第2讲离散型随机变量的数字特征（练透重点题型）

第2讲离散型随机变量的数字特征(重点题型方法与技巧)目录类型一：离散型随机变量均值类型二：均值的性质类型三：由离散型随机变量的均值求参数类型四：均值的实际应用类型五：离散型随机变量的方差和标准差类型六：方差的性质类型七：两点分布的均值和方差类型八：方差的实际应用类型一：离散型随机变量均值典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知某射击运动员射中固定靶的概率为，射中移动靶的概率为，每次射中固定靶、移动靶分别得1分、2分，脱靶均得0分，每次射击的结果相互独立，该射击运动员进行3次打靶射击；向固定靶射击2次，向移动靶射击1次．(1)求“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定靶1次”的概率；(2)若该射击运动员的总得分为X，求X的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为（1）记“该射击运动员没有射中移动靶且恰好射中固定1次”为事件A，则．（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，则，，，，，所以X的分布列为：X01234P所以X的数学期望．例题2．（2022·全国·模拟预测）某公司举行了一场羽毛球比赛，现有甲、乙两人进行比赛，每局比赛必须分出胜负，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．(1)求第二局比赛结束时比赛停止的概率；(2)设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，数学期望为(1)依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束，记事件A是“第二局比赛结束时比赛停止”．则；(2)依题意知，X的所有可能取值为2，4，6，8设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为，该轮结束时比赛继续的概率为，即，，，；则随机变量X的分布列为：X2468P则．例题3．（2022春·安徽宣城·高二安徽省宣城中学统考期末）为了丰富学生的课外活动，某校举办“最强中学生”知识竞赛活动.经过前期的预赛和半决赛，最终甲?乙两个班级进人决赛.决赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的班级获得冠军.已知甲班级在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立.(1)求甲班级获得冠军的概率；(2)用表示乙班级的总得分，求的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，数学期望：(1)设甲班级在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲班级获得冠军的概率为(2)依题可知，的可能取值为，所以，即分布列为0102030期望.同类题型演练1．（2022春·广东揭阳·高二统考期末）学校组织数学解题能力大赛，比赛规则如下：要解答一道导数题和两道圆锥曲线题，先解答导数题，正确得2分，错误得0分；再解答两道圆锥曲线题，全部正确得3分，只正确一道题得1分，全部错误得0分，小明同学准备参赛，他目前的水平是：每道导数题解答正确的概率是；每道圆锥曲线题解答正确的概率为．假设小明同学每道题的解答相互独立．(1)求小明同学恰好有两道题解答正确的概率；(2)求小明同学获得的总分X的分布列及均值．【答案】(1)(2)分布列见解析，.(1)解：由题意导数题解答正确的概率是，圆锥曲线题解答正确的概率为，故小明同学恰好有两道题解答正确的概率；(2)解：由题意得的可能取值为0，1，2，3，5，所以，，，，则的分布列为01235所以；2．（2022春·天津红桥·高二统考期末）某同学参加甲、乙、丙3门课程的考试，设该同学在这3门课程的考试中取得优秀成绩的概率分别为，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．(1)求该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率．(2)求该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列和期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为（1）该同学这3门课程均未取得优秀成绩的概率.（2）X的可能取值为，所以，，，该同学取得优秀成绩的课程数X的分布列：X0123P期望.3．（2022·上海·高二专题练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：，，，，，，，，，；乙：，，，，，；丙：，，，．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计的数学期望．【答案】(1)(2)【详解】（1）设事件A为“甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖”，其概率为；（2）设事件B为：“乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，事件C为：“丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率”，故，，，所以其分布列为期望.类型二：均值的性质典型例题例题1．（2022春·北京·高二人大附中校考阶段练习）已知随机变量的分布列是，则（????）123A． B． C． D．【答案】C【详解】解：依题意可得，解得，所以，所以；故选：C例题2．（2022春·北京·高二北京铁路二中校考期中）随机变量的分布列如下：若，则的值是（????）01A． B．1 C．2 D．3【答案】C【详解】由题可得，∴，∴，∴，故选：C．例题3．（2022·全国·高三专题练习）随机变量的分布列如下表所示，则___________．1【答案】【详解】因为，所以，故，所以．故答案为：．同类题型演练1．（2022·高二课时练习）已知随机变量的分布列为0240.40.30.3则等于（????）A．2.2 B．2.3 C．11 D．13【答案】D【详解】由已知，得，所以.故选：D2．（2022春·山西朔州·高二怀仁市第一中学校校考期中）将个球（形状相同，编号不同）随机地投入编号为、、、的个盒子，以表示其中至少有一个球的盒子的最小号码（表示第号，第号盒子是空的，第个盒子至少个球），则、分别等于（????）A．、 B．、 C．、 D．