河北省香河县2021-2022学年高三下学期第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

PP

1.抛物线y2=4x的焦点为凡点P(x,y)为该抛物线上的动点，若点4(-1,0),则的最小值为()

PA

1B.旦2叵

A.-D.二一

223

2.在直角梯形ABCO中，ABAD=0>"=30。，AB=2g，BC=2,点E为3c上一点，且AE=xAB+yAO,

当取的值最大时，|最|=()

A.B.2C.D.2#)

2

22

3.已知椭圆。：与一+与=1,直线犹+y+3m=。与直线小”-切-3=0相交于点尸，且P点在椭圆内恒成立,

6r+9a-

则椭圆C的离心率取值范围为()

4.已知平面向量a,瓦c,满足出|=2,|a+6|=l,c=4a+4人且2+2〃=1,若对每一个确定的向量记|c|的最

小值为加，则当£变化时，加的最大值为()

111

A.-B.-C.-D.1

432

5.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案

种数为

A.48B.72C.90D.96

6.在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类别，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：

金生水、水生木、木生火、火生土、土生金.从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是()

A.0.2B.0.5C.0.4D.0.8

7.已知向量a=(l,4),b=(-2,w),若|£+方则》/=()

11

A.B.—C.-8D.8

22

8.复数z（l-i）=i（i为虚数单位），贝也的共扼复数在复平面上对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

9.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（X〈2）=P（X2a）,则。=（）

A.3B.5C.6D.7

10.若函数/（x）=|ln%|满足/（。）=/0），且0<a<b,则名二士d的最小值是（）

4a+2b

3r-

A.0B.1C.-D.2V2

11.秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的

秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入

〃、x的值分别为3、1,则输出v的值为（）

A.7B.8C.9D.1（）

7?

12.函数）；=45泡（6«+。）（。>0,\<p\<->xeR）的部分图象如图所示，则函数表达式为（）

jrjrjrjr

C.y=-4sin(—x--)D.y=4sin(—x+—)

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a5,则a《=,as=.

2乃

14.在△ABC中，AB=C,BC=1,ZC=—,则AC=.

15.如图所示，在直角梯形3co厂中，NCBF=NBCE=9。,A、O分别是B尸、CE上的点，AD//BC,且

AB=DE=2BC=2AF(如图①).将四边形ADE尸沿AD折起，连接BE、BF、CE(如图②).在折起的过程中,

则下列表述：

图①图②

①AC//平面3EF;

②四点3、C、E、产可能共面；

③若EF上CF,则平面AO所，平面ABC。；

④平面BCE与平面BEF可能垂直.其中正确的是.

3x-y-2>0

16.若实数x,y满足约束条件x+y-240,则z=x+2y的最大值为.

x+4y+4>0

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=2-t

17.(12分)已知在平面直角坐标系X。)，中，直线C,的参数方程为。为参数)，以坐标原点为极点，X轴

[y=2+f

的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为夕=cos。（夕cos8+2）.

（1）求曲线G与直线的直角坐标方程；

（2）若曲线G与直线交于A,8两点，求的值.

18.（12分）已知各项均为正数的数列｛%｝的前〃项和为S“，满足a*=2S“+〃+4,a2-\,%，%，恰为等比

数列也｝的前3项.

（1）求数列｛4｝,也｝的通项公式；

iihnt

（2）求数列一。的前〃项和为T“；若对V〃eN*均满足（＞7^,求整数偌的最大值；

l«A+iJ2020

（3）是否存在数列｛%｝满足等式£（4-1£,+一=21-〃-2成立，若存在，求出数列｛%｝的通项公式；若不存在,

/=1

请说明理由.

19.（12分）在①。=2,@a=h=2,③匕=c=2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AAZ?。的面积

的值（或最大值）.已知AABC的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,三边。，b,c与面积S满足关系式:

4S=b2+c2-a2,且_____________,求△ABC的面积的值（或最大值）.

「11]「10]

20.（12分）已知矩阵4=，二阶矩阵3满足A8=

（）-1（）1

（1）求矩阵3；

（2）求矩阵8的特征值.

