大学课件：第六周 直线和平面的投影

第二章点、直线、平面的投影一、投影的基本知识二、点的投影三、直线的投影四、平面的投影直线的投影一、一般位置线二、投影面平行线三、投影面垂直线四、直线上的点五、两直线的相对位置

空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。

直线的投影一般仍为直线。

HHHa(b)BAabbaABαAB

当直线垂直投影面时，其投影积聚为一点，如图（a）所示；当直线平行投影面时，其投影与直线本身平行且相等，如图（b）所示；当直线倾斜于投影面时，其投影的长度比直线本身的长度缩短，如图（c）所示。(a)(b)(c)OXBAaba'b'OXa'ab'bVH

作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）即可。在投影图中，直线的投影用粗实线表示。直线的名称可由其端点表示（如直线AB，三个投影表示为ab、a'b'、a"b"）；也可以用一个字母表示（直线L，它的投影表示为l、l'、l")。直线对投影面H、V、W的相对位置的分类如下：直线一般位置直线特殊位置直线投影面平行线投影面垂直线3.1一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线，简称一般线。agaababb

AZVWYXOHβBagaababb

AZVWYXOHβBXOYHYWZabab

ab投影特点1、一般线对各基本投影面都倾斜，三个投影的长度小于线段的实长。直线的实长与三个投影的关系为：cd=CD﹒cosα，c’d’=CD﹒cosβ，c’’d’’=CD﹒cosγ2、一般线上各点到同一个投影面的距离都不等，所以，三个投影面上的投影均倾斜于投影轴3、三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角

读图读图时，只要直线的任两投影呈倾斜状态，即可断定该直线是一般位置直线。

agaababb

AZVWYXOHβBXOYHYWZabab

ab

在三面投影中，根据直线的任意两个投影，可以求出它的第三面投影，方法为求作直线上两端点的第三投影。

【例1】如图所示，已知直线AB的水平投影ab和正面投影a’b’，求其侧面投影a’’b’’。投影面平行线

（一）空间位置

平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直线称为投影面平行线。投影面平行线有三种情况：平行于H面的直线称为水平线；平行于V面的直线称为正平线；平行于W面的直线称为侧平线。水平线—AB∥HXza

b

ab

OYHYWbaZaababb

ABVWYXO

(1)在H面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投影面倾角的大小。H水平线—AB∥HXza

b

ab

OYHYWbaZaababb

ABVWYXO。H

(2)直线在它不平行的两个投影面上V、W的两个投影，共同垂直于这两个投影面交成的投影轴Z。正平线——平行于正立投影面（V面）的直线，称为正面平行线，简称正平线。投影特性：1.ab

//OX，

a’’b’’//OZ2.

a’b’反映实长和倾角α、γ侧平线——平行于侧立投影面（W面）的直线，称为侧面平行线，简称侧平线。投影特性：1.ab

//OYH，a’b’//OZ2.

a’’b’’反映实长和倾角α、β

VWHZXYOZXYHYWZXYHYWOZXYHYW

三种投影面平行线BAa'b'a"b"abABb'Oaba'a"b"a"b"a'b'baBAa"b"a'b'abβγb'Oa'αγb"a"abOaba'b'b"a"αβVWHZXYOVWHZXYO水平线正平线侧平线

投影特性：1、直线在其平行的投影面上的投影，平行于直线本身，且反映实长；2、该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线与另两投影面的倾角；3、在另两投影面上的投影共同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投影轴），且不反映线段的实长。

读图时，一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影轴，即可断定该直线是投影面平行线，平行于该倾斜投影所在的投影面。ZXYHYWZXYHYWOZXYHYWa"b"a'b'abβγb'Oc'αγb"c"cbOaba'b'b"a"αβ投影面垂直线

（一）空间位置

垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的直线称为投影面垂直线。投影面垂直线有三种情况：垂直于H面的直线称为铅垂线；垂直于V面的直线称为正垂线；垂直于W面的直线称为侧垂线。铅垂线

—AB⊥H

H面垂直线具有下列投影特性：(1)在H面上的投影积聚成一点;

(2)在另外两个投影面上V、W的投影，反映了实长，并共同平行于同一条投影轴Z。ZXOYHYWb

a

baa(b)b

a(b)a

abABVWYXZOH正垂线——垂直于正立投影面（V面）的直线，称为正面垂直线，简称正垂线。侧垂线——垂直于侧立投影面（W面）的直线，称为侧面垂直线，简称侧垂线。OZXYHYW

