中考数学一轮知识复习和巩固练习考点22 正多边形与圆的有关的证明和计算（基础巩固） (含详解)

考向22正多边形与圆的有关的证明和计算【知识梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1)正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.

(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.

(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.

(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）

(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.

2、正多边形与圆的关系：

(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.

(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.

（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：

(1)任何正多边形都有一个外接圆.

(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.方法指导：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是SKIPIF1<0；所以正n边形的中心角等于它的外角.

（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.

圆心角为、半径为R的弧长.

圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.

圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.

圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.方法指导：

(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；

(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.

(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；

(4)扇形两个面积公式之间的联系：.

【专项训练】一、选择题1．在半径为12的⊙O中，60°的圆心角所对的弧长是（）A．6πB．4πC．2πD．π2．一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<03．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为()A．2B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为9，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的底面半径等于()A．9B．27C．3D．10 5．如图所示．在△ABC中，AB＝AC，AB＝8，BC＝12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于⊙O，EF与BC、CD分别相交于点G、H，则的值是（）A． B． C． D．2二、填空题7．已知扇形的半径为3cm，面积为3πcm2，则扇形的圆心角是________，扇形的弧长是________cm（结果保留π）.8．如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为6cm，那么它的侧面积等于________cm2．9．如图所示，ABCD是各边长都大于2的四边形，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧(弧的端点分别在四边形的相邻两边上)，则这4条弧长的和是________．10．如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝SKIPIF1<0，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为________．11．如图所示，如果从半径为3cm的圆形纸片剪去SKIPIF1<0圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的体积是________．12．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为．三、解答题13．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝4，BC＝6，以A为圆心在梯形内画出一个最大的扇形(图中阴影部分)，求阴影部分的面积及扇形的弧长．14.如图所示，已知在⊙O中，AB＝SKIPIF1<0，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．15．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC＝PC，∠COB＝2∠PCB．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：SKIPIF1<0；(3)点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB＝4，求MN·MC的值．16.如图，纸片ABCD是一个菱形，其边长为2，∠BAD=120°．以点A为圆心的扇形与边BC相切于点E，与AB、AD分别相交于点F、G；（1）请你判断所作的扇形与边CD的位置关系，并说明理由；（2）若以所作出的扇形为侧面围成一个圆锥，求该圆锥的全面积．答案与解析一、选择题

1.【答案】B；【解析】直接用公式SKIPIF1<0.2.【答案】C；【解析】SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．3.【答案】D；4.【答案】C；【解析】设该圆锥的底面半径为r，则SKIPIF1<0，解得r＝3．5.【答案】D；【解析】可转化为以AB为直径的圆的面积减去△ABC的面积．6.【答案】C；【解析】如图，连接AC、BD、OF，设⊙O的半径是r，则OF=r，∵AO是∠EAF的平分线，∴∠OAF=60°÷2=30°，∵OA=OF，∴∠OFA=∠OAF=30°，∴∠COF=30°+30°=60°，∴FI=r•sin60°=，∴EF=，∵AO=2OI，∴OI=，CI=r﹣=，∴，∴，∴=，即则的值是．故选：C．二、填空题7．【答案】120°，2π；【解析】直接代公式SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.8．【答案】18π；【解析】圆锥的侧面积公式为S＝πra，所以S＝π×3×6＝18π(cm2)．9．【答案】6π；【解析】4条弧长的和可以看作是4个圆的周长减去四个圆在四边形ABCD内的四条弧的长，又由∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∴四边形ABCD内的四条孤长的和为一个圆的周长，所以所求的四条弧长之和为3个圆的周长：3×2πr＝3×2π×1＝6π．10．【答案】SKIPIF1<0；【解析】连接AE，易证AB＝BE＝1，∠AEB＝45°，∴∠EAD＝45°，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0．11．【答案】SKIPIF1<0；【解析】可求圆锥底面半径SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，代公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0．12．【答案】6﹣2；【解析】如图，连接OB，OF，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，∴BF=OB=2，∴△BFO的高为；，CD=2（2﹣）=4﹣2，∴BC=（2﹣4+2）=﹣1，∴阴影部分的面积=4S△ABC=4×（）•=6﹣2．故答案为：6﹣2．三、解答题13.【答案与解析】解设切点为E，连接AE，则AE⊥BC．∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形ADCE是矩形．∴CE＝AD＝4．∵BC＝6，∴BE＝2．∵BE＝SKIPIF1<0AB，∴∠BAE＝30°，AE＝SKIPIF1<0．∴∠DAB＝120°．∴SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．14.【答案与解析】解：（1）连BC，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB＝SKIPIF1<0，∠A＝30°，∴AC＝2BC，由勾股定理可求AC＝8，又易求∠BOD＝120°，∴SKIPIF1<0．（2）设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．15.【答案与解析】(1)证明：∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∴∠COB＝2∠A，∵∠COB＝2∠PCB，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB＝90°．∴∠PCB+∠OCB＝90°，即OC⊥CP．∵OC是⊙O的直径，∴PC是⊙O的切线．(2)证明：∵PC＝AC，∴∠A＝∠P，∴∠A＝∠ACO＝∠PCB＝∠P．∵∠COB＝∠A+∠ACO，∠CBO＝∠P+∠PCB，∴∠CBO＝∠COB．∴BC＝OC，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)解：如图，连接MA，MB．∵点M是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴∠BCM＝∠ABM．∵∠BMC＝∠BMN，∴△MBN∽△MCB，∴SKIPIF1<0，∴BM2＝MC·MN．∵AB是⊙O的直径，SKIPIF1<0，∴∠AMB＝90°，AM＝BM．∵AB＝4，∴SKIPIF1