概率论6假设检验

第六章假设检验§6.1问题的提法§6.2一个正态总体的假设检验1假设检验参数假设检验非参数假设检验这类问题称作假设检验问题.

在本节中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题.这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确.2

若总体分布形式未知,现假设其分布函数为F0(x),问如何用样本信息判断该假设是否合理?这类问题称为非参数假设检验问题。

设总体X的分布F(x,θ)的形式已知,但其中参数θ未知.现猜测"θ=θ0",问如何据样本信息判断真伪?换种说法:如何判断一组样本是否来自分布为F(x,θ0)的总体?这类问题称为参数假设检验问题。3§6.1问题的提法一、假设检验的基本原理和方法

小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不会发生.若做了一次实验结果小概率事件发生了，于是认为这种现象不合理.

方法：提出假设，先假定该假设为真，然后利用样本如果推出了一个不合理现象（即小概率事件发生），矛盾，从而表明该假设不真.4举例说明该原理的应用.

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)如何判断这个机器工作是否正常呢？

而较大、较小是一个相对的概念,合理的界限在何处？应由什么原则来确定？较小时，可以认为机器工作正常；当-||当较大时,应认为机器工作不正常.-||5

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)于是提出假设：H0：（=50）称H0为原假设（或零假设）；在实际工作中，往往把不想被否定的命题作为原假设.它的对立假设是：称H1为备选假设（或对立假设）.H1：6

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)1.提出假设：H0：（=50）然而这个有关总体的假设还是需要样本去检验其是否成立.若成立,则接受,从而认为机器工作正常；若不成立,则拒绝,认为机器工作不正常.H1：7

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：2.构造用于检验H0

的统计量----检验统计量.检验统计量应满足两点要求：分布类型已知；不含未知参数。8

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：在假设成立的前提下有：取检验统计量为：成立时.9H0：（=50）H1：3.构造小概率事件(概率α一般都是已知的,取0.01,0.05,0.1等)对于给定的小概率α,有即“”是一个小概率事件.10

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：11

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：4.用样本检验.若一次抽样后小概率事件发生,则认为不合理,拒绝原假设.因为12

例某粮食加工厂用自动包装机包装大米,每袋标准重量为50kg,由长期实践表明,袋装重量(kg)服从正态分布,且标准差σ为1.5kg,某日开工后为检验包装机是否正常,随机抽取了9袋大米,测得平均净重为51.1kg,问该机器工作是否正常?(

α

=0.05,α=0.01)H0：（=50）H1：13注：1.小概率α,又称显著性水平.

α

越小,小概率事件越不容易发生,原假设越不容易被拒绝.因此,如果能在α很小的情况下拒绝原假设,则非常具有说服力.

基于这一点,若想保护原假设(即不想原假设被拒绝),则可以选取的α较小.2.不否定H0并不是肯定H0一定对，而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.所以假设检验又叫“显著性检验”14W：3.拒绝域.

在假设检验过程中,使得小概率事件出现的统计量的取值范围称为该假设检验的否定域(拒绝域),否定域的边界称为该假设检验的临界值.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2-uα/215164.显著性水平与否定域关系图

注意:否定域的大小,依赖于显著性水平的取值,一般说来,显著性水平越高,即α越小,否定域也越小,这时原假设就越难否定.

α/2

α/2Xφ(x)接受域否定域否定域

uα/2

-uα/216二、假设检验的两类错误在假设检验中,否定原假设的理由是小概率事件在一次试验中出现了.但小概率事件并不是不会出现,只是出现的可能性较小.因此,根据小概率原理否定原假设,有可能把本来客观上正确的假设否定了,造成犯“弃真”的错误,称为第一类错误,α就是犯第一类错误的概率的最大允许值。另一方面,当原假设不成立时,却作出接受原假设的结论,造成犯“存伪”的错误,称为第二类错误,一般用β表示犯第二类错误的概率。1718

◆假设检验中犯两类错误的概率:

"弃真"≤α "纳伪"=β

◆样本容量n一定时,α小,β就大,反之,β小,α就大.

◆在进行假设检验时,我们采取的原则是:

控制犯第一类错误(即α事先给定且很小)的同时使犯第二类错误的概率达到最小.

可以通过增加样本容量的方法使得两类错误的概率同时减小.注：1819三、假设检验的一般步骤

第一步:提出待检验的原假设H0和对立假设H1;

第二步:选择检验统计量,并找出在假设H0成立条件下,该统计量所服从的概率分布;

第三步:根据所要求的显著性水平α和所选取的统计量,查概率分布临界值表,确定临界值与否定域;

第四步:将样本观察值代入所构造的检验统计量中,计算出该统计量的值,若该值落入否定域,则拒绝原假设H0,否则接受原假设H0。1920§6.2一个正态总体的假设检验

一.已知方差σ2,关于期望μ的假设检验二.未知方差σ2,关于期望μ的假设检验三.未知期望μ,关于方差σ2的假设检验注意:本小节的前提是总体X~N(μ,σ2)201.方差已知,对正态总体均值的检验步骤(1)提出待检假设H0:μ=μ0(μ0已知);(2)构造检验统计量.(3)根据检验水平a,查表确定临界值ua/2,使

P(|U|>ua/2)=a,从而得到拒绝域|U|>ua/2

；(4)根据样本观察值计算统计量U的值u并与临界值ua/2比较；(5)若|u|>ua/2则否定H0,否则接收H0。U检验法21

例1根据长期经验和资料的分析,某砖瓦厂生产砖的“抗断强度”X服从正态分布,方差σ2=1.21.从该厂产品中随机抽取6块,测得抗断强度如下(单位:kg/cm2):32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03;检验这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2是否成立(a=0.05)?22即不能认为这批砖的平均抗断强度为32.50kg/cm2.232.方差未知,对正态总体均值的检验步骤(1)提出待检假设H0:μ=μ0(μ0已知);(2)构造检验统计量.(3)根据检验水平a,查表确定临界值ta(n-1),使

P(|T|>ta(n-1)

)=a,从而得到拒绝域|T|>ta(n-1)

；(4)根据样本观察值计算统计量T的值并与临界值

ta(n-1)比较；(5)若|T|>ta(n-1),则否定H0,否则接收H0。T检验法24例2从1975年的新生儿(女)中随机地抽取20个,测得其平均体重为3160克,样本标准差为300克.而根据过去统计资料,新生儿(女)平均本重为3140克.问现在与过去的新生儿(女)体重有无显著差异(假设新生儿体重服从正态分布)?(a=0.01)25即体重无差异。263.总体均值未知,对正态总体方差的检验步骤(1)提出待检假设(2)构造检验统计量.χ2检验法(3)根据检验水平a,查表确定临界值Xf(x)α/2α/22728例3某炼铁厂的铁水含碳量x在正常情况下服从正态分布.现对操作工艺进行了改进,从中抽取5炉铁水测得含碳量数据如下:4.412,4.052,4.357,4.287,4.683

据此是否可以认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082(a=0.05).

即不能认为新工艺炼出的铁水含碳量的方差仍为0.1082.2930