VWHZXYOOZXYHYW

三种投影面垂直线的立体图、投影图ABABBAb'a'a(b)b"a"(a')b'a"b"ababb'a'a"(b

")a'b'aba"(b")bab"a"(a')b'a(b)b'a'a"b"VZXWHYVWHZXYOOOZXYHYW铅垂线正垂线侧垂线

投影特性：1、直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点；2、在另两投影面上的投影共同平行于这两个投影面交成的投影轴（或分别垂直于相应的投影轴），且反映直线实长。

读图读图时，只要一投影积聚为一点，即可断定该直线是投影面垂直线（垂直于积聚投影所在投影面）。OZXYHYWOZXYHYWa'b'aba"(b")bab"a"(a')b'a(b)b'a'a"b"OZXYHYW直线上的点

直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点的投影规律。

(点E在直线AB上，点K不在直线AB上)aabAVXOHBXOababbKEekekekkeb直线上的点的投影

判断点是否在直线上

一般情况下，根据点的两个投影是否在直线的同面投影上就可以确定。当直线是某一投影面的平行线时，还应观察直线所平行的那个投影面上的投影，才能判别一点是否在直线上。XOaabYHYWZabccc故C点不在AB上。直线上的线段之比

点E在直线AB上AE:EB＝ae:eb

＝a'e':e'b'

＝

a"e":e"b"。

aabAVXOHBbEee

由平行投影的特性可知：若点在线上，点分空间线段长度之比等于其同面投影长度之比。【例】试把已知线段AB分成AC:CB＝2:3。XO

分析：由定比性知：ac:cb＝a'c':c'b'＝AC:CB＝2:3，为此，用几何作图的方法分线段AB的一个投影（如ab）为ac:cb＝2:3，可得C点的水平投影c；然后按直线上点的投影特性在a'b'上定出c'，C（c、c'）即为所求。

ab作图：（1）过投影a作任意辅助线aB0，在此线上度量五等分，使aC0:C0B0=2:3，确定C0；（2）连b和B0，再过C0作辅助线平行于B0b交ab于点c，在水平投影ab上得分点C的水平投影c

；（3）再由c向上作铅垂连系线，在正面投影a'b'上得分点C的正面投影c'。bB0C0accd定比法:把正面投影e'

所分c'd'的比m:n移到cd上面作出e

。XOcdc

分析：分析：由投影可知CD为侧平线，由e'

不能直接对应作出投影e，因此可用定比法或第三投影作图。nmnm作出第三面投影：先作出CD的侧面投影c"d"，再在c"d"上作出e"，最后在cd上找到e。ZcdYHYWeee【例】已知侧平线CD上一点E的正面投影e'，要求作出点E的水平投影e。

检验方法：补出第三面投影检验方法两直线的相对位置一、两相交直线

二、两平行直线三、两交叉直线

相交两直线

若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的交点符合点的投影规律。VWHBACDabXZYOcdcdabkkKcdbakXZa

b

ab

OYHYWbacdc

d

cd

kkk

反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。

两条一般位置直线，只要任意两组同面投影符合上述条件，即可肯定两直线相交。

f

e

fe

efghg

h

gh

不相交

如两直线中，只要有一条为某投影面的平行线，如要判别它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或者利用分比法来判定。a

b

cbadc

d

cd

不相交e

acd平行两直线

若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。VWHcdabcdBACDababXZa

b

ab

OYHYWbacdc

d

cd

根据投影判断两直线是否平行:

对于一般位置的两直线，仅根据直线的任意两个同面投影是否平行即可判别它们在空间是否平行；

XZa

b

ab

OYHYWbacdc

d

cd

XOa

对于平行于同一投影面的两直线，则需要有一组是被平行的投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致来确定。

ZYHYWbabcdcdabdcXOaZYHYWbabcddcabdc平行

不平行

【例】判别四边形ABCD是否为平面四边形。O

分析：若四边形ABCD为平面四边形，则四边形的两对角线一定相交，否则为空间四边形。a作图：（1）连接ac和a'c'；（2）连接bd和b'd'；（3）检查a'c'和b'd'的交点Ⅰ与ac和bd的交点Ⅱ连线是否垂直于OX轴。因交点连线ⅠⅡ不垂直于OX轴，所以可判别四边形ABCD不是平面四边形。

aXbcdbcdⅠⅡ否【例】给出平行四边形ABCD两边AB和AC的两个投影，试完成它的投影图。

空间既不平行又不相交的两直线，称为交叉两直线。交叉两直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性。交叉两直线