、【答案】B【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，，，，，所以，，因此，.故选：B.3．（2022春·江苏南京·高二校考期中）已知随机变量X的概率分布为X012P且设Y=3X+2，则E（Y）=________.【答案】4【详解】因为E（X）＝＋＝，所以E（Y）＝E（3X＋2）＝3E（X）＋2＝＋2＝.故答案为：类型三：由离散型随机变量的均值求参数典型例题例题1．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）已知随机变量的分布列如下：12若，则（????）A． B． C． D．【答案】B【详解】由已知得解得故选：B.例题2．（2023·全国·高二专题练习）设离散型随机变量可能的取值为，.又的均值，则（????）A． B．C． D．【答案】A【详解】，…①；又…②，由①②可解得：，，.故选：A.例题3．（2022·全国·高三专题练习）现有甲乙两个项目，对甲、乙两个项目分别投资2万元，甲项目一年后利润是万元、万元、万元的概率分别是、、；乙项目的利润随乙项目的价格变化而变化，乙项目在一年内，价格最多可进行两次调整，每次调整的概率为，设乙项目一年内价格调整次数为，取、、时，一年后利润分别是万元、万元、万元.设、分别表示对甲、乙两个项目各投资万元一年后的利润.（1）写出、的概率分布列和数学期望；（2）当时，求的取值范围.【答案】（1）分布列答案见解析，，；（2）.【详解】（1）的概率分布列如下：的概率分布列如下：，；（2）得，得，又因为，，因此，的范围是.同类题型演练1．（2022春·北京·高二北师大二附中校考阶段练习）某随机变量的取值为，，，若，，则（????）A． B． C． D．【答案】B【详解】解：设，，①，又，②由①②得，，，所以故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止.设学生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围是________.【答案】【详解】由题意得：，，，，由得：，解得：或（舍），.故答案为：.3．（2022·高二课时练习）已知某离散型随机变量的均值，的分布列如下表：0123Pab则______，______．【答案】????????【详解】依题意，解得.故答案为：，类型四：均值的实际应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，某冰雪运动品商店对消费达一定金额的顾客开展了“冬奥”知识有奖竞答活动，试题由若干选择题和填空题两种题型构成，共需要回答三个问题，对于每一个问题，答错得0分；答对填空题得30分答对选择题得20分现设置了两种活动方案供选择，方案一：只回答填空题；方案二：第一题是填空题，后续选题按如下规则：若上一题回答正确，则下一次是填空题，若上题回答错误，则下一次是选择题．某顾客获得了答题资格，已知其答对填空题的概率均为，答对选择题的概率均为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关(1)若该顾客采用方案一答题，求其得分不低于60分的概率；(2)以得分的数学期望作为判断依据，该顾客选择何种方案更加有利？并说明理由．【答案】(1)(2)，选方案一；，方案一、方案二均可；，选方案二．（1）采用方案一答题，得分不低于60分的情况为至少答对两道填空题∴其概率为（2）若采用方案一，设其答对题数为，得分为X则，，∴若采用方案二，设其得分为Y，则，20，30，50，60，90，，，令，则，解得或（舍去）即，选方案一数学期望大，则，方案一、方案二数学期望一样，则，选方案二数学期望大综上所述：选方案一；方案一、方案二均可；选方案二．例题2．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且和的分布列如下表：012012试对这两名工人的技术水平进行比较．【答案】乙的技术更稳定．【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为，．工人乙生产出次品数的均值和方差分别为，．由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术更稳定．例题3．（2023秋·北京海淀·高三统考期末）地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表1（该预测价格与亩产量互不影响）.明年冬小麦统一收购价格（单位：元）概率表1假设图1中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.(1)试估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率；(2)设地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元，求的分布列和数学期望；(3)地区农科所研究发现，若每亩多投入元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦产量平均增加.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.【答案】(1)(2)分布列答案见解析，(3)建议农科所推广该项技术改良，理由见解析【详解】（1）解：由图可知，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，亩产量是的概率约为，估计地区明年每亩冬小麦统一收购总价为元的概率为（2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、、，，，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：.（3）解：建议农科所推广该项技术改良，设增产前每亩冬小麦产量为，增产后每亩冬小麦产量为，则，设增产后的每亩动漫小麦总价格为元，分析可知，所以，增产的会产生增加的收益为，故建议农科所推广该项技术改良.同类题型演练1．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考一模）某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有、两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从、两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束.、两类知识挑战成功分别可获得万元和万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到元激励奖金.