21.（12分）我们称〃（〃eN*）元有序实数组（玉，x2，…，相）为“维向量，Z㈤为该向量的范数.已知〃维

/=1

向量£=（看,马,…,当），其中e,/=1,2,…，〃.记范数为奇数的〃维向量£的个数为A“，这A”个向量

的范数之和为纥.

（1）求&和鸟的值；

（2）当〃为偶数时，求A.，Bn（用”表示）.

22.（10分）设点E（l,0）,动圆P经过点尸且和直线x=—l相切.记动圆的圆心P的轨迹为曲线W.

（1）求曲线W的方程；

（2）过点M（0,2）的直线/与曲线W交于A、8两点，且直线/与x轴交于点C,设砺MB=pBC,

求证：a+Q为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

通过抛物线的定义，转化PF=PN,要使篇有最小值，只需NAPN最大即可，作出切线方程即可求出比值的最

小值.

【详解】

解：由题意可知，抛物线V=4x的准线方程为x=—1,A(-l,0),

过。作PN垂直直线x=—l于N,

由抛物线的定义可知PF=PN,连结R4,当Q4是抛物线的切线时，与^有最小值，则NAPN最大，即NB4/最

大，就是直线Q4的斜率最大，

y=k(x^-l)

设在Q4的方程为：y=k(x+l)9所以匕，

1/=4x

解得：k2x2+(2k2-^x+k2=Q,

所以A=(2/一4>-4/=0,解得z=±i,

所以N7VQ4=45°,

\PF\41

-——-=cosZA^E4=-----«

\PA\2

故选：B.

【点睛】

本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题.

2.B

【解析】

由题，可求出AO=1,CD=6,所以Aq=2OC，根据共线定理，设砺=4就（喷股1）,利用向量三角形法则求

出荏=11一。通+2也结合题给通一通+y而，得出x=l-*y=2,进而得出孙=（1一。/1,最后

利用二次函数求出肛的最大值，即可求出|荏|=.

【详解】

UllUUUIU

由题意，直角梯形ABC。中，ABAD=O>NB=30。，AB=2有,BC=2,

可求得AO=l,CO=g,所以A月=20。

•点E在线段8C上，设丽=4就（0领"1）,

则标=通+布=砺+/1册=通+/1（丽+亚+前）

=（l-/l）AB+/lAD+2DC=H-^jAB+2AD,

又因为AE=xAB+yAD

所以x=l—5，y=2,

所以孙2=_；［('-1)2=(4-1)2+；,,；,

当4=1时，等号成立.

——1—■―•

所以lAER/AB+AOUZ.

故选：B.

【点睛】

本题考查平面向量线性运算中的加法运算、向量共线定理，以及运用二次函数求最值，考查转化思想和解题能力.

3.A

【解析】

先求得椭圆焦点坐标，判断出直线4,4过椭圆的焦点.然后判断出4人，2,判断出尸点的轨迹方程，根据尸恒在椭圆内

列不等式，化简后求得离心率e的取值范围.

【详解】

设的（一c,0），E（c,0）是椭圆的焦点，所以。2="+9一/=9,C=3.直线4过点耳（—3,0）,直线％过点6（3,0）,由

于mxi+ix（-m）=0,所以/14,所以尸点的轨迹是以6,K为直径的圆f+>2=9.由于p点在椭圆内恒成立，

所以椭圆的短轴大于3,即标>32=9,所以/+9>18,所以双曲线的离心率e2=f^Jo,!],所以

a-+9I2）

0,——.

I2J

故选：A

【点睛】

本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.

4.B

【解析】

根据题意,建立平面直角坐标系.令丽=£,砺=B反=".E为QB中点.由B=1即可求得P点的轨迹方程.将

2=篇+应变形，结合4+2〃=1及平面向量基本定理可知P,C,E三点共线.由圆切线的性质可知|c|的最小值加即

为。到直线PE的距离最小值，且当PE与圆M相切时，加有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得

直线方程，进而求得原点到直线的距离,即为由的最大值.