XOaZYHYWbabcddcabdc交叉

f

e

fe

efghg

h

gh

交叉

虽然两交叉直线的某一个同面投影有时可能平行，但其他同面投影不可能同时都相互平行。VXOH

空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投射线上，是重影点。投影时，需判断重影点的可见性。

ABCDbadcabcdMNm(n)nmk(l)LKklaaXbcdbcOdm(n)mnlkk(l)四、平面的投影一、一般位置平面二、投影面平行面三、投影面垂直面四、平面上的点和线平面几何元素表示法cbac'b'a'c'cabb'a'abcc'a'b'cc'aa'b'cc'aba'b'dd'不在一直线上三点一直线和线外一点相交两直线平行两直线任意平面图形平面的投影性质1、平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。a"b"c"ca'b'baABCXXYZZYHYWa’b’’ab’a’’bcc’c’’O(a)bcad

2、平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个类似图形，但形状、大小均可变化(图a)。

(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf积聚投影3、平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一直线(图b)。

(a)bcadd(a)c(b)(b)EFMemf4、平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面图形的真实性状、大小和方向等(图c)。

(c)badc平面对三个投影面HVW的相对位置分类如下：平面一般位置平面：与各投影面呈一般角度的倾斜。特殊位置的平面投影面垂直面：垂直于某投影面。投影面平行面：平行于某投影面。一般位置平面结论：一般面的三面投影均为原形的类似形，其大小小于实形。a"b"c"ca'b'baABCXXYZZYHYWa’b’’ab’a’’bcc’c’’O读图一平面的三个投影都没有积聚性，而是平面图形或其他几何元素，它必然是一般面。投影面垂直面

垂直于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，称为投影面垂直面。

投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分为：（1）H面垂直面或铅垂面：垂直于H面的平面；（2）V面垂直面或正垂面：垂直于V面的平面；（3）W面垂直面或侧垂面：垂直于W面的平面。铅垂面

投影面垂直面VZXYHOpp’’p’PβγXZOYHYWγβp’p’’p（1）水平投影p积聚成直线，并反映倾角β和γ（2）正面投影p’和侧面投影p”不反映实形投影特性：正垂面

q’q”XZq’OYHYWaγZXYHWqq’q’’aγOQV（1）正面投影q’积聚成直线，并反映倾角α和γ（2）水平投影q和侧面投影q”不反映实形投影特性：侧垂面

VZXYHWOrr’r’’RβaXZOYHYWrr’r’’βa（1）侧面投影r”积聚成直线，并反映倾角α和β（2）正面投影r’和水平投影r不反映实形投影特性：投影特性

1、在它所垂直的投影面上投影积聚为一直线；2、积聚投影与相应投影轴的夹角，反映该平面相对于相应投影面的倾角。3、投影面垂直面的其它投影均比实形小，为原形的类似形状。铅垂面正垂面侧垂面XZOYHYWrr’r”βaq’q”XZq’OYHaγXZYHOγβp’P”p铅垂面正垂面侧垂面XZOYHYWrr’r”βaq’q”XZq’OYHaγXZYHOγβp’P”p读图一平面只要有一面投影积聚为直线，则它必然垂直于积聚投影所在的投影面。迹线平面法表示三种垂直面：注意：用迹线平面表示法表示平面习惯上只作迹线平面的积聚投影，其它两面投影不用作。但必须在该积聚投影旁边标注平面的该面迹线的标记。PHPVPW铅垂面正垂面侧垂面投影面平行面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面的平面称为投影面平行面。水平面：平行于H面。正平面：平行于V面。侧平面：平行于W面。XZpp’p’’OYHYWXVZWppP”POHY1.投影面平行面－水平面

（1）水平投影p反映实形（2）正面投影p’及侧面投影p”均有积聚性且p’//0X轴；p”//OYW轴投影特性：q”q’qXZOYHYWXVZWOHYqq”q’Q（1）正面投影q’反映实形（2）水平投影q及侧面投影q”均有积聚性且q//0X轴；q”//OZ轴投影特性：2.投影面平行面－正平面

XZOrr’r’’YHYWXVZWOHYRrr’r”（1）侧面投影r”反映实形（2）正面投影r’及水平投影r均有积聚性且r’//0Z轴；r//OYH轴投影特性：3.投影面平行面－侧平面

三种位置平面的投影水平面正平面侧平面迹线平面法表示三种平行面：水平面正平面侧平面PVPWPHPWPVPH投影面平行面投影面平行面的投影特性：平面在所平行的投影面内的投影反映空间实形；在其它两个投影面内的投影分别积聚为两条平行于相应投影轴的直线，并与该面迹线重合。

读图只要有一面投影积聚为一条平行于投影轴的直线，则它必然平行于非积聚投影所在的投影面。非积聚投影反映实形。平面上的点性质：一点如果在一平面内，则它必在面内的一条线上判定方法：点在线上，线在面上，则点定在面内。[例4-1]已知M、N点位于△ABC平面上，及m’

、n，

求m及n’。mn’解题步骤：1