2022中考数学压轴题专题 动点综合问题

专题15动点综合问题

【考点11动点之全等三角形问题

[例1]I.如图,CA_LBC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM_LBQ,垂足为B,动点P从C点出发以lcm/s

的速度沿射线CQ运动，点N为射线BM上一动点，满足PN=AB,随着P点运动而运动，当点P运动秒

时，ABCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.（2个全等三角形不重合）

【变式1-1】已知正方形A8CD的对角线AC与交于点0,点E、F分别是线段。&0c上的动点

(1)如果动点E、尸满足8E=0/(如图)，且AEJ_8尸时，问点E在什么位置？并证明你的结论；

(2)如果动点E、F满足8E=CF(如图)，写出所有以点E或尸为顶点的全等三角形(不得添加辅助线).

【变式1-2】如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF,其中AB=8c〃?，BC

=6cm,AC=10。".现将△ABC和△EOF按如图②的方式摆放(点4与点。、点B与点E分别重合).动

点尸从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点。从点E出发，沿射线ED以acm/s(0

<a<3)的速度匀速移动，连接P。、C。、FQ,设移动时间为fs(0W/W5).

(1)当1—2时，SMQF=3SABQC,则a—；

(2)当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；

(3)如图③，在动点P、。出发的同时，也以3aw/s的速度沿射线EZ)匀速移动，当以A、P、。为

顶点的三角形与△EFQ全等时，求。与，的值.

【考点2】动点之直角三角形问题

【例2】如图，在四边形纸片A8CO中，AB//CD,NA=60。，NB=30°,8=2,3C=4,点E是

AB边上的动点，点/是折线A—O—C上的动点，将纸片ABC。沿直线所折叠，使点A的对应点A落

在AB边上，连接A'C,若AA'BC是直角三角形，则AE的长为.

【变式2-1](2019•辽宁中考模拟)如图，已知二次函数y=ax?+bx+4的图象与x轴交于点A(4,0)和点

D(-1,0),与y轴交于点C,过点C作BC平行于x轴交抛物线于点B,连接AC

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)点M从点O出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动；点N从点B同时出发，以每秒1个单位长度

2

的速度向点C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停动，过点N作NQ垂直于BC交AC

于点Q，连结MQ.

①求aAQM的面积S与运动时间t之间的函数关系式，写出自变量的取值范围；当t为何值时，S有最大

值，并求出S的最大值；

②是否存在点M,使得4AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.

【变式2-2］如图，在矩形Q4HC中，OC=8,OA=12,B为CH中点,连接AB.动点M从点。出

发沿。4边向点A运动，动点N从点A出发沿AB边向点8运动，两个动点同时出发，速度都是每秒1个

单位长度，连接CM,CN,MN,设运动时间为r（秒）（0<»<10）.则，=时，ACMN为直角三角

形

【考点3】动点之等腰三角形问题

【例3】如图，45是。。的直径，8C是弦，AB=10cm,BC=6cm.若点P是直径AB上一动点，当

是等腰三角形时，AP=cm.

【变灰3-1】如图①，己知正方形A8CD边长为2,点P是AO边上的一个动点，点A关于直线的对

称点是点。，连结PQ、DQ、CQ、BQ.设AP=x.

3

DDD

(1)当x=l时，求BP长；

(2)如图②，若PQ的延长线交CD边于£,并且NC0O=9O°,求证：八"。为等腰三角形;

(3)若点P是射线A£＞上的一个动点，则当AC。。为等腰三角形时，求x的值.

【变式3-2】(2019•河南中考模拟)如图，抛物线y=ax2+bx+3交y轴于点A,交x轴于点B(-3,0)和点

C(1,0),顶点为点M.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点E为x轴上一动点，若AAME的周长最小，请求出点E的坐标；

(3)点F为直线AB上一个动点，点P为抛物线上一个动点，若△BFP为等腰直角三角形，请直接写出点

【变式3-3】(2019•广西中考真题)已知抛物线y=/n/和直线＞=一1+人都经过点”(—2,4),点。为坐

标原点，点P为抛物线上的动点，直线y=-x+b与X轴、y轴分别交于48两点.