【详解】

根据题意,出|=2,设赤=£=（羽y）,砺=B=（2,0）,反=2,£（1,0）

—.b

则OE=—

2

由a+b=1代入可得J(x+2/+y2=1

即尸点的轨迹方程为(x+2)2+y2=1

__(b}

又因为2=苏+〃5,变形可得"=加+2〃y，即1=7诉+2/诟，且几+2〃=1

所以由平面向量基本定理可知P,C,E三点共线,如下图所示：

所以I"I的最小值加即为。到直线PE的距离最小值

根据圆的切线性质可知，当PE与圆M相切时，加有最大值

设切线PE的方程为？=%(工一1)，化简可得去一丁一女=o

\-2k-k\

由切线性质及点M到直线距离公式可得/。=1,化简可得8M=1

&+1

即％=±交

4

即机的最大值为!

故选:B

【点睛】

本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用，圆的轨迹方程问题，圆的切线性质及点到直线距离公式的

应用，综合性强，属于难题.

5.D

【解析】

因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛

①当甲参加另外3场比赛时，共有C,1・=72种选择方案;②当甲学生不参加任何比赛时，共有A/=24种选择方案.综

上所述，所有参赛方案有72+24=96种

故答案为：96

点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题.

6.B

【解析】

利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】

从五行中任取两个，所有可能的方法为：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，

其中由相生关系的有金水、木水、木火、火土、金土，共5种，所以所求的概率为』='=0.5.

102

故选：B

【点睛】

本小题主要考查古典概型的计算，属于基础题.

7.B

【解析】

先求出向量”+石，£-6的坐标，然后由|a+〃|=|£-B|可求出参数）的值.

【详解】

由向量£=（1,4）,B=（-2,m）,

贝！Ja+B=（-1,4+，〃），a-b=（3A~in）

\a+B|=Jl2+（4+,w）2，\a-b|=^32+（4-/n）2

又|£+向=|£-日|,则^l2+（4+w）2=^32+（4-m）2,解得加=g.

故选：B

【点睛】

本题考查向量的坐标运算和模长的运算，属于基础题.

8.C

【解析】

由复数除法求出Z,写出共枕复数，写出共枕复数对应点坐标即得

【详解】

z(l+z)-1+;11.

--------------------------------=+-I—I

1-z(l-z)(l+z)2-------2222

对应点为，在第三象限.

22

故选：C.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，共轨复数的概念，复数的几何意义.掌握复数除法法则是解题关键.

9.C

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

-.•//=4,a-3,

.•.P(XW2)=P(X<4-2)=P(X24+2)=P(XN6)=P(X2a),,a=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(〃,b2),

尸(X工〃一切)=尸(X24+帆).

10.A

【解析】

由=推导出/>=工，且0<。<1，将所求代数式变形为4、+“-4=网虫一1,利用基本不等式

求得北+Z7的取值范围，再利用函数的单调性可得出其最小值.

【详解】

・・,函数=满足f(a)=/(b),/.(Ina)2=(lnZ?)2,即(lna—ln〃)(lna+ln/?)=0,

0v。vZ?,:Ana<\nh,Ina+Inb=0,即In=0n〃/7=1,

/.l=ab>a29则。<a<1,

由基本不等式得2a+b=2a+，N2、2a-'=2及，当且仅当时，等号成立.

a\a2

4/+/一4（2«+/?）~-4ab-4（2。+〃）~-82Q+Z?4

•4a+2b-2（2，+力）-2（2a+b）一方2a+b

由于函数yg—在区间［2夜，+8）上为增函数，

-V...I—>^4.467-+b~—4EXH>*4_2J24

所以，当2a+6=20时，-----------取得最s小值---------尸=。・

4a+2h22V2

故选：A.

【点睛】

本题考查代数式最值的计算，涉及对数运算性质、基本不等式以及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题.

11.B

【解析】

列出循环的每一步，由此可得出输出的v值.