已知甲同学成功晋级决赛，面对、两类知识的挑战成功率分别为、，且挑战是否成功与挑战次序无关.(1)若记为甲同学优先挑战类知识所获奖金的累计总额（单位：元），写出的分布列；(2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由.【答案】(1)分布列答案见解析(2)优先选择挑战类知识，理由见解析【详解】（1）解：由题意可知，的可能取值有、、，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：（2）解：记为甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额，甲同学优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，优先挑战类知识所获奖金累计总额的期望为，由题意可知，随机变量的可能取值有：、、，则，，，所以，（元），（元），所以，，所以，为了使甲同学可获得奖金累计总额期望更大，应该优先选择挑战类知识.2．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）甲?乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内(含40单)的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表：送餐单数3839404142天数51010205若将频率视为概率，回答下列两个问题：（1）记乙公司送餐员日工资为(单位：元)，求的分布列和数学期望；（2）小王打算到甲?乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由.【答案】（1）详见解析；（2）推荐小王去乙公司应聘，理由见解析.【详解】（1）设乙公司送餐员送餐单数为，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，，故的所有可能取值为、、、、，故的分布列为：228234240247254故.（2）甲公司送餐员日平均送餐单数为：，则甲公司送餐员日平均工资为元，因为乙公司送餐员日平均工资为元，，所以推荐小王去乙公司应聘.3．（2023·全国·高三专题练习）某投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【答案】选择项目一，理由见解析.【详解】对于项目一，该项目年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为所以，（万元），.对于项目二，该项目年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为（万元），.，，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该公司选择项目一投资.类型五：离散型随机变量的方差和标准差典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列如下表：012当在内增大时，则（????）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】A【详解】由题意，，所以所以在上随增大而减小．故选：A例题2．（2023秋·河南驻马店·高二确山县第一高级中学校考期末）甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为，，且和的分布列如下表：012012试对这两名工人的技术水平进行比较．【答案】乙的技术更稳定．【详解】【解】工人甲生产出次品数的均值和方差分别为，．工人乙生产出次品数的均值和方差分别为，．由知，两人生产出次品的平均数相同，技术水平相当，但，可见乙的技术更稳定．例题3．（2022·全国·高三专题练习）一台机器设备由和两个要件组成，在设备运转过程中，发生故障的概率分别记作，假设和相互独立.设表示一次运转过程中需要维修的要件的数目，若.(1)求出；(2)依据随机变量的分布，求和；(3)若表示需要维修的数目，表示需要维修的数目，写出和的关系式，并依据期望的线性性质和方差的性质，求和.【答案】(1);(2)；(3)。【详解】（1）因为，所以，，.（2）由（1）得的分布列为：0120.720.260.02所以，.（3）由题意可得，且均服从两点分布，所以，，所以，因为相互独立，所以.例题4．（2022·高二课时练习）已知甲?乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲?乙射击结果互不影响.记甲?乙两名射手在一次射击中击中的环数分别为，.(1)求，的分布列；(2)从数学期望与方差两方面比较甲、乙两名射手的射击技术.【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.【详解】(1)依题意，有，解得.∵乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，且每次射击击中的环数均大于6环，∴乙击中7环的概率为，∴，的分布列分别为109870.50.30.10.1109870.30.30.20.2(2)由(1)可得，，，.由于，说明甲平均击中的环数比乙高，又，说明甲击中的环数比乙击中，比较稳定，从而可知甲比乙的射击技术好.同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）设，则随机变量的分布列是：01则当在内增大时（????）A．增大 B．减小C．先增大后减小 D．先减小后增大【答案】D【详解】由题意，根据分布列，可得，则，当在内增大时，可得先减小后增大.故选：D.2．（2022·高二课时练习）编号为1、2、3的三名同学随意入座编号为1、2、3的三个座位，每名同学一个座位．设与座位编号相同的学生的个数为X，求．【答案】1【详解】编号为1、2、3的三名同学随意入座编号为1、2、3的三个座位情况如下：由上表可知的取值有0,1,3．且；；，所以，所有．3．（2022春·江苏扬州·高二统考期末）甲、乙、丙进行乒乓球比赛，比赛规则如下：赛前抽签决定先比赛的两人，另一人轮空：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有人累计胜两场，比赛结束.经抽签，甲、乙先比赛，丙轮空.设比赛的场数为，且每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求和；(2)求的标准差.【答案】(1)，(2)(1)：甲胜乙，甲胜丙，结果甲胜；乙胜甲，乙胜丙，结果乙胜.；：甲胜乙，丙胜甲，丙胜乙，结果丙胜；乙胜甲，丙胜乙，丙胜甲，结果丙胜..(2)根据题意可得可能的取值为.：甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，甲胜乙，结果甲胜；甲胜乙，丙胜甲，乙胜丙，乙胜甲，结果乙胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，甲胜乙，结果甲胜；乙胜甲，丙胜乙，甲胜丙，乙胜甲，结果乙胜；.，，所以标准差为.4．（2022·高二课时练习）已知甲、乙两名射手每次射击击中的环数均大于6环，且甲击中10，9，8，7环的概率分别为0.5，，，0.1，乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，甲，乙射击结果互不影响．记甲，乙两名射手在一次射击中的环数分别为ξ，．（1）求，的分布列；．（2）求，的数学期望与方差，并比较甲、乙两名射手的射击技术．【答案】（1）答案见解析；（2），，，；甲比乙的射击技术好．【详解】（1）依题意，有，解得．乙击中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，乙击中7环的概率为，，的分布列分别为109870.50.30.10.1109870.30.30.20.2（2）由（1）可得，，，．由于，说明甲平均击中的环数比乙高，又，说明甲击中的环数比乙集中，比较稳定，甲比乙的射击技术好．类型六：方差的性质典型例题例题1．（2023·高二课时练习）如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（????）．A．， B．，C．， D．，【答案】D【详解】解：因为，又，所以，，则，.故选：D.例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下：236则的值为（????）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【详解】解：根据分布列可知，解得，，，所以.故选：D.例题3．（2022·全国·高三专题练习）设，若随机变量的分布列如下表：－102则下列方差中最大的是（????）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，得，则，所以，，所以，，所以，，即最大，故选：C.例题4．（2023·全国·高二专题练习）已知X的分布列为:010205060(1)求；(2)设．求．【答案】(1)(2)【详解】（1）解：因为，所以．（2）解：因为，即所以．同类题型演练1．（2023·全国·高三专题练习）设，随机变量的分布列如下表：012P当a在内增大时，则（????）A．减小 B．增大C．先减小后增大 D．先增大后减小【答案】A【详解】由题意，，所以所以在上随增大而减小．故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）若随机变量的分布列如下表，且＝02apA．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】由概率的性质知，则，∴，则.故选C.3．（2023·全国·高二专题练习）已知的分布列为：设，且，则的值为______．【答案】【详解】由，得，解得．又，所以，所以．故答案为：.4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如表，且，则___________，___________.023【答案】????##????【详解】解：依题意，，，故答案为：；4．类型七：两点分布的均值和方差典型例题例题1．（2022秋·福建莆田·高三校考阶段练习）若随机变量服从两点分布，其中，则（????）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可知，，则，故，故选：A例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（???）A． B．C． D．【答案】AB【详解】解：依题意，所以，??.所以，??，??所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB例题3．（多选）（2022·广东广州·校联考三模）若随机变量Ｘ服从两点分布，且，则（????）A． B． C． D．【答案】ABD【详解】解：随机变量服从两点分布且，，对于A，，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.同类题型演练1．（多选）（2022春·福建漳州·高二校联考期末）若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（????）A． B． C． D．【答案】AB【详解】根据随机变量服从两点分布，其中，，故A正确；，故B正确；则，故C错误；，则，故D错误.故选：AB.2．（多选）（2022春·吉林·高二吉林省实验校考阶段练习）若随机变量X服从两点分布，且，则（????）A． B．C． D．【答案】AB【详解】因为随机变量X服从两点分布，且，则，故，故A正确；,故C错误；，故B正确；,故D错误，故选：AB3．（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量服从两点分布，且，设，那么________．【答案】【详解】，故答案为：类型八：方差的实际应用典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）某投资公司在年年初准备将万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.【答案】选择项目一，理由见解析.【详解】对于项目一，该项目年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为所以，（万元），.对于项目二，该项目年底可能获利，可能损失，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和，设按该项目投资，获利为万元，则随机变量的分布列为（万元），.，，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该公司选择项目一投资.例题2．（2022·全国·高三专题练习）2021年10月16日，神舟十三号载人飞船与天宫空间站组合体完成自主快速交会对接，航天员翟志刚?王亚平?叶光富顺利进驻天和核心舱，由此中国空间站开启了有人长期驻留的时代.2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成任务，平安返回.为普及航天知识，某市组织中学生参加“探索太空”知识竞赛，竞赛分为理论?操作两个部分，两部分的得分均为三