(1)求〃z、b的值;

(2)当AR4M是以AM为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；

(3)满足(2)的条件时，求sin/BO尸的值.

【考点4］动点之相仞三角形问题

4

【例4】如图，AD〃BC,NABC=90。，AB=8,AD=3,BC=4,点P为AB边上一动点，若APAD与APBC

是相似三角形，求AP的长.

【变式4-1】已知：如图，在平面直角坐标系中，AABC是直角三角形，NACB=90。，点A,C的坐标分

3

别为A(-3,0),C(1,0),BC=-AC

4

（1）求过点A,B的直线的函数表达式；

（2）在x轴上找一点。，连接。8,使得△AO8与△ABC相似（不包括全等），并求点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P,0分别是AB和4。上的动点，连接PQ,设AP=DQ=，〃，问是否存在这样

的，〃，使得△AP。与△AOB相似？如存在，请求出机的值；如不存在，请说明理由.

【变式4-2］如图，正方形ABC。，点P为射线DC上的一个动点，点。为AB的中点，连接PQ,DQ,

过点P作PELOQ于点E.

（1）请找出图中一对相似三角形，并证明；

（2）若AB=4,以点P,E,。为顶点的三角形与△A。。相似，试求出。尸的长.

【考点5】动点之平行四边形问题（含特殊四边形）

5

【例5】如图，抛物线），=0?+汝+3与*轴交于4（一3,0）,8（1,。）两点，与丁轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线上的动点，且满足S&PA0=2sApco，求出P点的坐标；

（3）连接8C,点E是x轴一动点，点尸是抛物线上一动点，若以3、C、E、尸为顶点的四边形是平

行四边形时，请直接写出点尸的坐标.

【变式।5-1】（2019•江西中考真题）在图1,2,3中,已知回A8CD,LABC=120°,点E为线段BC上的动

（2）如图2,连接4广

①填空：AFAD--------24屋填“>”，“<”，“=”）；

②求证：点F在乙4BC的平分线上；

（3）如图3,连接EG，DG'并延长DG交BA的延长线于点H，当四边形AEGH是平行四边形时，求神的值.

AB

【变式5-2］（2019•湖南中考真题）如图，二次函数丁=一;Y+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交

点为（8,0）

6

(1)求该二次函数的解析式;

(2)在x轴上方作x轴的平行线y=加，交二次函数图象于A、B两点，过A、B两点分别作x轴的垂线,

垂足分别为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时，求m的值;

(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同

的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点

同时停止运动，设运动时间为t秒(r>0).过点P向x轴作垂线，交抛物线于点E,交直线AC于点E

问：以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形.若能，请求出t的值；若不能，请说明理

由.

【变式5-3].如图，在平面直角坐标系中，AAOB的顶点。是坐标原点，点A坐标为(1,3),A、B两点

关于直线y=x对称，反比例函数y=?x>0)图象经过点A，点P是直线y=x上一动点.

(1)3点的坐标为;

(2)若点。是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，求出点C坐标：若不存在，请说明理由；

7

（3）若点。是线段OP上一点（。不与。、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点。分别作直线Q4

和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE+Q/+QB的值最小时，求出。点坐标.

【考点6】动点之线段面积问题

【例6】如图，在平面直角坐标系中，平行四边形幺30c如图放置，将此平行四边形绕点0顺时针旋转

90。得到平行四边形抛物线y=-f+2x+3经过点A、C、A，三点.

（2）求平行四边形&OC和平行四边形/B'OCT重叠部分ACS的面积；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，&的面积最大？最大面积是多少？并

写出此时M的坐标.