【详解】

由题意可得：输入“=3,x=l,v=2>m=3；

第一次循环，u=2xl+3=5,m=3-1=2,〃=3—1=2,继续循环；

第二次循环，u=5xl+2=7,〃?=2—1=1,〃=2—1=1,继续循环；

第三次循环，v=7xl+l=8,/〃=1—1=(),“=1-1=0,跳出循环；

输出u=8.

故选：B.

【点睛】

本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题.

12.A

【解析】

77

根据图像的最值求出A,由周期求出。，可得y=4sin(Qx+。)，再代入特殊点求出。，化简即得所求.

O

【详解】

T2471

由图像知A=4,—=6—（―2）=8,T=16=—,解得。=土，

2co8

TT7T

因为函数y=4sin（qx+e）过点（2,T）,所以4$皿7*2+8）=-4,

88

sin(—x2+0)=-l,即一x2+e=+2k/r(kGZ),

882

37rTiS/r

解得。=一一+2k兀(kwZ),因为lel<—,所以。=——，

424

..,兀5冗、.,.7T7T.

y=4sin(—x+—)=-4sin(—x+—).

■8484

故选：A

【点睛】

本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.164

【解析】

只需令x=0,易得as,再由(X+1)3(X+2)2=(X+1)，+2(X+1)4+(X+1)3,可得内=C；+2C：+C；.

【详解】

令X=0,得。5=(0+1)3(0+2)2=4,

而0+1)3(*+2)2=(*+l)3[(x+l)2+2(x+l)+l]=(x+l)5+2(x+l)4+(x+1)3;

则oi=C；+2C；+Cj=5+8+3=16.

故答案为：16,4.

【点睛】

本题主要考查了多项式展开中的特定项的求解，可以用赋值法也可以用二项展开的通项公式求解，属于中档题.

14.1

【解析】

由已知利用余弦定理可得AC2+AC-2=0,即可解得AC的值.

【详解】

解：•;AB=丛,BC=\,ZC=—,

由余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC.8C.cosC，

BT^3=AC2+1-2XACX1X(-1),整理可得：AC2+AC-2=0,

解得AC=1或一2(舍去).

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.

15.①③

【解析】

连接AC、BD交于点M,取8E的中点N,证明四边形AFM0为平行四边形，可判断命题①的正误；利用线面平

行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误；连接。尸，证明出小人EF,结合线面垂直和面面垂直

的判定定理可判断命题③的正误；假设平面8CE与平面垂直，利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.

综合可得出结论.

【详解】

对于命题①，连接AC、BD交于点M,取BE的中点M、N,连接MN、FN,如下图所示：

则且A/7/OE,四边形ABCZ）是矩形，且ACnBO=M,为3。的中点，

2

QN为BE的中息，：.MN//DE且MN=^DE,：.MN//AF且MN=AF，

四边形AF7VM为平行四边形，即AC//FN,

;ACZ平面3£下，FNu平面BEF,：.AC〃平面BEF,命题①正确；

对于命题②，QBC//AD,BC<Z平面AD£F,ADu平面AD£F,.,.BC〃平面A£>EV,

若四点8、C、E、尸共面，则这四点可确定平面a,则BCua,平面aPl平面ADEF=石产，由线面平行的性

质定理可得BC//EF,

则所〃AD,但四边形AD£下为梯形且A。、EF为两腰,AO与EF相交，矛盾.

所以，命题②错误；

对于命题③，连接CF,设AD=AE=a,则。£=2a,

JT

在应/中，AD^AF=a,NDAF=—,则AADF为等腰直角三角形，

2

且NAFD=NAOF=2,DF=叵a，：2EDF=J且OE=2a,

44

由余弦定理得EF~=DE2+DF1-IDE-DFcosAEDF=2a2,：,DF2+EF2=DE2，

:.DFA.EF,又•rEFLCF,DF^CF=F,，EF上平面CDF,

CDu平面COF,..CD，EE,

\-CD±AD,AD、E/为平面ADEF内的两条相交直线，所以，C£),平面ADEF,

♦.•CDu平面ABC。，平面ADEE_L平面ABCD,命题③正确；

对于命题④，假设平面BCE与平面8石尸垂直，过点尸在平面8石尸内作FG_LBE,

••・平面BCE_L平面8石尸，平面3CED平面8石尸=BE,FG±BE,FGu平面BEF,

.,.EG,平面BCE,

6Cu平面BCE,3C_LFG,

\AD±AB,AD±AF,BC//AD,:.BC±AB,BC1AF,

又QABIA尸=A,..BC_L平面ABF,•.•Mu平面ABE,

\-FGnBF=F,..BC,平面B£F,•.•EFu平面BEF,：.BC上EF.

