1日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600如图3乙所示．咨询应在何年何月何日点燃探测器上的火箭发动

机方能使探测器恰好降在火星表面（时刻计算仅需精确到日）。已知地球半径为Re=6.4×106m，重力加速度g可取9.8m/s2。

探测器在地球公园轨道上运行的周期Td与地球公转周期相同Td=Te=365d火星公转周期Tm=36535.1=671d探测器的椭圆轨道上的运行周期为Td’=365325.1=510d所以探测器从燃火箭开始至到达火星需时255d

从点燃火箭发动机前绕太阳转动的角速度为ωd=ωe=0.9860/dωm=0.5370/d

由于探测器运行至火星需时255d，火星在此期间运行的角度为ωm·Td’/2=1370即探测器在椭圆轨道近日点发射时，火星应在其远日点的切点之前1370

，亦即点燃发动机时，探测器与火星之间对太阳的圆心角应为1800-1370=430

在某年3月1日零时，经观测计算知火星与探测器与太阳所张角度为600（火星在前探测器在后），为使其张角为430，必须等待二者在各自轨道中运行至某个合适时日，设二者到达合适的位置，探测器又记忆的天数为t，则600-430=ω

dt-ωmtt=38d

故点燃火箭发动机的时间应为当年的3月1日之后38天，即同年4月7日

附加

1、2006年2月10日，中国航天局将如图所示的标志确定为中国月球探测工程形象标志。它以中国书法的笔触，抽象地勾勒出一轮明月，一双足印踏在其上，象征着月球探测的终极梦想。

我国的“嫦娥奔月”月球探测工程差不多启动，分“绕、降、回”三个进展时期：在2007年前后发射一颗环绕月球

飞翔的卫星，在2012年前后发射一颗月球软着陆器，在20XX年前后发射一颗返回式月球软着陆器，举行首次月球样品自动取样并安全返回地球。设想着陆器完成了对月球表面的考察任务后，由月球表面回到环绕月球做圆周运动的轨道舱，如图所示，为了安全，返回的着陆器与轨道舱对接时，必须具有相同的速度。设着陆器质量为m，月球