【变式6-1］（1）发现：如图1,点A为线段外一动点，且BC=&,AB=b（a>b>0）,当点A位

于时，线段AC的长取得最大值，最大值为（用含。力的式子表示）；

（2）应用：如图2,点A为线段外一动点，BC=4,AC：=2,以为边作等边AABD，连接CO,

求线段CO的最大值；

（3）拓展：如图3,线段A3=3,点P为线段AB外一动点,且AP=2，PM=PB,NBPM=90。,求

线段AM长的最大值及此时APBM的面积.

BaCB-------------Cp

图1图2图3

8

【变式6-2］如图，矩形A5CD中，AO=3,AB=4,点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合）,

连接PB，过点P作PELPB，交射线。C于点£,以线段为邻边作矩形3PEF，过点P作

GH1CD,分别交AB.CD于点G、H。

（1）求证：NPGB〜\EHP的值；

PE

（2）求：工的值；

PB

（3）求矩形3P所的面积的最小值。

【变式6-2】已知：在四边形ABCD中，AD//BC,AB=CD=5,AD=6,BC=12.

（1）求四边形ABC。的面积.

（2）点P是线段上的动点，连接成、CP,求ABCP周长的最小值及此时AP的长.

（3）点P是线段A0上的动点，N、〃为边上的点，BM=CN=5,连接AN、DM，分别交BP、

CP于点E、F,记AAOG和△BPC重叠部分的面积为S,求S的最值.

9

压轴精练

一、单选题

1.如图，抛物线y=—_?+2x+3与丁轴交于点C,点。（0,1）,点P是抛物线上的动点，若APCD是以8

为底的等腰三角形，则tanNCDP的值为（）

.1+>/2_i5.1—\/2

A.———sk-----B.-^2+1或V2—1

22

c.0+］或应7

D.1+a或1-垃

22

2.如图，在菱形A3CD中，/。=100°,二是线段3。上一动点（点E不与点8,。重合），当AABE是

等腰三角形时，NZME的度数是（)

A.30B.70。C.30°或60D.40。或60

3.已知等腰AMC中，AB^AC,BC=6,底角为30。，动点P从点3向点C运动，当八出台是直角

三角形是3尸长为（）

A.4B.2或3C.3或4D.3

4.如图，一次函数与反比例函数的图象交于4（1,12）和8（6,2）两点，点p是线段上一动点（不与A，B

重合），过P点分别作x轴和丁轴的垂线PC,P。交反比例函数图象于M,N,则四边形面积PM0N最大值

是（）

10

A.12.5B.12.25C.14D.12

5.如图，在RtAABC中，NC=90。，AC=8»BC=6»P为AC边上的一动点，以PB，A4为边构

造平行四边形APBQ,则对角线PQ的最小值为（）

A.4B.6C.8D.10

6.如图，&A4C8中，ZACB=90°,AB=13cm,AC=5cm,动点P从点B出发沿射线8C以2cm/s

的速度运动，设运动时间为is,当AAP8为等腰三角形时，/的值为（）

169fl313f5169“13f169--

A.——或一B.一或12或4C.---或一或12D.----或12或4

482248248

7.如图，点A的坐标为（8,0）,点B为＞轴的负半轴上的一个动点，分别以。8,为直角边在第三、

第四象限作等腰直角三角形。区方、等腰直角三角形ABE,连接石尸交y轴于尸点，当点3在y轴上移动

时，则PB的长度为（）

11

A.2B.4C.6D.8

8.如图，已知48两点的坐标分别为(80),(0,8),点C、尸分别是直线x=—5和x轴上的动点，

C/=/0,点。是线段CR的中点，连接4。交，轴于点E；当/他£面积取得最小值时，柩〃NBA。的

值是()

9.已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=6.延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B

出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为，秒，当，的值为秒

时，4ABP和4DCE全等.