-.AD//BC,:.EF±AD,显然EE与AO不垂直，命题④错误.

故答案为：①③.

【点睛】

本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，考查推理能力，属于中等题.

16.3

【解析】

作出可行域，可得当直线z=x+2y经过点A(l,1)时,z取得最大值，求解即可.

【详解】

3x-y-2=0/、

作出可行域(如下图阴影部分)，联立,八，可求得点

x+y-2=0

当直线z=x+2y经过点A(l,l)时,Za=l+2xl=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查线性规划，考查数形结合的数学思想，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)曲线G的直角坐标方程为＞2=2x；直线G的直角坐标方程为x+y-4=0(2)6及

【解析】

X=PCOS0

(1)由公式,八可化极坐标方程为直角坐标方程，消参法可化参数方程为普通方程；

y-psinff

(2)联立两曲线方程，解方程组得两交点坐标，从而得两点间距离.

【详解】

解：(1)0/pcos0(pcos0+2)

p=0cos2e+2cose

p1=p2cos?6+2pcos。

x2+y2=x2+2x

•・・曲线c,的直角坐标方程为/=2x

直线C2的直角坐标方程为x+y-4=0

y=-%+4x=2x=8

(2)据＜解，得或<

y2=2xy=2y=-4

=J(2一81+[2—(—4)了=672

【点睛】

本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查参数方程与普通方程的互化，属于基础题.

18.(2)a=n+\,2=2"(2)T=-——1,加的最大整数是2.(3)存在，%=2"”

nn〃+2

【解析】

(2)由a3=2S“+〃+4可得a；=2S“_1+〃+3(n>2),然后把这两个等式相减，化简得。，用=4+1,公差为2,

因为%，%为等比数列，所以为2=(4-1)%,化简计算得，％=2,从而得到数列｛%｝的通项公式，再计

算出生-1，%，％，从而可求出数列｛“｝的通项公式；

(2)令c.=—--——；，化简计算得%从而可得数列｛q,｝是递增的，所以只要7；的最小值大

a,,%〃+2〃+1

mI

于王丽即可，而十,的最小值为工=9=3,所以可得答案；

(3)由题意可知，(4―i)c”+(%―I)%-1+(%—1)%-2+…+(。.—i)q=2"।,

即C.+2C,I+3%_2+…+〃q=2"M—2,(neN"),这个可看成一个数列的前〃项和，再写出其前(〃一1)项

n

和，两式相减得，cn+cn_t+cn_2+...+ct=2-l,利用同样的方法可得g=2"T(〃eN*).

【详解】

解：(2)由题，当〃=1时，a；=2S]+5,即a；=2q+5

当2时，a；+i=25„+/?+4①a；=2s“_1+〃+3②

①-②得-公=2a„+1,整理得，又因为各项均为正数的数列｛a“｝.

故4+i=4+1,｛(｝是从第二项的等差数列，公差为2.

又4-1,小，由恰为等比数列加,｝的前3项，

故必=3-1”7n(4+1)-=3-1)(。2+5)，解得&=3.又a；=2q+5,

故q=2,因为%=1也成立.

故｛4｝是以4=2为首项，2为公差的等差数列.故。“=2+〃-1=〃+1.