A.1B.1或3C.1或7D.3或7

10.如图，在直角梯形A8Q9中，NABC=90,45=8,4。=3,6。=4,点「为边45匕一动点，若ARAZ)

与是相似三角形，则满足条件的点P的个数是()

B.2个C.3个D.4个

12

11.如图，在平面直角坐标系中，A（0,4）,B（2,0）,点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形

与AAOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）

A.1

B.2

C.3

D.4

12.如图，坐标平面内一点A（2,-1）,O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、0、A为顶点的三

角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）

第9题图

A.2B.3C.4D.5

二、填空题

13.如图，已知以点A（0,I）、C（l,0）为顶点的aABC中，/BAC=60。，ZACB=90°,在坐标系内有一动

点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和AABC全等，则P点坐标为.

14.如图，在RrAABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC-3cm,动点〃以Icm/s的速度，从点C运动

到点A，动点N同时以1.25cm/s的速度，从点A运动到点当AAMN为直角三角形时，点M运动的

时间为s.

A

13

15.如图，点C为直线/上的一个动点，AT>_L/于。点，8E_L/于E点，A£>=£>£=4,BE=1，当CO

长为AABC为直角三角形.

16.如图，正方形ABCD的面积为16,E为AO的中点，尸为对角线BO上的一个动点，连接A尸、EF，

则线段AF+EF的最小值是.

AED

17.如图，AABC中，ZACB=90°,ZB=50°,点”是线段A3上的一个动点，连接CM,当NBCM

是度时，ABCM是等腰三角形.

A

18.如图，AB1BC,DC1BC,垂足分别为3、C,AB=4，BC=6，8=2,点P为BC边上一

动点，当BP=时，形成的mAABP与吊APCD全等.

14

A

19.如图，在AA5C中，AB=AC,BC=4,AA3C面积为10,AC的垂直平分线石尸分别交AB，AC

于点E，F。若点。为8C的中点，点P为线段E尸上一动点，则APCD周长的最小值为«

20.如图，在AABC中，ZACB=90°，AC=9,BC=5,点尸为AABC内一动点.过点尸作POLAC

于点。，交A8于点E.若ABCP为等腰三角形，且SMBC=？，则P。的长为.

21.如图，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,动点M从点D出发，按折线D-C-B-A-D方向以2cm/s

的速度运动，动点N从点D出发，按折线D-A-B-C-D方向以Icm/s的速度运动.若动点M、N同时

出发，相遇时停止运动，若点E在线段BC上，且BE=3cm,经过秒钟，点A、E、M、N组成平行四

边形.

/------N*—inD

•M

B'---------C

22.如图，点A、B的坐标分别为（0,2）、（2,0）,OC的圆心坐标为（一1,0），半径为1，若点。为OC上

的一个动点，线段Q8与丁轴交于点E，则AAB石面积的最小值为.

15

4

23.如图，直线＞=一§》+4与*轴和丁轴分别交于48两点，另一条直线过点A和点C(7,3).

(1)求直线AC的函数表达式；

(2)求证：ABLAC-,

(3)若点P是直线AC上的一个动点，点。是x轴上的一个动点，且以为顶点的三角形与AAOB全

等，求点。的坐标.

24.已知1,AABC是边长3cm的等边三角形,动点P以1cm/s的速度从点A出发,沿线段AB向点3运动.请

分别解决下面四种情况：

(1)如图1，设点尸的运动时间为«s),那么f=(s)时，APBC是直角三角形；

(2)如图2,若另一动点。从点8出发，沿线段向点C运动，如果动点P、。都以lcm/s的速度同

时出发.设运动时间为Ms),那么/为何值时，△PBQ是直角三角形？

(3)如图3,若另一动点。从点C出发，沿射线8c方向运动.连接。。交AC于。.如果动点尸、。都

以lcm/s的速度同时出发.设运动时间为Ms),那么f为何值时，△DC。是等腰三角形？

(4)如图4,若另一动点。从点C出发，沿射线8c方向运动，连接P。交AC于O,连接PC.如果

动点P、。都以lcm/s的速度同时出发.请你猜想：在点P、。的运动过程中，△PCD和△QCD的面积

有什么关系？并说明理由.

16

25.如图，已知直线c和直线b相较于点（2,2）,直线c过点（0,3）.平行于y轴的动直线a的解析式为尤=/,

且动直线a分别交直线b、c于点D、E（E在D的上方）.

（1）求直线b和直线c的解析式;

（2）若P是y轴上一个动点，且满足△P小是等腰直角三角形，求点P的坐标.

26.如图，抛物线y=—f+fox+c经过4（-1,0）,8（3,0）两点，且与>轴交于点。，点。是抛物线的顶

（1）求经过A8,C三点的抛物线的函数表达式；

（2）点。在该抛物线的对称轴上，若ABCQ是以8c为直角边的直角三角形，求点。的坐标；

（3）若P为的中点，过点P作尸/J_x轴于点F，G为抛物线上一动点，"为x轴上一动点，N为

17

直线P尸上一动点，当以尸、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标.

27.如图，在矩形ABC。中，AB=4.5cm,BC=9cm,动点P、。分别同时从AA两点出发，动点P以

6cm/s的速度沿3fCfB向终点8作匀速往返运动，动点Q以3cm/s的速度沿A—D向终点D匀速

运动，设两动点的运动时间是f(s).

AQ.D

B

(1)试用含有t的代数式表示3P.

(2)当产自C返回8(包括端点8、C)的过程中，当△PQ。为等腰三角形时，求t的值.

(3)连接AC，设PQ交AC于M，当AAQP三ACPQ时，求t的值.

QD

I：PC

28.如图，直线y=-2x+4与X轴相交于点A,与y轴相交于点B.

(1)求A、B两点的坐标；

(2)求aAOB的面积；

(3)若点P是％轴上的一个动点，且aPAB是等腰三角形，则P点的坐标为.

3,

29.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=一万/+云+。的图象经过C三点.已知点A，点8的

18

坐标分别为(一2,0)和(1,0),且。4=0。,点E为线段A。上的动点(点E不与点A。重合)，以E为顶

点作ZOET=45",射线ET交线段OD于点F.

(2)若△EOE为等腰三角形.

①求此时点E的坐标；

②若点P为第二象限内抛物线上一动点，当点P运动到某个位置时VPED的面积最大，求其最大值.

30.已知点A的坐标为(-1,0)，AO与y轴交于点E，且E为AO的中点，双曲线y=一经过。(2,。)、

x

D(a,4)两点.

(1)求a、b、m的值；

(2)如图1,点3在丫轴上，若四边形ABCD是平行四边形，求点8的坐标；

m

(3)如图2,在(2)的条件下，动点P在双曲线>=一上，点。在y轴上，若以A、B、P、。为顶点

X

的四边形为平行四边形，试求满足要求的所有点P、。的坐标.

4

31.如图(1),。为坐标原点，点3在工轴的正半轴上，四边形Q4C区是平行四边形，sin/AO8=g,Q4=5,

k

反比例函数y=£(x>0)在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点D.

x

19

（1）求点A的坐标和反比例函数解析式;

（2）若C%D=］5，求点。的坐标：

（3）在（2）中的条件下，如图（2）,点P为直线上的一个动点，点。为双曲线上的一个动点，是否

在这样的点P、点Q，使以8、。、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有点P

的坐标；若不存在，请说明理由.

32.如图，抛物线丁=一/+―+。交x轴于点A（-3,0）和点B,交y轴于点C（0,3）.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点Q是线段AC上的一动点，作DQLx轴，交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值.

（3）点G是抛物线上的动点，点F在x轴上的动点，若以A,C,F,G四个点为顶点的四边形是平行四边

形，求出所有满足条件的点F坐标（直接写出结果）.

33.如图，对称轴为直线x=l的抛物线y=ox2+bx+c与