即2,4,8恰为等比数列出｝的前3项，故出｝是以伪=2为首项，公比为;=2的等比数歹!J,

故4=2".综上4=〃+1,b“=2"

nb2,,+|2"

(2)令c,=—匚=--——则

W“+i〃+2〃+1

(〃+1)。+1曲2"+22"|J".2"

aa

《，+出”+2n,,+\"+3〃+2n+2n+\

〃+3〃+1

2〃(3.+1)

(鹿+3)(〃+1)

所以数列｛c“｝是递增的,

若对V〃GN*均满足7；＞矗，只要7“的最小值大于藁即可

因为看的最小值为4=q=g,

所以机＜2三02？0，所以用的最大整数是2.

⑶由£(。,-1)。华=22-“-2,得

/=1

,,+1

(4T)G+(%T)c；1T+(%-1应-2+…+(4T)G=2-n-2,

c“+2c、“_|+3c“_2+…+g=2"-〃-2,(3)

7.-1+2C„-2+3C»-3+...+(rt-1)C1=2n-(n-1)-2,nwN*)④

H

③-④得，C„+cn_x+c„_2+...+C1=2-1,⑤，

*+*+*+…+G=2"T_1,nwN*)⑥

⑤-⑥得，C“=2"T(〃GN*),

所以存在这样的数列{c.},C“=2"T(〃GN*)

【点睛】

此题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，最值，恒成立问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档

题.

19.见解析

【解析】

若选择①，结合三角形的面积公式，得4S=4x：6csinA=/+c2-/,化简得到sinA="±2一"二=cosA,贝！J

22bc

tanA=l,又0°<A<180。，从而得到A=45。，

将a=2代入"+：——=cosA,得力之+/=0历+4.

2hc

又yflbc4-4=Z?2+c2>2bcf：•be<4+2A/2，当且仅当b=c=+2ypi时等号成立.

:.S=­besinA<-x(4+2^2)x=垃+1,

222

故△ABC的面积的最大值为及+1，此时"=°="+2蜂.

若选择②，a=b=2,结合三角形的面积公式,得4S=4*=bcsinA=b2+c2-a2,化简得到sinA=+。一"=cosA,

则tanA=L又0°<A<180°,从而得到4=45。,

则A=8=45°,此时△ABC为等腰直角三角形，S=-x2x2=2.

2

若选择③，b=c=2,则结合三角形的面积公式，得4s=4xg历sinA=〃+c2-〃2,化简得到

22221

sinA==cosA,则tanA=l,又0。<4<180°,从而得到A=45。，贝！|S=-x2x2xsin45°=0.

2hc2

"11"

20.(1)B=(2)特征值为1或—1.

0—1

【解析】

「10]

(D先设矩阵B,根据AB=01，按照运算规律,即可求出矩阵8.

(2)令矩阵B的特征多项式等于0,即可求出矩阵8的特征值.

【详解】

b

解：(1)设矩阵6由题意,

d

因为AB=01,

所-1%」l］［「acdb~卜\［fo1O1'_

a+c=1fa=1

b+d=0b=1

\，即《

—c=Oc=O

-d=l［d=-1

所以人［「o2/11

(2)矩阵8的特征多项式/(/1)=(4+1)(4-1),

令/")=0,解得/1=1或-1,

所以矩阵8的特征值为1或-1.

【点睛】

本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值，考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.

21.(1)&=4,B2=4.(2)B“=”-(3"T—1)

【解析】

(1)利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；(2)用组合数表示A“和纥，再由公式

(〃一女)C=山3或比：=”C二：将组合数进行化简，得出最终结果.

【详解】

解：⑴范数为奇数的二元有序实数对有：(TO),(0,-1),(0,1),(1,0),

它们的范数依次为1,1,1,1,故4=4,B2=4.

(2)当〃为偶数时，在向量£=(玉,%2，/，…，天)的”个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以

可按照含0个数为：1,3,…，〃—1进行讨论：£的〃个坐标中含1个0,其余坐标为1或一1,共有C>2"T个，每

个£的范数为“—1;

£的"个坐标中含3个0,其余坐标为1或-1,共有C，2”3个，每个£的范数为〃—3；

£的〃个坐标中含1个o,其余坐标为1或-1,

共有C/.2个，每个£的范数为1；所以

3

A“=C；(-2,T+C：­2"-+…+C：T